高中數學33個最易失分知識點和66個易混易錯點！

數學是一切科學的基礎，學習哥現為大家匯總了聯考數學最易失分易錯的知識點，希望可以解決同學們們所遇到的相關問題。

33個最易失分知識點匯總

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1 遺忘空集致誤

由於空集是任何非空集合的真子集，因此B=∅時也滿足B⊆A。解含有參數的集合問題時，要特別注意當參數在某個範圍內取值時所給的集合可能是空集這種情況。

2 忽視集合元素的三性致誤

集合中的元素具有確定性、無序性、互異性，集合元素的三性中互異性對解題的影響最大，特別是帶有字母參數的集合，實際上就隱含著對字母參數的一些要求。

3 混淆命題的否定與否命題

命題的「否定」與命題的「否命題」是兩個不同的概念，命題p的否定是否定命題所作的判斷，而「否命題」是對「若p，則q」形式的命題而言，既要否定條件也要否定結論。

4 充分條件、必要條件顛倒致誤

對於兩個條件A，B，如果A⇒B成立，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；如果B⇒A成立，則A是B的必要條件，B是A的充分條件；如果A⇔B，則A，B互為充分必要條件。解題時最容易出錯的就是顛倒了充分性與必要性，所以在解決這類問題時一定要根據充分條件和必要條件的概念作出準確的判斷。

5 「或」「且」「非」理解不準致誤

命題p∨q真⇔p真或q真，命題p∨q假⇔p假且q假(概括為一真即真)；命題p∧q真⇔p真且q真，命題p∧q假⇔p假或q假(概括為一假即假)；綈p真⇔p假，綈p假⇔p真(概括為一真一假)。求參數取值範圍的題目，也可以把「或」「且」「非」與集合的「並」「交」「補」對應起來進行理解，通過集合的運算求解。

6 函數的單調區間理解不準致誤

在研究函數問題時要時時刻刻想到「函數的圖像」，學會從函數圖像上去分析問題、尋找解決問題的方法。對於函數的幾個不同的單調遞增(減)區間，切忌使用並集，只要指明這幾個區間是該函數的單調遞增(減)區間即可。

7 判斷函數奇偶性忽略定義域致誤

判斷函數的奇偶性，首先要考慮函數的定義域，一個函數具備奇偶性的必要條件是這個函數的定義域關於原點對稱，如果不具備這個條件，函數一定是非奇非偶函數。

8 函數零點定理使用不當致誤

如果函數y=f(x)在區間[a，b]上的圖像是一條連續的曲線，並且有f(a)f(b)<0，那麼，函數y=f(x)在區間(a，b)內有零點，但f(a)f(b)>0時，不能否定函數y=f(x)在(a，b)內有零點。函數的零點有「變號零點」和「不變號零點」，對於「不變號零點」函數的零點定理是「無能為力」的，在解決函數的零點問題時要注意這個問題。

9 三角函數的單調性判斷致誤

對於函數y=Asin(ωx+φ)的單調性，當ω>0時，由於內層函數u=ωx+φ是單調遞增的，所以該函數的單調性和y=sin x的單調性相同，故可完全按照函數y=sin x的單調區間解決；但當ω<0時，內層函數u=ωx+φ是單調遞減的，此時該函數的單調性和函數y=sinx的單調性相反，就不能再按照函數y=sinx的單調性解決，一般是根據三角函數的奇偶性將內層函數的係數變為正數后再加以解決。對於帶有絕對值的三角函數應該根據圖像，從直觀上進行判斷。



10 忽視零向量致誤

零向量是向量中最特殊的向量，規定零向量的長度為0，其方向是任意的，零向量與任意向量都共線。它在向量中的位置正如實數中0的位置一樣，但有了它容易引起一些混淆，稍微考慮不到就會出錯，考生應給予足夠的重視。

11 向量夾角範圍不清致誤

解題時要全面考慮問題。數學試題中往往隱含著一些容易被考生所忽視的因素，能不能在解題時把這些因素考慮到，是解題成功的關鍵，如當a·b<0時，a與b的夾角不一定為鈍角，要注意θ=π的情況。

12 an與Sn關係不清致誤

在數列問題中，數列的通項an與其前n項和Sn之間存在下列關係：an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2。這個關係對任意數列都是成立的，但要注意的是這個關係式是分段的，在n=1和n≥2時這個關係式具有完全不同的表現形式，這也是解題中經常出錯的一個地方，在使用這個關係式時要牢牢記住其「分段」的特點。



