世界上最美的方程

對於什麼是最美的數學方程，在Quora上，目前榜首為複分析領域的歐拉方程（後文提到的歐拉方程是在幾何學與代數拓撲學領域的形式），獲得了3300多個投票：

其次是麥克斯韋方程：

簡介：數學方程不僅實用，很多還非常優美。許多科學家承認，他們常常喜歡一些特別的公式，不僅僅因為它們功能強大，還因為它們形式優雅、簡潔及其中所蘊涵著詩一般的真理。當某些特別著名的方程，比如愛因斯坦的質能方程$E = m c^2$，在公眾面前享譽極盛時，許多公眾不那麼熟悉的方程在科學家群體中卻擁者甚眾。LiveScience諮詢了許多物理學家、天文學家和數學家，將他們喜愛的數學公式羅列如后：廣義相對論

上面的公式是愛因斯坦於1915年發現的，是具有劃時代意義的廣義相對論中的一部分。該理論讓科學家對引力的認識發生了革命性的轉變，引力在這裡是空間與時間結構的一種彎曲。「讓我驚奇的是，這樣一個方程就揭示了全部的時空本質。」太空望遠鏡科學研究所的天體物理學家馬里奧·利維奧（Mario Livio）如是說，他聲明此方程為自己的最愛。「愛因斯坦所有的真正的天才之處都蘊含在這個方程中。」「方程的右側描述了宇宙的能量構成(包括促使宇宙加速膨漲的暗能量)，左側是時空的幾何結構。」利維奧解釋道，「此方程揭示了這樣的事實，在愛因斯坦廣義相對論中，質量和能量決定了幾何，以及伴隨的時空彎曲，它顯示為我們所說的引力。」「這是個非常優雅的方程，它還揭示了時空、物質和能量之間的關係。」紐約大學物理學家凱利·克蘭默（Kyle Cranmer）說，「此方程告訴你它們之間是如何關聯的——比如，太陽的存在如何導致了時空彎曲，從而令地球沿著其軌道運轉，等等。它還告訴你宇宙自從大爆炸之後是如何演化的，並且預言了黑洞的存在。」標準模型

標準模型是物理學中的另一個主流理論，它描述了構成目前宇宙的所有可見的基本粒子。這個理論可濃縮為一個主方程，即標準模型的拉格朗日量，該名字來自於十八世紀法國數學家和天文學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）。加利福尼亞SLAC國家加速器實驗室的蘭斯·迪克遜（Lance Dixon）在他的著名公式中採用了這個方程。「它成功地描述了迄今所有在實驗室中能夠觀測到的基本粒子和力——除了引力，這當然包括了最新發現的希格斯玻色子，即公式中的$\phi$。它與量子力學和狹義相對論完全自洽，」迪克遜向LiveScience雜誌解釋道。標準模型理論還沒有與廣義相對論統一起來，所以它還不能夠描述引力。微積分

前兩個方程描述了宇宙的特定形態，而微積分這個令人喜愛的方程則可以應用於各種各樣的情況。微積分基礎理論是微積分學數學方法的基石，它將兩個主要思想連接了起來，即積分與求導的概念。「簡單來講，它表明，平滑連續的量的凈改變，比如經過給定時間區間后的行進距離（也就是說，時間區間端點的量的差值），等於該量的變化率的積分，亦即，速度的積分，」美國福德漢姆大學（FordHam University）數學系主任特里維西克（MelkanaBrakalova-Trevithick）如是說，她將此方程選為最愛。「微積分的基礎理論(FTC)允許我們基於整個區間內的速率變化來測定該區間的凈變化。」微積分的萌芽從古代就開始了，但其完善集中在十七世紀並歸功於艾薩克·牛頓，他使用微積分解釋了行星環繞太陽的運動。畢達哥拉斯定理

說到經久不衰的方程，非著名的畢達哥拉斯定理（勾股定理）莫屬，每個幾何初學者都要學習它。這個方程表明，對任意直角三角形，弦（直角三角形的最長邊）的平方等於其餘兩邊長的平方和。「第一個令我驚奇的數學事實就是畢達哥拉斯定理。」康奈爾大學（Cornell University）的數學家丹尼婭·泰敏娜（Daina Taimina）如是說，「當我還是孩子時，它就令我驚奇不已，它不僅在幾何中有用，在數論中也一樣！」歐拉公式（Euler's equation）

這個簡單的公式蘊含著球體的純粹本質：「如果把一個球切割成面、棱和頂點，令F表示面數，E表示棱數,V表示頂點數，你始終能得到V−E+F=2，」馬薩諸塞州威廉姆斯學院（Williams College）一名數學家科林·亞當斯（Colin Adams）解釋說。「比如以四面體為例，它有4個三角形，6根棱和4個頂點，如果你使勁吹一個表面柔軟的四面體，它會脹成一個球，故這樣看來，一個球可以切割成四個面、六根棱和四個頂點。我們就有了V−E+F=2。對於金字塔方錐也一樣，它有五個面——四個三角形和一個正方形，八根棱和五個頂點。對於任意其它的面、棱和頂點組合也一樣，」亞當斯說。「這是一個非常酷的事實！頂點、棱和面的組合提示了球體的一些非常基本的東西。」狹義相對論

