打好函數基礎，突破函數，你就相當於突破高考數學

函數可以說是聯考數學的重中之重，幾乎是每年聯考數學必考熱點之一。

這是為什麼呢？從函數的定義我們可以看出一些端倪，傳統函數定義：

一般的，在一個變化過程中，假設有兩個變數x、y，如果對於任意一個x都有唯一確定的一個y和它對應，那麼就稱x是自變數，y是x的函數。

x的取值範圍叫做這個函數的定義域，相應y的取值範圍叫做函數的值域 。

現代數學函數的定義：

給定一個數集A，對A施加對應法則f，記作f（A），得到另一數集B，也就是B=f（A）。那麼這個關係式就叫函數關係式，簡稱函數。

函數概念含有三個要素：定義域A、值域C和對應法則f。其中核心是對應法則f，它是函數關係的本質特徵。

從這裡我們可以看出，函數具有邏輯性強、系統性強、非常抽象等鮮明數學特點，同時解決函數類問題我們還要藉助圖象等手段，這就說明跟函數相關的問題，都蘊含包括數形結合在內等豐富的數學思想方法。

因此，函數類問題因其具有這些特殊性，在平時數學學習過程中能很好培養一個人的思維能力，在考試當中更加能考查一個人運用知識解決問題能力水平的高低，自然就成為聯考數學的熱門考點。

冪函數是高中函數中一種重要函數，也是5類基本初等函數之一，今天我們就來講講與冪函數相關的聯考數學問題。

一般地.形如y=xα(α為有理數）的函數，即以底數為自變數，冪為因變數，指數為常數的函數稱為冪函數。如函數y=x0、y=x1、y=x²、y=x-1（註：y=x-1=1/x y=x0時x≠0）等都是冪函數。

冪函數是形如y=xa的函數，a可以是自然數、有理數，也可以是任意實數或複數 。

大家一定要記住一些常用冪函數的圖象與性質，如下表：

典型例題分析1：

已知二次函數f(x)有兩個零點0和－2，且它有最小值－1.

(1)求f(x)解析式；

(2)若g(x)與f(x)圖象關於原點對稱，求g(x)解析式．

解：(1)由於f(x)有兩個零點0和－2，

所以可設f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，

這時f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a，

由於f(x)有最小值－1，

所以必有a＞0且-a=-1

解得a＝1.

因此f(x)的解析式是f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x.

(2)設點P(x，y)是函數g(x)圖象上任一點，

它關於原點對稱的點P′(－x，－y)必在f(x)圖象上，

所以－y＝(－x)2＋2(－x)，

即－y＝x2－2x，

y＝－x2＋2x，

故g(x)＝－x2＋2x.

同時，要牢記以下冪函數圖象的三個特點：

1、冪函數的圖象一定會經過第一象限，一定不會經過第四象限，是否經過第二、三象限，要看函數的奇偶性；

2、冪函數的圖象最多只能經過兩個象限內；

3、如果冪函數的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點。

典型例題2：

設f(x)是定義在R上的偶函數，當0≤x≤2時，y＝x，當x>2時，y＝f(x)的圖象是頂點為P(3,4)，

且過點A(2,2)的拋物線的一部分．

(1)求函數f(x)在(－∞，－2)上的解析式；

(2)在下面的直角坐標系中直接畫出函數f(x)的草圖；

(3)寫出函數f(x)的值域．

解：(1)設頂點為P(3,4)且過點A(2,2)的拋物線的方程為

y＝a(x－3)2＋4，將(2,2)代入可得a＝－2，

則y＝－2(x－3)2＋4，

即x>2時，f(x)＝－2x2＋12x－14.

當x2.

又f(x)為偶函數，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，

即f(x)＝－2x2－12x－14.

所以函數f(x)在(－∞，－2)上的解析式為

f(x)＝－2x2－12x－14.

(2)函數f(x)的圖象如圖，

(3)由圖象可知，函數f(x)的值域為(－∞，4]．

解決任何函數問題，我們都需要藉助函數的圖象與性質，如冪函數y＝xα的圖象與性質由於α的值不同而比較複雜，一般從兩個方面考查：

1、α的正負：

α>0時，圖象過原點和(1,1)，在第一象限的圖象上升；

α<0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降。

2、曲線在第一象限的凹凸性：

α>1時，曲線下凸；

0

α<0時，曲線下凸．

在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當的函數。藉助其單調性進行比較，準確掌握各個冪函數的圖象和性質是解題的關鍵。

典型例題分析3：

已知函數f(x)＝x2，g(x)＝x－1.

(1)若存在x∈R使f(x)

(2)設F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上單調遞增，

求實數m的取值範圍．

解：(1)∃x∈R，f(x)

x2－bx＋b<0⇒(－b)2－4b>0⇒b<0或b>4.

故b的取值範圍為(－∞，0)∪(4，＋∞)．

(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，

Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4.

典型例題分析4：

若二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若在區間[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恆成立，求實數m的取值範圍．

解：(1)由f(0)＝1，

得c＝1.即f(x)＝ax2＋bx＋1.

又f(x＋1)－f(x)＝2x，

則a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，

即2ax＋a＋b＝2x，

所以2a=2且a+b=2.

解得a=1,b=-1.

因此，f(x)＝x2－x＋1.

(2)f(x)>2x＋m等價於x2－x＋1>2x＋m，

即x2－3x＋1－m>0，

要使此不等式在[－1,1]上恆成立，

只需使函數g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大於0即可．

∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上單調遞減，

∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，

由－m－1>0得，m

因此滿足條件的實數m的取值範圍是(－∞，－1)．

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