論文推薦| 魏冠軍：顧及不確定性影響的變形概率預報法

《測繪學報》

構建與學術的橋樑 拉近與權威的距離

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1. 蘭州交通大學測繪與地理信息學院, 甘肅 蘭州 730070;

2. 測繪科學研究院, 北京 100830

收稿日期：2016-10-24； 修回日期：2017-03-16

基金項目：國家自然科學基金（41364001）；甘肅省自然科學基金（1508RJEA065）；蘭州交通大學科技支撐計劃（ZC2014002）

第一作者簡介：魏冠軍 (1976-), 男, 博士, 副教授, 主要從事測量數據處理的理論與演算法研究

通信作者：黨亞民

摘要：針對變形預報的不確定性，以MCMC演算法和貝葉斯預測理論為基礎，提出了變形概率預報方法，該方法以概率分佈的形式描述變形預報的不確定性，通過概率規則實現預報的遞推過程。利用寧杭高速路基沉降數據進行數值計算，定量分析了預報值及其可靠性區間等信息，並與最小二乘估計、免疫演算法的預報結果進行比較，結果表明了該方法的有效性和可行性。

關鍵詞：預報不確定性 測量誤差 參數不確定性 Gibbs抽樣 概率預報

Method of Deformation Probability Prediction Considering the Influence of Uncertainty Factors

, DANG Yamin2

, ZHANG Chuanyin21

Abstract: A probabilistic prediction method of deformation is proposed based on the MCMC algorithm and the Bayesian Prediction Theory.This method describes the uncertainty of deformation prediction using probability distributions and implement the recursive process of prediction by probability rules. The settlement data from the Nanjing-Hangzhou high-speed roadbed is used to quantitatively analyze the forecast values, reliability intervals and so on, and then the results are compared with those obtained by the least squares estimation and the immune algorithm, and it has shown that the proposed method is effective and feasible.

Key words: prediction uncertainty measurement error parameter uncertainty Gibbs sampling probability predication

建立有效的變形預報模型是分析變形監測資料、理解變形機理和檢驗工程設計理論的重要手段[

]，同時，變形預報成果為災害預警和工程安全性評估提供了重要的決策依據。20世紀70年代初，國內外學者相繼提出了變形預報的統計模型、確定性模型和混合模型[

]。為考慮變形體在不同觀測時刻的空間狀態，並建立各個狀態之間的聯繫，一些學者提出了變形的時間序列分析模型[

][

]等預報理論與方法。將變形體作為一個整體，綜合考慮變形體多個監測點的空間相關性，提出了多點變形預測模型[

-

]。此外，由於變形過程受一些非線性、不確定性因素的影響，變形預報的灰色系統理論、突變理論、神經網路、小波分析等方法變形預報結果存在一定程度的不確定性。這種不確定性的產生，一方面是由於自然環境因素、地質條件及各種荷載 (力) 等綜合影響並且在動態變化之中，從而導致變形過程的不確定性；另一方面，由於監測數據存在誤差，岩土體本構關係複雜，難以建立精確的數學模型。用不精確的模型來描述、模擬複雜的動態變形過程，這種不確定性也是顯而易見的[

-

]。然而，已有的變形預報方法只給出一個確定的預報值，並不能較完整地定量化表徵變形預報的不確定性；同時，單值的變形預報結果在一定程度上制約著災害預警和工程安全性評估的可靠性。因此，變形預報的不確定性研究是一個亟待解決的問題。目前，變形預報的不確定性研究相當有限[

-

]。概率作為表徵水文預報、氣象預報不確定性的一種方式已得到廣泛的應用[

-

]。因此，本文針對變形預報的不確定性，擬採用MCMC (Markov Chain Monte Carlo，MCMC) 演算法[

]，綜合考慮監測數據誤差和反演模型參數不確定性的影響，提出了變形概率預報方法。該方法以概率分佈的形式描述變形預報的不確定性，通過概率規則來實現預報的學習和推理過程，最大限度地利用了預報當前時刻的所有信息。對概率預測分佈的Gibbs抽樣計算，可求得預報量的均值、方差及置信區間等信息，定量地分析了變形預報的不確定性，同時，該方法提供了預報值的可靠性區間，對災害預警和工程安全性評估具有重要的參考價值。

