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原來,數學是如此浪漫的語言

原來,數學是如此浪漫的語言

愛情是人類與生俱來的最執著的美好追求之一。古往今來,數學與愛情的聯繫一直相伴於人類社會的發展進程。

一個關於心形線的愛情故事

相傳在1646 年瑞典的斯德哥爾摩街頭,52 歲的笛卡兒邂逅了18 歲的瑞典公主克里斯蒂娜。那時候,落魄、一文不名的笛卡兒過著乞討的生活,他全部的財產只有身上穿得破破爛爛的衣服和隨身所帶的幾本數學書籍。然而,生性清高的笛卡兒從來不開口請求路人施捨,他只是默默地低頭在紙上寫寫畫畫,潛心於他熱衷的深奧的數學世界。

一個寧靜的午後,笛卡兒照例坐在街頭,沐浴在陽光中研究數學問題。他如此沉溺於數學世界,以至於身邊過往的人群、喧鬧的車馬都無法對他造成干擾。突然,有人來到他旁邊,拍了拍他的肩膀,「你在幹什麼呢?」笛卡兒扭過頭來,看到一張年輕秀麗的臉龐,一雙清澈的眼睛如湛藍的湖水,長長的睫毛一眨一眨的楚楚動人,期待著他的回應。她就是瑞典的小公主,國王最寵愛的女兒克里斯蒂娜。她蹲下身,拿過笛卡兒的數學書和草稿紙,和他交談起來。言談中,他發現這個小女孩思維敏捷,對數學也有著濃厚的興趣。

和女孩道別後,笛卡兒漸漸忘卻了這件事,依舊每天坐在街頭寫寫畫畫。幾天後,他意外地接到通知,國王聘請他做小公主的數學老師。滿心疑惑的笛卡兒跟隨前來通知的侍衛一起來到皇宮,在會客廳等候的時候,他聽到了從遠處傳來的銀鈴般的笑聲,循著這笑聲轉過身,他看到了前幾天在街頭偶遇的女孩子,慌忙中他趕緊低頭行禮。

從此,笛卡兒當上了公主的數學老師。公主的數學在他的悉心指導下突飛猛進,他們之間也開始變得親密起來。笛卡兒向她介紹了他正在研究的新領域—直角坐標系。通過它,代數與幾何可以結合起來,也就是日後笛卡兒創立的解析幾何學的雛形。

在笛卡兒的引導下,克里斯蒂娜走進了奇妙的坐標世界,她對曲線著了迷。每天的形影不離也使他們彼此產生了愛慕之心。在瑞典這個浪漫的國度里,一段純粹、美好的愛情悄然萌發。然而,沒過多久,他們的戀情傳到了國王的耳朵里。國王大怒,下令馬上將笛卡兒處死。在克里斯蒂娜的苦苦哀求下,國王將笛卡兒驅逐回法國,公主被軟禁在皇宮之中。

當時,黑死病正在歐洲大陸恣意蔓延。身體孱弱的笛卡兒回到法國后不久,便染上了重病。在生命進入倒計時的那段日子,他日夜思念的還是街頭偶遇的那張溫暖而美麗的笑臉。他每天堅持給她寫信,盼望著她的迴音。然而,這些信都被國王無情地攔截下來,公主一直沒有收到他的任何消息。

在笛卡兒給克里斯蒂娜寄出第十三封信后,他永遠地離開了這個世界。此時,被軟禁在宮中的小公主依然徘徊在皇宮的走廊里,思念著遠方的情人。這最後一封信上沒有寫一句話,只有一個方程

國王看不懂,以為這個方程里隱藏著兩人不可告人的秘密,便把全城的數學家召集到皇宮,但是沒有人能解開這個函數式。他不忍看著心愛的女兒每天悶悶不樂,便把這封信給了她。拿到信的克里斯蒂娜欣喜若狂,她立即明白了戀人的意圖,找來紙和筆,著手把方程圖形畫了出來,一個心形圖案躍然出現在眼前,克里斯蒂娜不禁流下感動的淚水,這條傳遞濃情蜜意的愛情曲線就是著名的「心形線」,如圖1所示(圖中a=2 )。國王去世后,克里斯蒂娜繼承了王位,登基后,她便立刻派人去法國尋找心上人的下落,收到的卻是笛卡兒去世的消息,留下了一個永遠的遺憾……

這封享譽世界的另類情書,據說至今還保存在歐洲的笛卡兒紀念館里。事實上,笛卡兒和克里斯蒂娜的確有過交情。克里斯蒂娜於1932 年成為瑞典女王,長大后的她經常與好友法國大使沙紐討論笛卡兒的哲學見解,因此她對笛卡兒大感興趣並邀他前往瑞典。1649 年10 月4 日,笛卡兒受邀來到斯德哥爾摩,酷冷的北歐對他的健康造成了相當的損害。笛卡兒和沙紐同住,每天按照克里斯蒂娜的時間,早上5 時就到王宮圖書館與她和館長、國家歷史學家約翰·弗萊恩海姆討論哲學。身處冰天雪地的笛卡兒於1650年2月患上肺炎,並在十天後病逝。克里斯蒂娜為他的死感到十分內疚。天氣寒冷和肺炎,這才是笛卡兒真正的死因。