13 對數列的定義、性質理解錯誤

等差數列的前n項和在公差不為零時是關於n的常數項為零的二次函數；一般地，有結論「若數列{an}的前n項和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，則數列{an}為等差數列的充要條件是c=0」；在等差數列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N*)是等差數列。

14 數列中的最值錯誤

數列問題中其通項公式、前n項和公式都是關於正整數n的函數，要善於從函數的觀點認識和理解數列問題。數列的通項an與前n項和Sn的關係是聯考的命題重點，解題時要注意把n=1和n≥2分開討論，再看能不能統一。在關於正整數n的二次函數中其取最值的點要根據正整數距離二次函數的對稱軸的遠近而定。

15 錯位相減求和項處理不當致誤

錯位相減求和法的適用條件：數列是由一個等差數列和一個等比數列對應項的乘積所組成的，求其前n項和。基本方法是設這個和式為Sn，在這個和式兩端同時乘以等比數列的公比得到另一個和式，這兩個和式錯一位相減，就把問題轉化為以求一個等比數列的前n項和或前n-1項和為主的求和問題.這裡最容易出現問題的就是錯位相減后對剩餘項的處理。

16 不等式性質應用不當致誤

在使用不等式的基本性質進行推理論證時一定要準確，特別是不等式兩端同時乘以或同時除以一個數式、兩個不等式相乘、一個不等式兩端同時n次方時，一定要注意使其能夠這樣做的條件，如果忽視了不等式性質成立的前提條件就會出現錯誤。



17 忽視基本不等式應用條件致誤

利用基本不等式a+b≥2ab以及變式ab≤a+b22等求函數的最值時，務必注意a，b為正數(或a，b非負)，ab或a+b其中之一應是定值，特別要注意等號成立的條件。對形如y=ax+bx(a，b>0)的函數，在應用基本不等式求函數最值時，一定要注意ax，bx的符號，必要時要進行分類討論，另外要注意自變數x的取值範圍，在此範圍內等號能否取到。

18 不等式恆成立問題致誤

解決不等式恆成立問題的常規求法是：藉助相應函數的單調性求解，其中的主要方法有數形結合法、變數分離法、主元法。通過最值產生結論。應注意恆成立與存在性問題的區別，如對任意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)-g(x)≤0的恆成立問題，但對存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，則為存在性問題，即f(x)min≤g(x)max，應特別注意兩函數中的最大值與最小值的關係。

19 忽視三視圖中的實、虛線致誤

三視圖是根據正投影原理進行繪製，嚴格按照「長對正，高平齊，寬相等」的規則去畫，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的原分界線，且分界線和可視輪廓線都用實線畫出，不可見的輪廓線用虛線畫出，這一點很容易疏忽。

20 面積體積計算轉化不靈活致誤

面積、體積的計算既需要學生有紮實的基礎知識，又要用到一些重要的思想方法，是聯考考查的重要題型.因此要熟練掌握以下幾種常用的思想方法。(1)還台為錐的思想：這是處理台體時常用的思想方法。(2)割補法：求不規則圖形面積或幾何體體積時常用。(3)等積變換法：充分利用三稜錐的任意一個面都可作為底面的特點，靈活求解三稜錐的體積。(4)截面法：尤其是關於旋轉體及與旋轉體有關的組合問題，常畫出軸截面進行分析求解。

21 隨意推廣平面幾何中結論致誤

平面幾何中有些概念和性質，推廣到空間中不一定成立.例如「過直線外一點只能作一條直線與已知直線垂直」「垂直於同一條直線的兩條直線平行」等性質在空間中就不成立。

22 對摺疊與展開問題認識不清致誤

摺疊與展開是立體幾何中的常用思想方法，此類問題注意摺疊或展開過程中平面圖形與空間圖形中的變數與不變數，不僅要注意哪些變了，哪些沒變，還要注意位置關係的變化。

23 點、線、面位置關係不清致誤

關於空間點、線、面位置關係的組合判斷類試題是聯考全面考查考生對空間位置關係的判定和性質掌握程度的理想題型，歷來受到命題者的青睞，解決這類問題的基本思路有兩個：一是逐個尋找反例作出否定的判斷或逐個進行邏輯證明作出肯定的判斷；二是結合長方體模型或實際空間位置(如課桌、教室)作出判斷，但要注意定理應用準確、考慮問題全面細緻。



