致可愛的高數弟子們

數學日記讀後感言

——致可愛的高數弟子們

因為瑣事的紛紛擾擾，因為班車的匆匆忙忙，因為一個加強排研究所的嗷嗷待哺，還因為教學=o(科研）（o這個符號大家學過的，不足為外人道也）這個公式的威逼利誘，對於手頭那些規定作為作業上交的可愛的、精彩紛呈的數學日記，我竟沒能在某一個時間閉區間上構造出閱讀的連續函數，最後，退而求其次，用了個分段函數，段數n>=4。

在擁有自己的時間的時候，總是會仔細地翻閱那些數學日記，在靜夜的書房裡、在顛簸的校車上。彷彿傾聽每一位弟子的訴說，訴說自己的數學故事、回溯自己的心路歷程、流露自己的數學情感、評述自己的學習得失、表達自己的困惑與迷茫、憧憬自己的數學未來。苦樂相伴、悲喜共存、愛恨交加，憂懼與期待并行，無奈共憧憬同在。利用不完全歸納法，得到以下關於高數學習之不等式：

苦>=樂；悲>=喜；恨>=愛；憂懼>=期待；無奈>=憧憬。

說到苦處，高數恰似美軍之牢獄，我老人家恰似虐囚之士兵；說到恨時，高數直似恐怖大亨拉登，主人公自比美國總統布希；說到憂懼時，戰戰惶惶，汗出如漿；說到無奈時，與高數執手相看淚眼，竟無語凝噎；說到悲情處，風瀟瀟兮易水寒！在每一個閱讀日記的時間閉區間上，至少有一點 x ，使得我在該點處的閱讀函數值為「先昏過去再說」。

但我的閱讀函數值中更有一些感動和一些震動。感謝諸位願意與我作真心的交流，如果以 A、B、C、D四級制來評定諸位所撰數學日記之成績（主要以數學情感之真實性為依據），則四級人數之比約為A : B : C : D = 75 : 20 : 5 : 0。這就使我可以真實、深入地了解大家，並據此對自己的教學進行深入的反思。我也看到，大家對高數之教學方式基本持肯定看法，使我依然可以從容、自信地面對大家。但高數帶給部分同學的痛苦、恐懼、憂慮和無奈亦深深震撼我的心靈。在大學，由於師生關係之疏遠、師生交流之貧乏、對學生認知研究之不足，講台上的教師往往自作多情、滔滔不絕、唾沫飛濺、滿黑板定理與證明、大有講不足舞之、舞不足蹈之之勢，殊不知台下已然危機四伏：或如身墮五里雲霧、或似眼觀天外之書、或睡眼朦朧、或鼾聲暗起、或竊竊私語、或置身局外、或冷眼旁觀。縱有若干記筆記者，亦不過為抗拒瞌睡蟲之猖獗不得已而為之。悲夫！密密麻麻的數字、符號、定理、公式，不過推銷無果、供自我欣賞的廉價產品而已。而今，諸位的數學日記使我明白，我所愛者未必人人愛之，我所善者未必人人善之，我所感覺容易者未必人人易之，我所刻意講授者未必人人樂於接受之。數學上不同函數有增、減、凹、凸之不同性態，人世間不同生命豈能沒有不同旨趣？是故酸甜苦辣、愛恨情仇，稀鬆平常，不足為怪。

諸位多在數學日記中表達自己之迷茫、困惑和疑難，今特一併解答如次。

疑難之一：大學數學之教學方式與中學有天壤之別，一次高數課猛講數節內容，舊的未掌握，新的又來了，如何應對？

關於這一點，高數課伊始我已經提醒過大家。在中學，數學教師在一節課中圍繞一個概念，小心引入、反覆講解、不斷練習、去爭取勝利；而在大學，厚厚一本教材，難度激增、進度催人、時不我待，短短一節課往往概念繁多、定理成串、埋頭疾行、去追趕火車。何也？因為諸位已經從眾多同齡人中脫穎而出，走過獨木橋，來到象牙塔，豈有仍需老師扶著手走路之理？歌曰：「走吧，走吧，人總要自己學會長大！」一些同學因為無人牽手，竟不會走路。事實上，大學數學課默認學生具備相當強的自主學習能力。無庸諱言：誰能在短短兩節課中消化那麼多高深的數學內容呢？課前預習、課後複習，這是學好數學必不可少的環節。儘管大學里屬於自己的課外時間比高中增加許多，但各種名目的課外活動就像垃圾電子郵件那樣源源不絕，充滿誘惑的干擾因素就像黎曼博士的零點那樣層出不窮。因此，如何安排時間來預習和複習，每個人心中都應該有一竿秤。此時不鍛煉自己的學習能力，更待何時？

