我是做分析的,我只談談分析上「有限」和「無限」的區別。
首先我講一個吧:「維度」的區別,一個無限維空間恆容易表現出和有限維不同詭異的性質,比如
1.一個有限維度空間上的連續(實值)函數在有界閉集上是可以取到最大最小值的,而在無限維空間上這個結論就錯了,需要把「有界閉集」換成「緊集」,我在下面的回答中談到了這個問題:
dhchen:能不能把泛函簡單地理解為函數?
這裡就不重複了。 那麼這個問題的實質是什麼呢?是拓撲的不同,有限維的賦范線性空間的拓撲太簡單了,本質上都是等價的。而在無限維空間中這個問題就複雜多了,所以這個命題無法推廣與其說是「維度」問題還不如說是「拓撲」問題,當數學家使用了「弱拓撲」之後,他們可以證明(在自反的banach空間中)單位閉球是在這個拓撲下是緊的,一個有界序列必然有弱收斂子序列(這兩個條件也能反過來推出自反性,這是一個比較deep的結果了)。 他們是通過「洞悉一個問題的本質得到推廣的」 。
2. 比如一個緊集
,設它們的凸包為
,在有限維中
是一個緊集,但是在無限維度中,這個結論是錯的:
3. 有限維空間上的線性運算元(處處有定義)必然是連續的,無限空間這個結論是不成立。
4. 由於上面的結果,一個有限空間上的線性運算元
,都可以生成一個一直連續運算元群
,在無限維空間這個結論是不成立,只有少數運算元可以是某個
運算元群的生成元。這個抽象的問題,本質上和方程
的可解性相關。
5. 一個運算元,如果它是有限維空間中的運算元,那麼它必然有非空的點譜(也就是特徵值),但是在無限維空間中它的譜可以是一個非常奇怪的集合。比如,你可以找到一個運算元沒有任何「特徵值」。
.....大部分「線性代數」上的結論都不能直接推廣到無限維空間上。
所以當你要推廣一個結論的時候:你要考慮兩個問題:第一,這個推廣是真的對嗎?有反例嗎?第二,如果要推廣,那麼你需要盡量簡化自己的證明,把結論成立的條件「抽象化」,給他們名字「性質p」,然後你需要證明一般情況下你考慮的對象是否具有「性質p1」,如果沒有,那麼什麼對象沒有,找出這些對象中一個例子,設法在這個例子作出突破和證明,同樣抽象化,得到「性質p2」。 以此類推,到你可以處理全部的情況后,你把所有情況綜合起來考慮,看能不能得到一個更基礎的證明。
-