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高考數學一輪複習:集合與函數概念

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例如:1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:緊急~。2、數學名詞。一組具有某種共同性質的數學元素:有理數的~。3、口號等等。集合在數學概念中有好多概念,如集合論:集合是現代數學的基本概念,專門研究集合的理論叫做集合論。康托(Cantor,G.F.P.,1845年1918年,德國數學家先驅,是集合論的創始者,目前集合論的基本思想已經滲透到現代數學的所有領域。

集合,在數學上是一個基礎概念。什麼叫基礎概念?基礎概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念,可通過直觀、公理的方法來下定義。集合

集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區分的對象匯合在一起,使之成為一個整體(或稱為單體),這一整體就是集合。組成一集合的那些對象稱為這一集合的元素(或簡稱為元)。

元素與集合的關係

元素與集合的關係有屬於與不屬於兩種。

集合與集合之間的關係

某些指定的對象集在一起就成為一個集合集合符號,含有有限個元素叫有限集,含有無限個元素叫無限集,空集是不含任何元素的集,記做。空集是任何集合的子集,是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集,真子集都具有傳遞性。『說明一下:如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素,則A稱作是B的子集,寫作A?B。若A是B的子集,且A不等於B,則A稱作是B的真子集,一般寫作A?B。中學教材課本里將?符號下加了一個符號(如右圖),不要混淆,考試時還是要以課本為準。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』

集合的幾種運演算法則

並集:以屬於A或屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的並(集),記作AB(或BA),讀作A並B(或B並A),即AB=x交集:以屬於A且屬於B的元差集表示

素為元素的集合稱為A與B的交(集),記作AB(或BA),讀作A交B(或B交A),即AB=x例如,全集U=1,2,3,4,5A=1,3,5B=1,2,5。那麼因為A和B中都有1,5,所以AB=1,5。再來看看,他們兩個中含有1,2,3,5這些個元素,不管多少,反正不是你有,就是我有。那麼說AB=1,2,3,5。圖中的陰影部分就是AB。有趣的是;例如在1到105中不是3,5,7的整倍數的數有多少個。結果是3,5,7每項減集合

1再相乘。48個。對稱差集:設A,B為集合,A與B的對稱差集A?B定義為:A?B=(A-B)(B-A)例如:A=a,b,c,B=b,d,則A?B=a,c,d對稱差運算的另一種定義是:A?B=(AB)-(AB)無限集:定義:集合里含有無限個元素的集合叫做無限集有限集:令N*是正整數的全體,且N_n=1,2,3,,n,如果存在一個正整數n,使得集合A與N_n一一對應,那麼A叫做有限集合。差:以屬於A而不屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的差(集)。記作:AB=x│xA,x不屬於B。註:空集包含於任何集合,但不能說空集屬於任何集合.補集:是從差集中引出的概念,指屬於全集U不屬於集合A的元素組成的集合稱為集合A的補集,記作CuA,即CuA=x空集也被認為是有限集合。例如,全集U=1,2,3,4,5而A=1,2,5那麼全集有而A中沒有的3,4就是CuA,是A的補集。CuA=3,4。在信息技術當中,常常把CuA寫成~A。

集合元素的性質

1.確定性:每一個對象都能確定是不是某一集合的元素,沒有確定性就不能成為集合,例如個子高的同學很小的數都不能構成集合。這個性質主要用於判斷一個集合是否能形成集合。2.獨立性:集合中的元素的個數、集合本身的個數必須為自然數。3.互異性:集合中任意兩個元素都是不同的對象。如寫成1,1,2,等同於1,2。互異性使集合中的元素是沒有重複,兩個相同的對象在同一個集合中時,只能算作這個集合的一個元素。4.無序性:a,b,cc,b,a是同一個集合。5.純粹性:所謂集合的純粹性,用個例子來表示。集合A=x2,集合A中所有的元素都要符合x2,這就是集合純粹性。6.完備性:仍用上面的例子,所有符合x2的數都在集合A中,這就是集合完備性。完備性與純粹性是遙相呼應的。

集合有以下性質

若A包含於B,則AB=A,AB=B

集合的表示方法

集合常用大寫拉丁字母來表示,如:A,B,C而對於集合中的元素則用小寫的拉丁字母來表示,如:a,b,c拉丁字母只是相當於集合的名字,沒有任何實際的意義。將拉丁字母賦給集合的方法是用一個等式來表示的,例如:A={}的形式。等號左邊是大寫的拉丁字母,右邊花括弧括起來的,括弧內部是具有某種共同性質的數學元素。