疑難之二：大學數學的概念過於抽象深奧，尤其是描述極限定義的e - d 語言，不知所云、令人望而生畏，成為我心中永遠的痛。(所有這些英文字母實際是希臘字母，因技術原因由英文代替）

貴班級尚無哪位真心英雄、牛頓第二在數學日記中立下豪言壯語，稱自己已經征服那該死的、曾經奪走無數人幸福快樂的e - d。在微積分課本上，大家一不小心就會撞見一個希臘字母，像e 啊，d 啊，x 啊，j 啊，y 啊，等等。難道大家耳熟能詳的26個英文字母不夠用、非要用這些寫起來很費勁的玩意嗎？非也。希臘字母的使用不過沿習歷史上數學家的做法而已，所謂約定俗成、習慣成自然。美國著名數學家、《古今數學思想》的作者M·克萊因（M. Kline, 1908～1992）認為，數學家在數學論文中喜歡用希臘字母，因為較之英文字母，希臘字母顯得更神秘，因而更會讓外行覺得數學高深莫測。瞧，數學家竟如此虛偽！

e - d 語言難懂，在數學上已是人盡皆知之事實。蘇軾詩云：「人生識字憂患始」。同樣我們可以說，學數學者遇e - d 憂患始。但我在課上已經多次強調，千萬不必為不理解e - d 而擔心，而憂患，而喪失信心，而懷疑自己的數學能力。何以言之？原來，「極限」這個概念有其漫長的歷史。在古希臘，數學家人人皆患有「無窮恐懼症」，「極限」不啻洪水猛獸，孰敢直面？於是乎，小心翼翼，拐彎抹角，退避三舍，無奈之下，發明了麻煩得令人難以容忍的「窮竭法」。17世紀，聰明絕世如牛頓和萊布尼茨者，因為沒有建立嚴格的極限概念而使得他們所發明的微積分漏洞百出、搖搖欲墜、慘遭攻擊。兩位天才之後，儘管有不少數學家試圖給出嚴密的極限定義，但直到19世紀，今天的e - d 定義才由一位大器晚成的德國數學家魏爾斯特拉斯（K. Wierestrass, 1815～1897）給出。極限概念的完善和嚴密化，歷史上的數學家花了兩千餘年，難道作為微積分老師的我，竟會愚蠢、殘暴到讓大家在一星期、一個月、一學期、一個學年裡豁然開朗、瞭然於心、運用自如嗎？歷史是一面鏡子。M·克萊因云：「歷史上數學家所遇到的困難正是今天的學生也會遇到的學習障礙。」這樣說吧：四十年後，當你功成名就、榮休家中、回首當年、靈光閃現、終於對e - d大徹大悟時，你已經完全對得起我老人家了。

故不必為兩個希臘字母而失眠，不必為那個德國佬的定義而煩惱，縱然與它形同陌路，縱然對它徒嘆奈何，明天，地球照樣轉，太陽照樣從東方升起，華師大照樣通過教育部大學部教學工作評估，而你，照樣擁有如歌的歲月、似錦的前程。事實上，期中考試應該已經能夠打消諸位的憂慮，緩解諸位的痛苦了。

疑難之三：令人匪夷所思者，一個顯然正確的結論，比如之類，竟然還要證明，用 直接代入不就OK了？鬱悶啊！

這是一個普遍得像食堂里的青菜一樣、但又算得上十分高級的錯誤。首先請大家回顧一下函數在一點處連續的定義，當一個函數在某一點連續時，自然，極限值等於函數值，也就是像你說的，「直接代入即可」。但對於那些不連續的函數，情形又如何？譬如，要求lim(x->2)(e^(x-2)-1)/(x- 2)，雖然你的直截了當、乾脆利落的處事風格令人頓生後生可畏之印象，但結果又如何呢? 0/0，這個虛無縹緲的結果，曾經是牛頓他老人家心中永遠的痛，是年輕時期微積分身上的硬傷，是貝克萊（G. Berkeley, 1685～1753）大主教攻擊微積分的唯一理由，是無數數學家痛苦和迷茫的淵藪。

看來微積分早期歷史上，數學家無不犯「直接代入」之錯誤，而你只不過重蹈覆轍，再一次經歷前人遭遇過的微積分之認知障礙而已。是故，你的錯誤無可厚非，你的質疑情有可原，你的困惑是人類認知的必經階段，就像每一個人在成長過程中都得掉一次門牙一樣；而你的鬱悶——自然純屬多餘了。