24 忽視斜率不存在致誤

在解決兩直線平行的相關問題時，若利用l1∥l2⇔k1=k2來求解，則要注意其前提條件是兩直線不重合且斜率存在。如果忽略k1，k2不存在的情況，就會導致錯解。這類問題也可以利用如下的結論求解，即直線l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0平行的必要條件是A1B2-A2B1=0，在求出具體數值後代入檢驗，看看兩條直線是不是重合從而確定問題的答案。對於解決兩直線垂直的相關問題時也有類似的情況。利用l1⊥l2⇔k1·k2=-1時，要注意其前提條件是k1與k2必須同時存在。利用直線l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件是A1A2+B1B2=0，就可以避免討論。

25 忽視零截距致誤

解決有關直線的截距問題時應注意兩點：一是求解時一定不要忽略截距為零這種特殊情況；二是要明確截距為零的直線不能寫成截距式。因此解決這類問題時要進行分類討論，不要漏掉截距為零時的情況。

26 忽視圓錐曲線定義中條件致誤

利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件。如在雙曲線的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a<|F1F2|。如果不滿足第一個條件，動點到兩定點的距離之差為常數，而不是差的絕對值為常數，那麼其軌跡只能是雙曲線的一支。

27 誤判直線與圓錐曲線位置關係

過定點的直線與雙曲線的位置關係問題，基本的解決思路有兩個：一是利用一元二次方程的判別式來確定，但一定要注意，利用判別式的前提是二次項係數不為零，當二次項係數為零時，直線與雙曲線的漸近線平行(或重合)，也就是直線與雙曲線最多只有一個交點；二是利用數形結合的思想，畫出圖形，根據圖形判斷直線和雙曲線各種位置關係。在直線與圓錐曲線的位置關係中，拋物線和雙曲線都有特殊情況，在解題時要注意，不要忘記其特殊性。

28 兩個計數原理不清致誤

分步加法計數原理與分類乘法計數原理是解決排列組合問題最基本的原理，故理解「分類用加、分步用乘」是解決排列組合問題的前提，在解題時，要分析計數對象的本質特徵與形成過程，按照事件的結果來分類，按照事件的發生過程來分步，然後應用兩個基本原理解決.對於較複雜的問題既要用到分類加法計數原理，又要用到分步乘法計數原理，一般是先分類，每一類中再分步，注意分類、分步時要不重複、不遺漏，對於「至少、至多」型問題除了可以用分類方法處理外，還可以用間接法處理。

29 排列、組合不分致誤

為了簡化問題和表達方便，解題時應將具有實際意義的排列組合問題符號化、數學化，建立適當的模型，再應用相關知識解決.建立模型的關鍵是判斷所求問題是排列問題還是組合問題，其依據主要是看元素的組成有沒有順序性，有順序性的是排列問題，無順序性的是組合問題。

30 混淆項係數與二項式係數致誤

在二項式(a+b)n的展開式中，其通項Tr+1=Crnan-rbr是指展開式的第r+1項，因此展開式中第1,2,3，...，n項的二項式係數分別是C0n，C1n，C2n，...，Cn-1n，而不是C1n，C2n，C3n，...，Cnn。而項的係數是二項式係數與其他數字因數的積。



31 循環結束判斷不準致誤

控制循環結構的是計數變數和累加變數的變化規律以及循環結束的條件。在解答這類題目時首先要弄清楚這兩個變數的變化規律，其次要看清楚循環結束的條件，這個條件由輸出要求所決定，看清楚是滿足條件時結束還是不滿足條件時結束。

32 條件結構對條件判斷不準致誤

條件結構的程序框圖中對判斷條件的分類是逐級進行的，其中沒有遺漏也沒有重複，在解題時對判斷條件要仔細辨別，看清楚條件和函數的對應關係，對條件中的數值不要漏掉也不要重複了端點值。

33 複數的概念不清致誤

對於複數a+bi(a，b∈R)，a叫做實部，b叫做虛部;當且僅當b=0時，複數a+bi(a，b∈R)是實數a；當b≠0時，複數z=a+bi叫做虛數;當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數。解決複數概念類試題要仔細區分以上概念差別，防止出錯。另外，i2=-1是實現實數與虛數互化的橋樑，要適時進行轉化，解題時極易丟掉「-」而出錯。

66個易混易錯點匯總

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1.進行集合的交、並、補運算時，不要忘了全集和空集的特殊情況，不要忘記了藉助數軸和文氏圖進行求解。

2.在應用條件時，易忽略是空集的情況

3.你會用補集的思想解決有關問題嗎?

4.簡單命題與複合命題有什麼區別?四種命題之間的相互關係是什麼?如何判斷充分與必要條件?