常用的有列舉法和描述法。1.列舉法?常用於表示有限集合,把集合中的所有元素一一列舉出來?寫在大括弧內?這種表示集合的方法叫做列舉法。1,2,3,2.描述法?常用於表示無限集合,把集合中元素的公共屬性用文字?符號或式子等描述出來?寫在大括弧內?這種表示集合的方法叫做描述法。x(x為該集合的元素的一般形式,P為這個集合的元素的共同屬性)如:小於的正實數組成的集合表示為:{x|0

4.自然語言常用數集的符號:(1)全體非負整數的集合通常簡稱非負整數集(或自然數集),記作N;不包括0的自然數集合,記作N*(2)非負整數集內排除0的集,也稱正整數集,記作Z+;負整數集內也排除0的集,稱負整數集,記作Z-(3)全體整數的集合通常稱作整數集,記作Z(4)全體有理數的集合通常簡稱有理數集,記作Q。Q=p/q(正負有理數集合分別記作Q+Q-)(5)全體實數的集合通常簡稱實數集,記作R(正實數集合記作R+;負實數記作R-)(6)複數集合計作C集合的運算:集合交換律AB=BB=BA集合結合律(AC=AC)(AC=AC)集合分配律AC)=(A(AC)AC)=(A(AC)集合德.摩根律集合

Cu(AB)=CuACuBCu(AB)=CuACuB集合容斥原理在研究集合時,會遇到有關集合中的元素個數問題,我們把有限集合A的元素個數記為card(A)。例如A=a,b,c,則card(A)=3card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)card(AC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(BC)-card(CA)+card(AC)1885年德國數學家,集合論創始人康托爾談到集合一詞,列舉法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律AB)=AAB)=A集合求補律ACuA=UACuA=設A為集合,把A的全部子集構成的集合叫做A的冪集德摩根律A-(BUC)=(A-B)(A-C)A-(BC)=(A-B)U(A-C)~(BUC)=~B~C~(BC)=~BU~C~=E~E=特殊集合的表示複數集C實數集R正實數集R+負實數集R-整數集Z正整數集Z+負整數集Z-有理數集Q正有理數集Q+負有理數集Q-不含0的有理數集Q*

形如y=kx+b(k0,k,b是常數)的函數叫做一次函數,以下是一次函數知識點,請考生及時查看。

一、定義與定義式:

自變數x和因變數y有如下關係:

y=kx+b

則此時稱y是x的一次函數。

特別地,當b=0時,y是x的正比例函數。

即:y=kx(k為常數,k0)

二、一次函數的性質:

1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例,比值為k

即:y=kx+b(k為任意不為零的實數b取任何實數)

2.當x=0時,b為函數在y軸上的截距。

三、一次函數的圖像及性質:

1.作法與圖形:通過如下3個步驟

(1)列表;

(2)描點;

(3)連線,可以作出一次函數的圖像一條直線。因此,作一次函數的圖像只需知道2點,並連成直線即可。(通常找函數圖像與x軸和y軸的交點)

2.性質:(1)在一次函數上的任意一點P(x,y),都滿足等式:y=kx+b。(2)一次函數與y軸交點的坐標總是(0,b),與x軸總是交於(-b/k,0)正比例函數的圖像總是過原點。

3.k,b與函數圖像所在象限:

當k0時,直線必通過一、三象限,y隨x的增大而增大;

當k0時,課前預習,直線必通過二、四象限,y隨x的增大而減小。

當b0時,直線必通過一、二象限;

當b=0時,直線通過原點

當b0時,直線必通過三、四象限。

特別地,當b=O時,直線通過原點O(0,0)表示的是正比例函數的圖像。

這時,當k0時,直線只通過一、三象限;當k0時,直線只通過二、四象限。

四、確定一次函數的表達式:

已知點A(x1,y1);B(x2,y2),請確定過點A、B的一次函數的表達式。

(1)設一次函數的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。

(2)因為在一次函數上的任意一點P(x,y),都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程:y1=kx1+b①和y2=kx2+b②

(3)解這個二元一次方程,得到k,b的值。

(4)最後得到一次函數的表達式。

五、一次函數在生活中的應用:

1.當時間t一定,距離s是速度v的一次函數。s=vt。

2.當水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式:(不全,希望有人補充)

1.求函數圖像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)

2.求與x軸平行線段的中點:|x1-x2|/2

3.求與y軸平行線段的中點:|y1-y2|/2

4.求任意線段的長:(x1-x2)^2+(y1-y2)^2(註:根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)

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