愛因斯坦又一次榜上有名，這次是因為他的狹義相對論方程，它表明時間和空間不是絕對的概念，而是受觀察者速度影響的相對概念。上面的方程表明，一個人在任意方向運動得越快，時間會愈加膨漲，或變得更慢。「它非常簡潔，任何一名高中畢業生都會用，沒有複雜的求導和線性代數。」歐洲核子中心日內瓦實驗室的一名粒子物理學家比爾·莫瑞（Bill Murray）說，「但它表達的是一種全新的觀察世界的方式，一種對待現實和我們與它之間關係的全新態度。突然間，那個剛性的不變的宇宙被掃除乾淨了，取而代之的是一個人性的世界，它同你的觀察相關。你從在宇宙之外的審視者變成了其中的一部分。而這個概念和數學可以被任何想學的人掌握。」莫瑞說，比起愛因斯坦後續理論中的複雜方程，他更偏愛狹義相對論方程。「我都沒弄懂廣義相對論中的數學。」他補充道。1 = 0.999999999…

這是一個簡單的方程式，它的意思是，0.999緊跟著無限個小數位的9，其結果與1等價。這是康奈爾大學數學家斯蒂芬·斯托加茲（Steven Strogatz）的最愛。他說：「我愛它的簡單，任何人都能夠理解其意思——但是它又多麼挑釁啊！許多人就不相信這是真的。它也是優美的平衡，左側代表數學的開始，而右側則代表神秘的無限。」歐拉－拉格朗日方程及諾特定理

「這非常抽象，但令人驚奇的強大。」紐約大學的克蘭默說，「更酷的是，這種思考物理的方式經歷了物理學的許多主要革命卻依然正確，比如量子力學、相對論的出現，等等。」在這裡，L表示拉格朗日量，它代表一個物理系統的能量量度，比如彈簧、槓桿或基本粒子。「求解這個方程會讓你明白系統會如何隨時間演化，」克蘭默解釋說。拉格朗日方程的一個副產品是諾特定理，以二十世紀德國數學家埃米·諾特（Emmy Noether）命名。「該定理對於物理學和對稱論來說非常基礎。簡單地講，該理論是說如果你的系統有一個 對稱性，則必伴隨一個守恆量。比如，今天的物理基本定律與明天是一樣的（時間對稱性），這個思想則意味著能量是守恆的。物理定律在這兒的與在外太空是相同的，則意味著動量守恆。對稱性在基礎物理中是起推進作用的概念，這主要得益於諾特的貢獻，」克蘭默補充道。卡蘭 -西曼齊克方程（Callan-Symanzik Equation）

「從 1970 年起，卡蘭-西曼齊克方程就是非常重要的第一原則性方程，尤其是用於描述樸素的預測在量子世界中會如何失敗，」羅格斯大學（Rutgers University）的理論物理學家馬特·斯特拉斯（Matt Strassler）說。此方程有很多應用，包括讓物理學家用它來預測質子和中子的質量和大小。質子和中子是構成原子核的基本粒子。基礎物理告訴我們，兩個物體之間的引力和電磁力，與它們之間的距離成平方反比關係。簡單來講，這也適用於強核子力，該力把質子和中子捆綁起來構成了原子核，也是它將夸克捆綁起來構成了質子和中子。但是，微小的量子漲落會影響力與距離的依賴關係，這對強核力帶來的影響是巨大的。「這阻礙了此力在長距離處的衰減，結果導致對夸克的囚禁，迫使它們形成了質子和中子，從而構造了我們的世界，」斯特拉斯解釋說。「卡蘭 -西曼齊克方程的作用與這個巨大的難以計算的效應相關聯，當距離在大概質子大小的尺寸時它很重要，當距離比質子尺寸小很多時它更加敏感，更容易計算其效應。」極小曲面方程

「極小曲面方程以某種方式形成了美麗的肥皂薄膜，這個你可以用金屬框伸進肥皂水中泡一下再拿出來而製作。」威廉姆斯學院的數學家弗蘭克·摩根（Frank Morgan）說，「此方程是非線性的，涉及到導數的冪和乘積，其中暗含的數學表現在肥皂薄膜的奇怪反應上。它的非線性與大家熟悉的線性偏微分方程相不同，比如熱傳導方程，波動方程，以及量子力學中的薛定諤方程。」歐拉線（The Euler line）

紐約數學博物館的奠基人格倫·惠特尼（Glen Whiteney）選擇了另一個幾何定理，它與歐拉線有關，以十八世紀瑞士數學家和物理學萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）來命名。惠特尼這樣解釋：「選擇任一個三角形，畫一個包含此三角形的最小的圓，並找到其圓心。找到三角形的重心——如果把三角形從紙上切下來，針頂著重心可令它保持平衡。畫出三角形的三條垂線（過三角形任意定角，並垂直於該角對邊的線），找到它們交匯的點。該定理是說，你剛才找到的同一個三角形的這三個點始終位於一條直線上，這條線就叫三角形的歐拉線。」這條定理蘊含了數學的美與強大，數學經常會用簡潔、熟悉的形狀提示出令人驚訝的模式。

作者：Clara Moskowitz 編譯：心蛛 校對：鎖相