一個函數在一點有極限，與它在這一點有定義，兩者之間到底有怎樣的關係？這正是問題的關鍵所在。現在大家一定不會懷疑這樣的事實：即使一個函數在一點存在極限，這個函數在這一點依然可以沒有定義，如函數fFight=sinx/x 在x=0 處；反過來，即使一個函數在一點有定義，這個函數在這一點依然可以沒有極限，如函數fFight=1(當x屬於Q）fFight=0(當 x不屬於Q）在任何一點處。可見，函數在某一點的極限與函數在該點的值是兩個完全不同的概念。由於書本上的例題和練習里給出的都是簡單的連續函數，極限值和函數值碰巧相等，大家便霧裡看花、以偏概全，誤以為世界上一切函數，其極限值和函數值都是一回事，從而對諸如lim(x->2)(x^2-1)=1 這樣的證明題心存芥蒂、嗤之以鼻。

疑難之四：一套一套又一套，兩套三套四五套，六套七套八九套，題海戰術有實效。中學老師慣用此伎倆，而大學老師根本不來這一套。於是乎，到了大學，手感驟然變差，思路找不著家，明明上課聽懂，一看題目還傻。是否應該有一本配套練習供訓練之用？應該有多大的訓練量，方可確保考試無憂？

這是很多同學的迷茫所在。期中考試已經讓大家明白：若僅僅滿足於通過考試，恐怕根本不需要重操舊業，再入題海。因為我們有活頁作業、課本練習、課堂筆記，練習量已初具規模，足以應付考試。但學習高等數學並不僅僅為了拿到學分，它還是後面專業課的基礎，也是考研的重要科目。故高等數學之成敗優劣，實關乎後續學習、關乎前程大計。況很多同學立有鴻鵠之志，豈能以60分與5學分為其最終目標耶？獎學金、優秀畢業生榮譽、高薪單位、碩士學位、國外名校……均在招手示意。我以為，鑒於研究所入學考試依然沒有擺脫應試教育之樊籬，鑒於未來用人單位之斤斤計較於名次，鑒於獎學金評定以分數論英雄，鑒於……優秀的高數成績乃是一種資本，我們無法否定其重要戰略意義。是故，若為遠大前程計，諸位當奮力提高自己對高數成績之定位。如此，儘管我不提倡題海大戰，但一定的習題訓練依然是十分必要的。信不信由你，已故著名數學家蘇步青先生年輕時做過六千道微積分題！而在國內高校數學系的教師中，學生時代沒做過吉米多維奇《數學分析習題集》的一定為數不多。不妨買一本質量好一點的高數解題用書，這類書多如牛毛，盡量選名校出版的，如同濟大學的。一本足矣，畢竟大家日後不做數學家。

除了以上疑難，不少同學對高數的教學提出了一些很好的意見或建議，如多介紹解題思路、對課本內容做適當拓展、選擇書後練習中之重點難點給予講授等等。我在未來的教學中會有適度的體現。

從數學日記中可以明顯感覺到，初來乍到，不少同學不適應大學學習生活，彷徨、苦悶、無所適從。怎樣獲取優異成績？今年夏天，來自哈爾濱市的學生王沛在新加坡南洋理工大學畢業典禮上榮獲新加坡政府頒發給大學應屆畢業生的最高獎項——「李光耀金牌獎」和南洋理工大學頒發的「全優畢業生金牌獎」。王沛在博客日記中如是說：「我不比別人聰明，但我知道學習要下苦功夫。」天道酬勤，這是在任何時候、任何地方，對任何專業的任何學生都是普遍成立的。事實雄辯地證明：縱然你有阿基米德的天才、牛頓的稟賦和高斯的聰慧，如果只是以此為炫耀之資本而將高數功課束之高閣，那麼，等待你的依然會是失敗。那將是一種無法挽回的、令人扼腕而嘆的失敗，是你美麗人生之幸福函數的不可導點。

最後談談個別同學所鄭重提出之嚴峻問題——高數之學習是否導致大學生壽命單調遞減。目前尚無統計數據支持「遞減」說，此說不過杞人憂天、無稽之談而已，無異於說「多喝牛奶會減少壽命」、「古巴甜酒越貴、美國牧師的薪水越高」。偏有若干沒有主見、人云亦云、捕風捉影者信了，有詩為證：