1 變形概率預報方法1.1 不確定性反演分析

不確定性反演分析是指運用隨機過程、模糊數學、分形幾何等不確定性數學工具來分析量測信息的不確定性及反演模型的非確定性。在工程領域，不確定性反演分析主要有極大似然估計、貝葉斯方法、卡爾曼濾波法等[

]12, …,

12, …,

) 為參數的變形分析模型，則變形監測數據

與變形分析模型

(

) 之間的關係為

式中，

為隨機變數，且

~N (0,

-1)；

為未知的待定參數，表示監測數據誤差和模型結構的不確定性。, …,

) 服從正態分佈

則變形觀測值的似然函數為

根據貝葉斯理論，並顧及參數的先驗分佈π(θ)，變形模型參數的后驗概率分佈為

12, …,

) 描述了參數的不確定性。

1.2 概率預報遞推演算法

根據文獻[

]的研究，利用貝葉斯預測理論來推斷未來時刻的觀測值必須依靠預測分佈。若將預測值 (

pre) 作為一個附加的未知參數，並與模型參數 (

) 一起進行估計，利用聯合后驗概率分佈

(

pre,

|

obs) 來推斷未來觀測值的邊緣后驗分佈

(

pre|

式 (5) 的概率預測分佈

(

pre|

obs) 涵蓋了參數后驗分佈

(

|

obs) 和預測值的函數分佈

(

pre|

)，以概率分佈的形式描述了變形預報的不確定性。

在完全沒有獲得變形觀測數據的情況下，利用參數的先驗分佈π(θ) 可求得未知且可觀測的數據分佈為

在實際變形分析中，預測通常是在獲得一定的觀測數據之後進行。在不同的時間間隔獲取的變形監測數據，利用貝葉斯遞推演算法推斷出某一時刻變形的一步概率預測分佈 (圖 1)，過程如下：

11

(2) 隨著

22111222

2

(3) 依次遞推，當

12、…、

獲取后，逐次遞推的模型參數后驗分佈為

同理，

時刻的一步預測分佈為

隨著觀測數據的不斷更新，並不斷地對參數的先驗信息進行更新與修正，使得參數的估計越來越準確，相應的預測分佈也隨之更新與修正, 實現了利用概率規則的學習和推理過程。

1.3 概率預測分佈的數值計算

[

]。文獻[

]將Gibbs抽樣應用到複雜、高維的后驗概率分佈計算，不僅求得未知參數的估計值，還獲得參數的方差、置信區間及MC誤差等信息。由於變形模型的參數后驗概率分佈 (式 (4)) 和變形的概率預測分佈 (式 (5)) 的計算都涉及高維、非標準的分佈，很難用傳統的數值方法來計算。因此，本文採用Gibbs抽樣演算法進行概率分佈的數值計算，具體的過程如下：0, …,

