俄羅斯方塊背後的數學故事

1984年的時候，當時還名不見經傳的阿列克謝•帕基特諾夫（Alexey Pajitnov）只是蘇聯科學院計算機中心的一位普通的工程師。他熱衷於開發電腦遊戲，不過這些遊戲賣得都不好。那年夏天，他突然又想到了一個新點子——讓不同形狀的積木落進一個矩形的玻璃容器里，在容器底部堆疊起來，使之排列成完整的一行或多行。在兩位同伴的協助下，他很快編寫好了這個遊戲。

雖然他早就預感到這個遊戲可能會火起來，但結果還是令他瞠目結舌：這個遊戲在莫斯科迅速流行起來，並很快風靡全球。此後，這個遊戲被移植到了幾乎所有的電腦系統和遊戲平台上，不少mp3、mp4、手機、電視甚至示波器上也附帶有這個遊戲。並且它還衍生出其他各類玩法，極大豐富了解謎遊戲的類型。這個無人不知無人不曉的經典遊戲後來被命名為——俄羅斯方塊。

俄羅斯方塊的小知識

你對俄羅斯方塊了解多少？你知道俄羅斯方塊的遊戲場地大小嗎？你知道每一種方塊的名字嗎？

俄羅斯方塊的遊戲場地是一個寬為10，高為20的矩形。遊戲里共有7種方塊，根據它們的形狀分別命名為I, J, L, O, S, T, Z。玩家需要控制不斷下落的方塊填放到合適的位置，被填滿的行將自動消除。視局面的不同，玩家一次可消除1行至4行不等，這在遊戲里分別叫做 SINGLE、DOUBLE、TRIPLE和TETRIS。一次性消除的行數越多，得分也就越高。隨著被消除的總行數的增加，方塊下落速度會越來越快。一旦某個方塊放置后超出了場地高度，遊戲便自動結束。

俄羅斯方塊背後的數學問題

俄羅斯方塊不但讓幾代玩家為之瘋狂，也讓不少數學家沉迷於其中。

俄羅斯方塊引出的第 一個數學問題是，如果玩家的技術足夠高，遊戲是否永遠也不會結束？1988年，約翰•布魯托斯基（John Brzustowski）的一篇論文指出，若「S」型方塊和「Z」型方塊以適當的間隔交替出現時，遊戲區域中將不可避免地出現越來越多無法消去的行，最終導致遊戲結束。雖然這種情況發生的概率極低，但畢竟是有可能的，因此理論上俄羅斯方塊是不能一直玩下去的。

另一個值得思考的問題是，遊戲中用到的7種方塊總面積為28，那麼是否能用這7個不同形狀的方塊拼出一個4×7的矩形呢？雖然遊戲中的方塊似乎都是填補空間的好手，但這個問題的答案卻是否定的。原因很簡單：如果把這7種方塊都放到國際象棋棋盤上，你會發現幾乎每一種方塊都總是佔據著兩個黑色格子和兩個白色格子，只有「T」型方塊所佔的黑白格子個數始終不等。因而7個方塊所佔據的黑白格子總數也是不相等的。但在一個4×7的矩形區域中黑白格子數目是相同的，因此它不可能被這7個方塊完全覆蓋住。

有趣的是，這7種方塊恰好能構成一個平面鑲嵌。如果一組幾何圖形能夠既無重疊又無空缺地填滿整個平面，我們就把它稱作一種平面鑲嵌。地磚的形狀基本上都是等邊三角形、正方形和正六邊形，這就是因為單用一種正多邊形構造平面鑲嵌僅有這三種情況。如果允許使用多種圖形，我們還能構造出更多漂亮的平面鑲嵌圖。一些設計師別出心裁，把牆磚做成了俄羅斯方塊的形狀，給居家生活帶來幾分創意。

趣味拼圖題

我堅信人人都玩過這極易上手的遊戲。還有很多人用俄羅斯方塊搭建出各種創意圖形。那你能搞定下面兩個問題嗎：

如何把6個「L」形狀的方塊擺放在一起，使得每個「L」恰好都和另外三個「L」相鄰？

怎樣用奇數個「L」擺成一個軸對稱圖形？

（答案隨後揭曉）

從俄羅斯方塊到多聯骨牌

數學家們還對這幾種方塊進行了擴展，用於更深層次的研究。通常把所有由若干個小正方形拼接起來組成的圖形統稱為多聯骨牌 （Polyomino）。多聯骨牌是組合數學中一個有趣而又非常具有挑戰性的課題。俄羅斯方塊中所用到的就是四聯骨牌，它一共有7種。利用計算機窮舉我們還能很快知道，五聯骨牌有18種，六聯骨牌則有60種。但對於一般的n聯骨牌的數目，數學家們只找到了一些近似公式，目前仍然沒有一個準確的答案。另外，哪些多聯骨牌可以拼成完全對稱圖形，哪些多聯骨牌能夠平鋪整個平面，這都是數學家們研究的課題。多聯骨牌不僅是電子遊戲和數學謎題中的常客，在生活各個領域中也都隨處可見。包裝盒的展開圖、組合傢具的設計、元素周期表的排版、圍棋中的死活棋⋯⋯它們都和俄羅斯方塊有著千絲萬縷的聯繫。

答案揭曉：

第一問答案：

第二問答案：