5.你知道「否命題」與「命題的否定形式」的區別。

6.求解與函數有關的問題易忽略定義域優先的原則。

7.判斷函數奇偶性時，易忽略檢驗函數定義域是否關於原點對稱。

8.求一個函數的解析式和一個函數的反函數時，易忽略標註該函數的定義域。

9.原函數在區間[-a，a]上單調遞增，則一定存在反函數，且反函數也單調遞增;但一個函數存在反函數，此函數不一定單調。

10.你熟練地掌握了函數單調性的證明方法嗎?定義法(取值，作差，判正負)和導數法

11.求函數單調性時，易錯誤地在多個單調區間之間添加符號「∪」和「或」;單調區間不能用集合或不等式表示。

12.求函數的值域必須先求函數的定義域。

13.如何應用函數的單調性與奇偶性解題?①比較函數值的大小;②解抽象函數不等式;③求參數的範圍(恆成立問題)。這幾種基本應用你掌握了嗎?

14.解對數函數問題時，你注意到真數與底數的限制條件了嗎?

(真數大於零，底數大於零且不等於1)字母底數還需討論

15.三個二次(哪三個二次?)的關係及應用掌握了嗎?如何利用二次函數求最值?

16.用換元法解題時易忽略換元前後的等價性，易忽略參數的範圍。

17.「實係數一元二次方程有實數解」轉化時，你是否注意到：當時，「方程有解」不能轉化為。若原題中沒有指出是二次方程，二次函數或二次不等式，你是否考慮到二次項係數可能為的零的情形?

18.利用均值不等式求最值時，你是否注意到：「一正;二定;三等」。

19.絕對值不等式的解法及其幾何意義是什麼?

20.解分式不等式應注意什麼問題?用「根軸法」解整式(分式)不等式的注意事項是什麼?

21.解含參數不等式的通法是「定義域為前提，函數的單調性為基礎，分類討論是關鍵」，注意解完之後要寫上：「綜上，原不等式的解集是……」。

22.在求不等式的解集、定義域及值域時，其結果一定要用集合或區間表示;不能用不等式表示。

23.兩個不等式相乘時，必須注意同向同正時才能相乘，即同向同正可乘;同時要注意「同號可倒」。

24.解決一些等比數列的前項和問題，你注意到要對公比及兩種情況進行討論了嗎?

25.在「已知，求」的問題中，你在利用公式時注意到了嗎?需要驗證，有些題目通項是分段函數。

26.數列單調性問題能否等同於對應函數的單調性問題?(數列是特殊函數，但其定義域中的值不是連續的。)

27.應用數學歸納法一要注意步驟齊全，二要注意從到過程中，先假設時成立，再結合一些數學方法用來證明時也成立。

28.正角、負角、零角、象限角的概念你清楚嗎?，若角的終邊在坐標軸上，那它歸哪個象限呢?你知道銳角與第一象限的角;終邊相同的角和相等的角的區別嗎?

29.三角函數的定義及單位圓內的三角函數線(正弦線、餘弦線、正切線)的定義你知道嗎?

30.在解三角問題時，你注意到正切函數、餘切函數的定義域了嗎?你注意到正弦函數、餘弦函數的有界性了嗎?

31.你還記得三角化簡的通性通法嗎?(切割化弦、降冪公式、用三角公式轉化出現特殊角。異角化同角，異名化同名，高次化低次)

32.你還記得某些特殊角的三角函數值嗎?

33.掌握正弦函數、餘弦函數及正切函數的圖象和性質。你會寫三角函數的單調區間嗎?會寫簡單的三角不等式的解集嗎?(要注意數形結合與書寫規範，可別忘了)，你是否清楚函數的圖象可以由函數經過怎樣的變換得到嗎?

34.函數的圖象的平移，方程的平移易混：

(1)函數的圖象的平移為「左+右-，上+下-」。

(2)方程表示的圖形的平移為「左+右-，上-下+」。

35.在三角函數中求一個角時，注意考慮兩方面了嗎?(先求出某一個三角函數值，再判定角的範圍)

36.正弦定理時易忘比值還等於2R.

37.數0有區別，0的模為數0，它不是沒有方向，而是方向不定。可以看成與任意向量平行，但與任意向量都不垂直。

38.數量積與兩個實數乘積的區別：

在實數中：若a≠0，且ab=0，則b=0，但在向量的數量積中，若a≠0，且a•b=0，不能推出b=0。

39.a•b＜0是向量和向量夾角為鈍角的必要而不充分條件。

40.在用點斜式、斜截式求直線的方程時，你是否注意到不存在的情況?

