悄悄告訴你，什麼才叫數學功底！

數學思維

數學之美

數學功底是什麼？一言以蔽之，數學的思維方式。

數學的思維方式學得好，就算拿到一個新概念，也能快速理解並用來解決問題。就算不知道，只需要在遇到的時候現學就可以了。

那數學的思維方式有哪些呢？

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嚴格

這裡說嚴格是區別於嚴謹。嚴謹更強調對細節的注意。而這裡說的嚴格，就是嚴格套定義！定義說什麼就是什麼，不要摻入自己的想法！然後嚴格按定義嚴格判斷和證明！不要去想什麼理不理解，定義就是那個樣子，我經常很頭疼的一個問題就是我不理解xx（概念），你給我講一下。我直覺就是，有什麼不理解的，定義就在那裡，符合就對，不符合就錯，沒什麼不理解的。

定義就在那裡，非空集合，二元運算（從名字上就可以理解，二元就是兩個元素，二元運算，顯然就是兩個元素參與的運算），封閉性，結合律，單位元，逆元的概念就在那裡，清晰明了，沒什麼可以說的。然後問一個問題：實數對加法是否構成一個群？實數顯然非空，加法也顯然是一個二元運算。

來看定義。

（1）封閉性。對實數集中任意兩個數a,b,a+b=c,c是唯一的嗎，c也屬於G嗎？顯然是肯定的，這條符合；
（2）結合律成立。任意(a+b)+c是否等於a+(b+c),太明顯了，肯定成立；
（3）單位元存在。是否有某個實數e,使得實數a+e=e+a=a,什麼數e加上一個另一個數會等於那個數本身呢，顯然是0 ，單位元存在；
（4）逆元存在，任意一個數a ，是否存在b，使a+b=0呢，顯然是對應的負數。成立。

所以，實數集對加法構成群。

根據這個定義，也很容易判斷，實數集對乘法不構成群。0不存在逆元。

這裡用到了那些知識？除了可能有人不認識，其他的都應該是一個國中生都能知道的。

換句話說，給一個國中生看完群的概念，再讓他判斷實數集對加法能否構成一個群，都應該能判斷出來！！

但是有多少國中生能獨立判斷出來？

嚴格按定義，看起來不值一提，但這是一種很深刻的數學素養，沒見過的數學知識太多，如何在第一次遇到就迅速學習？就是嚴格看定義，不要去想什麼理不理解。

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思想方法

其中最核心的是分析和綜合。

綜合，就是從已知條件進行推導，看能得到什麼東西。
分析，就是從問題出發，看要解決問題，需要哪些東西。

一個綜合的例子：對於一個非齊次線性方程組Ax=B,是其中r個解，記，若也是方程組的解，求已知A*=B,A*=B,也是解，那麼A*=B,是個什麼呢？,於是A=B,但是又注意到A*=B,A*=B,A*=B,於是然後,一目了然，

一個分析的例子：

我們現在將上一個例子改為證明，就是證明=1，為了證明這一串式子等於1，要是能證明或就好了。對於後面一個，一看，，於是

顯然是成立的，就證明成功了。寫過程的時候到去就可以了。這個例子可能不是很好⊙▽⊙只是為了說明從問題出發到已知條件的過程。

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問題轉化

對問題進行轉化有兩種很重要的思維方式：構造和映射。

構造就是構造一個函數、方程、新定義來解決和證明問題。

比如為了證明一個多項式比另一個大，構造一個差函數，用導數來證明差大於0。

映射就是將問題映射為一個模型或其他的東西，這個可能在科研里用得比較多。

圖論裡面也有很多例子。比如著名的七橋問題。

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多說幾句

那麼，數學功底究竟指的是什麼？是建立模型解決問題的能力？是對純數學的理解？是題海戰術後會有的必然結果？還是只要認真思考，保持好奇心和求知慾后，對數學的那種不再懼怕，反而更加喜歡？

數學功底，如我開頭所說，最本質是一種思維方式，但是這種思維方式一般要經過大量的練習和知識的積累才能形成。

我也是做了很多題之後才逐漸明晰這些想法。

平常看證明，看問題解析的時候的時候，不妨多想想，是如何來構造、對問題進行轉化的，證明的結構是什麼，先證明什麼后證明什麼。

有意識地培養上面提到的數學的思維方式，抓定義，分析，綜合，構造，映射。

做題的時候也要有意識地運用分析綜合的思想，想想從已知條件得到什麼，哪些是有用的，哪些是沒有用的。如果要構造一個東西來解決問題，應該怎麼辦…………多學習新知識。多接觸新的領域，才能逐漸融會貫通。對知識有深入的理解，建立模型解決問題的能力才能逐漸增強。所謂以不變應萬變。

認真思考，保持好奇心是很有必要的。放哪裡都成立。

很多數學思想是在特定的場合下才能展現出其魅力的。

數學最大的魅力就在於下定義. 有人說 Manin 說過: "A good definition takes a group of first class mathematicians search in the dark for 30 years. " 恰當的定義可以讓我們用恰當的觀點看問題. 當我們從恰當的觀點看問題, 一切都變得簡單而自然。

本文由超級數學建模編輯整理

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