012, …,

) 的任一初值，然後逐一從下述滿條件分佈進行抽樣：從參數滿條件分佈

(

1，…,

012, …,

) 中抽取

；然後依次從參數滿條件分佈

(

|

，…,

-1112, …,

) 中抽取

1；從預測滿條件分佈

(

+1，…,

112, …,

) 中抽取

1從這樣一個完整的抽樣過程稱之為一次迭代，並用

(1)=(

1(1),

2(1), …,

(1),

+1(1)) 來表示生成的向量。第二次迭代是以

(1)=(

1(1),

2(1), …,

(1),

+1(1)) 作為初值，重複上述迭代抽樣過程。在足夠的退火期 (burn-in period) 后，經過

次迭代產生Gibbs抽樣序列

=

(1),

(2), …,

(

)可形成了一個Markov鏈，收斂到獨立於初始值的平穩分佈

(

|

12, …,

) 和

(

+112, …,

)。此時，就可以利用採樣數據的統計計算結果進行未來時刻的變形預測及不確定性分析。

2 工程實例分析

[

]進行地基沉降泊松曲線模型擬合與預測，利用WinBUGS軟體編程來實現本文的方法。

2.1 MCMC計算收斂性判斷

採用MCMC方法構造的Markov鏈，再經過足夠長的預熱過程后達到穩定，即滿足遍歷性、歸一性和平穩性條件的Markov過程，之後的各個狀態採樣值可視為來自目標分佈。利用Gelman收斂準則可直觀、準確地判斷Markov鏈的收斂性，即后驗分佈的Gibbs採樣軌跡圖趨於一條直線，說明迭代採樣過程是收斂的[

]。通過對20期的一步預測分佈的Gibbs採樣軌跡圖判斷 (

)，Markov鏈在大約經過500次採樣預熱之後，採樣軌跡圖趨於一條直線，說明沉降變形預測分佈的採樣值收斂較快，且本次Gibbs抽樣迭代計算是收斂的。

考慮到監測數據誤差及模型參數反演等不確定性因素影響，以變形概率預測分佈來代替傳統的變形預報值 (一個常數)。Markov鏈收斂以後的採樣值可視為來自變形概率預測分佈的獨立樣本，利用採樣值繪製變形的概率預報分佈曲線 (圖 3)。當預測量概率分佈曲線比較陡且拖尾較小時，相應的置信區間寬度變小，即預報的不確性小；當預測的概率分佈曲線比較緩且拖尾較大時，相應的置信區間寬度變大，即預報的不確定性較大。

Markov鏈收斂以後的採樣值可視為來自變形概率預測分佈的獨立樣本，用於預測量的統計計算及可靠性分析。表 1列出了20期地基沉降一步概率預測分佈採樣值的統計結果，預報量的均值、標準差、95%置信區間及MC誤差等信息，較好地表徵了變形預報的不確定性。

表 1 K95+520沉降觀測值與不同方法計算的預測值Tab. 1 K95+520 settlement observed and predicted of different method

表選項

為了驗證本文的變形概率預測分佈方法的有效性，與相同數據、同一模型的免疫演算法、最小二乘演算法的擬合預測結果進行比較 (表 1)，通過擬合殘差對比，變形的概率預報方法不僅預測精度優於免疫演算法和最小二乘方法，而且給了預測值的可靠性區間，從而突出了該方法的有效性及優勢。

此外，從3種方法的預測誤差序列圖來看，預測誤差的正負性均呈現出明顯的一致，但概率預報方法的預測誤差略小於其他兩種方法 (圖 4)。在20期預測中，有12期免疫演算法預測的預測誤差大於其他兩種方法，而最小二乘的預測誤差雖與概率預報方法相當，但殘差略大 (表 1)。

針對變形過程的不確定性，本文提出了變形概率預報方法，通過概率規則實現預報的遞推過程。主要結論如下：① 將參數的先驗信息、監測信息的不確定性，按貝葉斯法則考慮在目標函數中，並利用其預測理論推斷出下一時刻變形的一步概率預測分佈；② 通過對一步概率預測分佈的抽樣計算，得出了預報量的均值、標準差、95%置信區間等信息，較好地表徵了變形預報的不確定性；③ 結合工程實例，通過對比不同預測方法的結果表明，變形概率預報方法預測精度較高，表明了該方法的有效性，同時，本文方法給出了預測值的可靠性區間，對於工程災害預警及安全性評估具有一定的實用性。

【引文格式】魏冠軍，黨亞民，章傳銀，等。 顧及不確定性影響的變形概率預報法[J]. 測繪學報，2017，46(4)：526-532. DOI: 10.11947/j.AGCS.2017.20160531

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