函數+分類討論=中考數學壓軸題！及破解方法！

中考數學當中什麼問題會讓很多學生頭痛？我想函數綜合題應該就是其中一類吧。函數作為數學當中最重要的一塊內容之一，不僅是我們學習的重點，更是中考數學的重中之重，在中考中佔了相當高的比重。

以前我經常說到，數學學習要學會「做一題、會一類」的方法，如研究函數型綜合問題，我們都可以發現具有這樣的特點：一般先給定直角坐標系和幾何圖形，求（已知）函數的解析式（即在求解前已知函數的類型），然後進行圖形的研究，求點的坐標或研究圖形的某些性質。

隨著新課改不斷深入，現在的中考不單單是考查大家掌握多少數學知識，也會考查數學思想方法掌握情況等等。

在中學數學學習階段，我們會學到很多數學思想，如有化歸思想方法、分類討論思想方法、數形結合思想方法、數學建模等等思想方法，分類討論就是其中一種非常重要的數學思想。

分類討論思想是指當被研究的問題存在一些不確定的因素，無法用統一的方法或結論給出統一的表述時，按可能出現的所有情況來分別討論，得出各種情況下相應的結論，分類討論思想有利於學會完整地考慮問題，化整為零地解決問題。

因此，近幾年函數與分類討論進行結合，產生函數分類討論綜合型問題，此類問題知識容量大，題意創新，能很好考查學生的分析問題、解決問題的能力，如內容包括空間觀念、應用意識、推理能力等。

函數分類討論綜合型問題是近幾年中考數學試題的一大熱點和難點，成為中考數學的「香餑餑」。

典型例題分析1：

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx的對稱軸為x=3/4，且經過點A（2，1），點P是拋物線上的動點，P的橫坐標為m（0＜m＜2），過點P作PB⊥x軸，垂足為B，PB交OA於點C，點O關於直線PB的對稱點為D，連接CD，AD，過點A作AE⊥x軸，垂足為E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）填空：

①用含m的式子表示點C，D的坐標：

C，D；

②當m= 時，△ACD的周長最小；

（3）若△ACD為等腰三角形，求出所有符合條件的點P的坐標．

考點分析：

二次函數綜合題．

題干分析：

（1）根據拋物線對稱軸公式和代入法可得關於a，b的方程組，解方程組可得拋物線的解析式；

（2）①設OA所在的直線解析式為y=kx，將點A（2，1）代入求得OA所在的解析式為y=1/2x，因為PC⊥x軸，所以C得橫坐標與P的橫坐標相同，為m，令x=m，則y=1/2m，所以得出點C（m，1/2m），又點O、D關於直線PB的對稱，所以由中點坐標公式可得點D的橫坐標為2m，則點D的坐標為（2m，0）；

②因為O與D關於直線PB的對稱，所以PB垂直平分OD，則CO=CD，因為，△ACD的周長=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO，所以當AD最小時，△ACD的周長最小；根據垂線段最短，可知此時點D與E重合，其橫坐標為2，故m=1．

（3）由中垂線得出CD=OC，再將OC、AC、AD用m表示，然後分情況討論分別得到關於m的方程，解得m，再根據已知條件選取複合體藝的點P坐標即可。

解題反思：

此題看出二次函數的綜合運用，待定係數法求函數解析式，中心對稱，垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，滲透分類討論思想．

因函數分類討論綜合型問題能很好考查一個學生的綜合問題解決能力，如在不同知識點中，分類討論的出題方式又不一樣，加上函數也是中考數學必考知識點，此類問題自然就成為全國很多地方每年中考必考類型。

在國中數學學習階段，我們學習到以下三種函數：

1、一次函數（包括正比例函數）和常值函數，它們所對應的圖像是直線；

2、反比例函數，它所對應的圖像是雙曲線；

3、二次函數，它所對應的圖像是開口向上或向下的拋物線。求已知函數的解析式主要方法是待定係數法，關鍵是求點的坐標，而求點的坐標基本方法是幾何法（圖形法）和代數法（解析法）。

在解決函數分類討論綜合型問題時，我們可能會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，並逐類求解，然後綜合得解，這就是分類討論核心。不過在解決問題過程中，很多學生經常出錯，不是忘了分類討論，就是討論不全，即使都考慮到所有分類談論情況，也因一些步驟問題造成分數丟失。

因此，我們在遇見函數分類討論綜合型問題的時候要有分類討論意識，要知道如何下手解決問題，如要清楚分類討論的原則有哪些：

1、分類中的每一部分是相互獨立的；

2、一次分類按一個標準；

3、分類討論應逐級進行，正確的分類討論必須是周全的，既不重複、也不遺漏。

典型例題分析2：

如圖，直線y=﹣3/4x+3與x軸交於點C，與y軸交於點B，拋物線y=ax2+3/4x+c經過B、C兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當△BEC面積最大時，請求出點E的坐標和△BEC面積的最大值？

（3）在（2）的結論下，過點E作y軸的平行線交直線BC於點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

考點分析：

二次函數綜合題．

題干分析：

（1）首先根據直線y=﹣3/4x+3與x軸交於點C，與y軸交於點B，求出點B的坐標是（0，3），點C的坐標是（4，0）；然後根據拋物線y=ax2+3/4x+c經過B、C兩點，求出a\c的值是多少，即可求出拋物線的解析式．

（2）首先過點E作y軸的平行線EF交直線BC於點M，EF交x軸於點F，然後設點E的坐標是（x，﹣3/8x2+3/4x+3），則點M的坐標是（x，﹣3/4x+3），求出EM的值是多少；最後根據三角形的面積的求法，求出S△ABC，進而判斷出當△BEC面積最大時，點E的坐標和△BEC面積的最大值各是多少即可．

（3）在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形．然後分三種情況討論，根據平行四邊形的特徵，求出使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形的點P的坐標是多少即可。

解題反思：

（1）此題主要考查了二次函數綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應用，考查了數形結合思想的應用，考查了從已知函數圖象中獲取信息，並能利用獲取的信息解答相應的問題的能力．

（2）此題還考查了函數解析式的求法，以及二次函數的最值的求法，要熟練掌握．

（3）此題還考查了三角形的面積的求法，要熟練掌握。

函數分類討論綜合型問題有時候會以運動的點、線段、變化的角、圖形的面積為基本條件，給出一個或多個變數，要求確定變數與其他量之間的函數等其他關係；或變數在一定條件為定值時，進行相關的計算和綜合解答，解答這類題目，一般要根據點的運動和圖形的變化過程，對其不同情況進行分類求解。

函數分類討論綜合型問題，不僅是考查函數與分類討論，更體現了數形結合的思想，能充分考查學生的觀察、分析、歸納、猜想的能力以及綜合運用所學知識解決問題的能力。

函數分類討論綜合型問題具有知識點多，覆蓋面廣，條件隱蔽，關係複雜，綜合性強，解題方法靈活等鮮明特點，同時題型變化多樣。大家若想能解決此類問題，平時除了加強基礎知識的學習，還要通過訓練掌握題型，理解題型，吃透題型。