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小學數學故事:七座橋的故事

沿著俄國和波蘭的邊界,有一條長長的布格河。這條河流經俄國的古城康尼斯堡——它就是今天俄羅斯西北邊界城市加里寧格勒。

布格河橫貫康尼斯堡城區,它有兩條支流,一條稱新河,另一條叫舊河,兩河在城中心會合后,成為一條主流,叫做大河。在新舊兩河與大河之間,夾著一塊島形地帶,這裡是城市的繁華地區。全城分為北、東、南、島四個區,各區之間共有七座橋樑聯繫著。

人們長期生活在河畔、島上,來往於七橋之間。有人提出這樣一個問題:能不能一次走遍所有的七座橋,而每座橋只准經過一次?問題提出后,很多人對此很感興趣,紛紛進行試驗,但在相當長的時間裡,始終未能解決。最後,人們只好把這個問題向俄國科學院院士歐拉提出,請他幫助解決。

公元1737年,歐拉接到了「七橋問題」,當時他三十歲。他心裡想:先試試看吧。他從中間的島區出發,經過一號橋到達北區,又從二號橋回到島區,過四號橋進入東區,再經五號橋到達南區,然後過六號橋回到島區。現在,只剩下三號和七號兩座橋沒有通過了。顯然,從島區要過三號橋,只有先過一號、二號或四號橋,但這三座橋都走過了。這種走法宣告失敗。歐拉又換了一種走法:

島東北島南島北

這種走法還是不行,因為五號橋還沒有走過。

歐拉連試了好幾種走法都不行,這問題可真不簡單!他算了一下,走法很多,共有

7×6×5×4×3×2×1=5040(種)。

好傢夥,這樣一種方法,一種方法試下去,要試到哪一天,才能得出答案呢?他想:不能這樣呆笨地試下去,得想別的方法。

聰明的歐拉終於想出一個巧妙的辦法。他用A代表島區、B、C、D分別代表北、東、西三區,並用曲線弧或直線段表示七座橋,這樣一來,七座橋的問題,就轉變為數學分支「圖論」中的一個一筆畫問題,即能不能一筆頭不重複地畫出上面的這個圖形。

歐拉集中精力研究了這個圖形,發現中間每經過一點,總有畫到那一點的一條線和從那一點畫出來的一條線。這就是說,除起點和終點以外,經過中間各點的線必然是偶數。像上面這個圖,因為是一個封閉的曲線,因此,經過所有點的線都必須是偶數才行。而這個圖中,經過A點的線有五條,經過B、C、D三點的線都是三條,沒有一個是偶數,從而說明,無論從那一點出發,最後總有一條線沒有畫到,也就是有一座橋沒有走到。歐拉終於證明了,要想一次不重複地走完七座橋,那是不可能的。

天才的歐拉只用了一步證明,就概括了5040種不同的走法,從這裡我們可以看到,數學的威力多麼大呀!



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