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為什麼說《幾何原本》是數學中的《聖經》

數學對於社會發展的重要性,已經被越來越多的人所認識和了解。過去我們很多人討論的是學習數學有什麼用?但現在我們討論更多的是如何讓數學發揮更大的作用。

數學從無到有,從具體抽象知識到深入我們生活方方面面,都體現了人類文明的進步。如幾何數學知識的運用,從建築到生活用品,各種各樣的物品都能找到幾何知識的影子。

幾何與藝術進行結合更是產生精美絕倫的分形藝術,分形藝術從某種角度上講「拋棄」了傳統幾何給人帶來呆板、嚴肅的感覺,使枯燥的數學不再僅僅是抽象的哲理,而是具體感官能感受到,同時也讓數學不僅僅是揭示自然規律的存在,可以像藝術一樣的進行創作,分形藝術讓數學變得藝術,變得更美。

幾何知識雖然對現代生活影響巨大,但一開始發展並非一帆風順。史料記載,最早的幾何學興起於公元前7世紀的古埃及,後來傳到古希臘的都城,之後在畢達哥拉斯學派系統里奠基。此時人們已經積累了許多幾何學的知識,也認識到幾何的重要性,但很多數學家都發現一個很大的缺點和不足,就是當時 的幾何學缺乏系統性,如公理與公理之間、證明與證明之間並沒有什麼很強的聯繫性,都是一些片斷、零碎的知識。

歐幾里得深受柏拉圖數學思想,尤其是對幾何學理論系統進行研究后,發現幾何學理論的重要性。加上當時社會經濟比較繁榮,如農林畜牧業的發展、土地開發和利用的增多,更需要人們把幾何學知識加以條理化和系統化,成為一整套知識體系。

因此,歐幾里得在結合前人思想,加上自己在幾何方面的研究,最終創造一本不朽之作:《幾何原本》。為何說這本書是不朽之作呢?如在書中歐幾里得把人們公認的一些事實列成定義和公理,以形式邏輯的方法,用這些定義和公理來研究各種幾何圖形的性質,從而建立了一套從公理、定義出發,論證命題得到定理的幾何學論證方法,形成了一個嚴密的邏輯體系——幾何學。在創作過程中歐幾里得使用了公理化的方法,這一方法後來成了建立任何知識體系的典範,在差不多二千年間,被奉為必須遵守的嚴密思維的範例。

歐幾里得是古希臘數學家,被稱為「幾何之父」,他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎,提出五大公式,歐幾里得幾何,被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關於透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。

《幾何原本》這部書已經基本囊括了幾何學從公元前7世紀的古埃及,一直到公元前4世紀——歐幾里得生活時期——前後總共400多年的數學發展歷史。它不僅保存了許多古希臘早期的幾何學理論,而且通過歐幾里得開創性的系統整理和完整闡述,使這些遠古的數學思想發揚光大。

《幾何原本》全書共13卷:

第1卷,給出了歐幾里得幾何學的基本概念、定義、公理、公設等;

第2卷,面積和變換;

第3卷,圓及其有關圖形;

第4卷,多邊形及圓與正多邊形的作圖;

第5、6卷,比例與相似形;

第7卷,數論;

第8卷,連比例;

第9卷,數論;

第10卷,不可通約量的理論;

第11卷,立體幾何;

第12卷,利用「窮竭法」證明圓面積的比等於半徑平方的比;球體積的比等於半徑立方的比,等等;

第13卷,正多面體。

其中有關窮竭法的討論,成為近代微積分思想的來源。同時在書中包含了5個「假設」、5條「公設」、23個定義和48個命題。在每一卷內容當中,歐幾里得都採用了與前人完全不同的敘述方式,即先提出公理、公設和定義,然後再由簡到繁地證明它們,這使得全書的論述更加緊湊和明快。

正因為如此,歐幾里得開創了古典數論的研究,在一系列公理、定義、公設的基礎上,創立了歐幾里得幾何學體系,成為用公理化方法建立起來的數學演繹體系的最早典範。如所有的定理都是從一些確定的、不需證明而礴然為真的基本命題即公理演繹出來的。在這種演繹推理中,對定理的每個證明必須或者以公理為前提,或者以先前就已被證明了的定理為前提,最後做出結論。

可惜的是《幾何原本》原書早已失傳,現存《幾何原本》的一種版本是公元4世紀末泰恩的《幾何原本》修訂本。還有一個版本是18世紀在梵蒂岡圖書館發現的一個10世紀的《幾何原本》希臘手抄本,其內容早於泰恩的修訂本。

1582年,義大利人利瑪竇到傳教,帶來了15卷本的《原本》。1600年,明代數學家徐光啟(1562-1633)與利瑪竇相識后,便經常來往。1607年,他們把該書的前6卷平面幾何部分合譯成中文,並改名為《幾何原本》。

徐光啟(1562~1633),字子先,上海吳淞人。他在加強國防、發展農業、興修水利、修改曆法等方面都有相當的貢獻,對引進西方數學和曆法更是不遺餘力。

徐光啟翻譯《幾何原本》最大貢獻就是在於確定了研究圖形的中文名稱為「幾何」,並確定了幾何學中一些基本術語的譯名,如幾何學中點、線、直線、平行線、角、三角形和四邊形等中文譯名,都是這個譯本定下來的。之後這些譯名一直流傳到今天,且東渡日本等國,影響深遠。

《幾何原本》的后9卷的翻譯推遲了200多年,由清代數學家李善蘭和英國人偉烈亞力合作完成。

李善蘭(1811~1882),字壬叔,號秋紉,浙江海寧人,自幼喜歡數學。1852年到上海后,李善蘭與偉烈亞力相約,繼續完成徐光啟、利瑪竇未完成的事業,合作翻譯《幾何原本》后9卷,並與1856年完成此項工作。至此,歐幾里得的這一偉大著作第一次完整地引入,對近代數學的發展起到了重要的作用。

從《幾何原本》出版的兩千多年以來,標誌著幾何學已成為一個有著比較嚴密的理論系統和科學方法的學科,這本書成為人們學習幾何知識的主要教材,如哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多偉大數學家、科學家都曾學習過《幾何原本》。

在西方除《聖經》之外,沒有任何一本著作,其使用、研究與印行之廣泛能與《幾何原本》相比。因此,有人稱《幾何原本》為數學的《聖經》。

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