生命誠可貴，高數無所謂。若能考六十，天天抱頭睡。

試問：你在華師大睡四年懶覺就能延年益壽了？別噁心了。學習本應該是令人充實的，數學思維本應該是令人舒暢的，完成一道艱難的中值定理證明題、求出一道詭異的不定積分題本應該是令人快樂的。儘管部分同學對於數學持有消極的情感，儘管對一門學科的好惡一如人們對臭豆腐的好惡一樣自然而然，但作為一名數學教師，我的心中依隱藏著一個理想（擬或幻想？），即：高水準的高數教學應該能使高數的學習一如鄉間旅行一般，一路風光，一路欣賞：

一去二三里，煙村四五家，亭台六七座，八九十支花。

在美國著名數學家斯特洛伊克（D. J. Struik, 1894～2000）百歲華誕之際，在一份禮物的外殼上，寫著如下公式：

第一個M代表數學（Mathematics），第二個M代表婚姻（Marriage），第三個M代表馬克思主義（Marxism）。數學思維帶來的精神愉悅構成了斯特洛伊克長壽的三大因素之一。儘管諸位不是數學家，但數學思維的愉悅是人人可以享受的。

退一萬步說，即使數學思維帶給你痛苦，但你總可以體驗通過考試帶給你的滿足感；即使連這種滿足感也蕩然無存，我們也仍有理由相信，短短一年的痛苦不過是你生命無窮數列的前幾項，能對整個數列的斂散性產生什麼影響呢？

汪曉勤 2006年11月草於華師大

汪曉勤，博士，教授，博士生導師

1999年科學院科學技術史博士專業，獲哲學博士學位。現任華東師範大學數學系教授，學科教育（數學）專業博士生導師。研究方向為數學史與數學教育。出版《中學數學中的數學史》等著作，在《自然辯證法通訊》、《自然辯證法研究》、《清華學報》（台灣）等期刊上發表論文一百多篇。

彭翕成註：你是不是很羨慕別人家的老師呢？

師生也是一種緣分，不可強求。

不過買本書就很容易了。

下面這本著作是汪曉勤教授團隊十年磨一劍的成果。和其他數學史書籍最大的不同，就是和中學數學教學聯繫緊密！

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適讀人群：

本書可作為職前和在職教師教育課程「數學史與數學教育」的教材，也可供數學教育研究者參考。

內容簡介：

數學史與數學教育之間的關係（HPM）是數學教育的一個研究領域，研究的課題包括：關於「為何」和「如何」的探討、教育取向的數學史、歷史相似性、數學史融入數學教學的實踐、HPM與教師專業發展、數學史融入數學教材等。本書全面展示了作者及其研究團隊近十年以來在上述各課題上的研究成果。

目錄：

序言

前言

第1章 源流與背景 1

1.1 數學史的教育 1

1.2 先驅者的思想 2

1.3 HPM的誕生 16

1.4 HPM的價值 19

1.5 HPM的境遇 23

1.6 新教師的期望 30

1.7 HPM在上海 35

參考文獻 37

2.1 歷史上的數學故事 40

2.2 情境中的數學概念 51

2.3 文化中的數學主題 67

2.4 課堂上的另類素材 79

參考文獻 87

3.1 概念之源 92

3.2 術語之本 119

3.3 法則之立 137

3.4 學科之創 145

參考文獻 161

4.1 公式之導 167

4.2 定理之證 199

參考文獻 232

5.1 問題之庫 237

5.2 問題解決 281

參考文獻 316

6.1 法國課本初窺 321

6.2 一個早期範例 330

6.3 勾股定理聚焦 336

6.4 數學文化一瞥 345

參考文獻 356

7.1 丟番圖的幽靈 360

7.2 從形狀到關係 366

7.3 迷霧中的無窮 375

7.4 初遇負數方根 382

7.5 古今共論函數 388

7.6 負數大小關係 394

7.7 如何分配賭金 400

7.8 從靜態到動態 410

參考文獻 417

8.1 一次方程組 425

8.2 平方差公式 431

8.3 分數指數冪 436

8.4 內角和定理 443

8.5 對數的概念 449

8.6 橢圓的定義 456

8.7 複數的引入 464

8.8 稜柱的定義 471

8.9 導數的應用 478

參考文獻 490

9.1 從研究到引領 492

9.2 從知之到樂之 514

參考文獻 526

人名索引 527

本文摘編自汪曉勤著《HPM：數學史與數學教育》一書，該書已由科學出版社於2017年5月正式出版，各大電商網站還沒有賣哦，點擊「閱讀原文」搶先購買（附圖書目錄）！

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