41.直線在兩坐標軸上的截距相等，直線方程可以理解為，但不要忘記當時，直線在兩坐標軸上的截距都是0，亦為截距相等。

42.解決線性規劃問題的基本步驟是什麼?請你注意解題格式和完整的文字表達。(①設出變數，寫出目標函數②寫出線性約束條件③畫出可行域④作出目標函數對應的系列平行線，找到並求出最優解⑦應用題一定要有答。)

43.三種圓錐曲線的定義、圖形、標準方程、幾何性質，橢圓與雙曲線中的兩個特徵三角形你掌握了嗎?

44.圓、和橢圓的參數方程是怎樣的?常用參數方程的方法解決哪一些問題?

45.通徑是拋物線的所有焦點弦中最短的弦。(想一想在雙曲線中的結論?)

46.在用圓錐曲線與直線聯立求解時，消元后得到的方程中要注意：二次項的係數是否為零?橢圓，雙曲線二次項係數為零時直線與其只有一個交點，判別式的限制。(求交點，弦長，中點，斜率，對稱，存在性問題都在下進行)。

47.解析幾何問題的求解中，平面幾何知識利用了嗎?題目中是否已經有坐標系了，是否需要建立直角坐標系?

48.你掌握了空間圖形在平面上的直觀畫法嗎?(斜二測畫法)。

49.線面平行和面面平行的定義、判定和性質定理你掌握了嗎?線線平行、線面平行、面面平行這三者之間的聯繫和轉化在解決立幾問題中的應用是怎樣的?每種平行之間轉換的條件是什麼?

50.三垂線定理及其逆定理你記住了嗎?你知道三垂線定理的關鍵是什麼嗎?(一面、四線、三垂直、立柱即面的垂線是關鍵)一面四直線，立柱是關鍵，垂直三處見

51.線面平行的判定定理和性質定理在應用時都是三個條件，但這三個條件易混為一談;面面平行的判定定理易把條件錯誤地記為」一個平面內的兩條相交直線與另一個平面內的兩條相交直線分別平行」而導致證明過程跨步太大。

52.求兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角時，如果所求的角為90°，那麼就不要忘了還有一種求角的方法即用證明它們垂直的方法。

53.異面直線所成角利用「平移法」求解時，一定要注意平移后所得角等於所求角(或其補角)，特別是題目告訴異面直線所成角，應用時一定要從題意出發，是用銳角還是其補角，還是兩種情況都有可能。

54.兩條異面直線所成的角的範圍：0°≤α≤90°

直線與平面所成的角的範圍：0°≤α≤90°

二面角的平面角的取值範圍：0°≤α≤180°

55.平面圖形的翻折，立體圖形的展開等一類問題，要注意翻折，展開前後有關幾何元素的「不變數」與「不變性」。

56.稜柱及其性質、平行六面體與長方體及其性質。這些知識你掌握了嗎?(注意運用向量的方法解題)

57.球及其性質;經緯度定義易混。經度為二面角，緯度為線面角、球面距離的求法;球的表面積和體積公式。這些知識你掌握了嗎?

58.解排列組合問題的依據是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。

解排列組合問題的規律是：相鄰問題捆綁法;不鄰問題插空法;多排問題單排法;定位問題優先法;定序問題倍縮法;多元問題分類法;有序分配問題法;選取問題先排後排法;至多至少問題間接法。

59.二項式係數與展開式某一項的係數易混，第r+1項的二項式係數為。二項式係數最大項與展開式中係數最大項易混。二項式係數最大項為中間一項或兩項;展開式中係數最大項的求法要用解不等式組來確定r.

60.你掌握了三種常見的概率公式嗎?(①等可能事件的概率公式;②互斥事件有一個發生的概率公式;③相互獨立事件同時發生的概率公式。)

61.求分佈列的解答題你能把步驟寫全嗎?

62.如何對總體分佈進行估計?(用樣本估計總體，是研究統計問題的一個基本思想方法，一般地，樣本容量越大，這種估計就越精確，要求能畫出頻率分佈表和頻率分佈直方圖;理解頻率分佈直方圖矩形面積的幾何意義。)

63.你還記得一般正態總體如何化為標準正態總體嗎?(對任一正態總體來說，取值小於x的概率，其中表示標準正態總體取值小於的概率)

64.在點處可導的定義你還記得嗎?它的幾何意義和物理意義分別是什麼?利用導數可解決哪些問題?具體步驟還記得嗎?

65.你會用「在其定義域內可導，且不恆為零，則在某區間上單調遞增(減)對恆成立。」解決有關函數的單調性問題嗎?

66.你知道「函數在點處可導」是「函數在點處連續」的什麼條件嗎？