款款東南望,一曲《鳳求凰》

卓文君(公元前175—公元前121),原名文後,西漢臨邛(今四川邛崍)人,漢代才女,古代四大才女(蔡文姬、李清照、卓文君、上官婉兒(或班昭)並稱古代四大才女)之一、蜀中四大才女之一。卓文君為四川臨邛鉅賈卓王孫之女,姿色嬌美,精通音律,善彈琴,有文名。可嘆的是,十七歲時年紀輕輕的卓文君不幸未聘夫死,成瞭望門新寡。

司馬相如(公元前179 年左右—公元前117),字長卿,四川成都人,漢時文學家。司馬相如善鼓琴,其所用琴名為「綠綺」,是傳說中最優秀的琴之一。

司馬相如早已聽說卓王孫有一位才貌雙全的女兒,他趁一次作客卓家的機會,借琴表達自己對卓文君的愛慕之情,他彈琴唱道:「鳳兮鳳兮歸故鄉,游遨四海求其凰,有一艷女在此堂,室邇人遐毒我腸,何由交接為鴛鴦。」這種在今天看來也是直率、大膽、熱烈的措辭,自然使得在簾后傾聽的卓文君怦然心動,並且在與司馬相如會面之後一見傾心。但卓父的強烈阻撓,使其不得不雙雙約定在漆黑之夜逃出卓府,與深愛的人私奔。

卓文君也不愧是一個奇女子,與司馬相如回成都之後,面對家徒四壁的境地,大大方方地在臨邛老家開酒肆,自己當壚賣酒,終於使得特要面子的父親承認了他們的愛情。這也是一直流傳至今的愛情故事中最浪漫的夜奔之佳話。

後人則根據這個愛情故事,譜成琴曲《鳳求凰》,併流傳至今。

在《文君復書》中有這樣一則故事:風流倜儻的司馬相如告別新婚不久的妻子卓文君,到長安去求取功名,臨行之前,對妻子說用不了多久就來接她一同去長安。多情的卓文君聽后卻深為憂慮,就叮囑他:「男兒功名固然很重要,但也切勿為功名所纏,作繭自縛。」說完,司馬相如便上路了。可是,一個月過去了,兩個月過去了,一年過去了,兩年過去了,連續五年過去了,司馬相如竟然音信全無。卓文君天天想、月月盼,望穿秋水,真是「為伊消得人憔悴」,可是「終不見丈夫把家還」。

一天,卓文君正在倚欄遠眺之時,忽然聽到馬蹄聲由遠及近而來,卓文君此時想:也許是丈夫回家了。於是大喜過望,急忙跑到家門口,馬上跳下一人卻是一個信使。信使從囊中取出一封信交給卓文君,說司馬相如大人吩咐,立等回書。卓文君接過信又驚又喜,拆開信一看,寥寥數語:「一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬。」這是怎麼回事呢?原來司馬相如到了長安以後,由於文采出眾,終於官拜中郎將(官名)。從此,他沉湎於聲色犬馬、紙醉金迷,覺得卓文君配不上他了,於是就處心積慮地想休妻,另娶名門千金。司馬相如心裡這時也有自己的小九九,「女人善變的是臉,男人善變的是心!抓不住我的心就不要說我花心!」作為古代四大才女之一的卓文君是何等聰明呀,她一下子明白了:當了新貴的丈夫,已有棄她之意,要和她離婚。

因為丈夫給她的信中已經說明了這一切:「一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬。」唯獨沒有「億」,也就是說司馬相如對卓文君已經無情無義(「億」的諧音)了。千盼萬盼,到頭來卻盼到了一封休書,這是讓人何等的傷心呀!卓文君此時百感交集,淚如雨下,她也許萬萬沒有想到,自己日思夜盼的丈夫竟然要和自己情斷義絕.

卓文君畢竟非一般女子,她努力地使自己的情緒靜下來,讓信使稍等片刻,轉身來到書房,拿起紙筆,一揮而就,用這十三個數字寫下了一首千古絕唱:一別之後,二地相懸,只說是三四月,又誰知五六年。七弦琴無心彈,八行書無可傳。九連環從中折斷,十里長亭望眼欲穿。百思想,千思念,萬般無奈把郎怨。萬語千言說不完,百無聊賴十依欄。重九登高看孤雁,八月中秋月圓人不圓。七月半燒香秉燭問蒼天,六月伏天人人搖扇我心寒。五月石榴火紅偏遭陣陣冷雨澆花端,四月枇杷未黃我欲對鏡心意亂,急匆匆,三月桃花隨水轉,飄零零,二月風箏線兒斷。噫,郎呀郎,巴不得下一世你為女來我為男。

還是一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬,翻來覆去,貫穿兩闕,如泣如訴,凄婉動人,即便是鐵石心腸的人,看后也會為之動容。司馬相如看罷妻子的回信,他的表情大家可以想一想會是什麼樣的。真可謂:一聲嘆息,兩行清淚。十分羞愧,百感交集,心中可是千般滋味呀!他良心受到了譴責,越想越對不起這位才華出眾、多情多義的妻子。此後不久,他便用高車駟馬,不遠萬里,親自登門接走妻子卓文君。久別相聚以後,他們都十分珍惜,從此一生不棄,兩心相悅,十分恩愛,百年偕老,過上了幸福美滿的生活,司馬相如也成了一代大文豪。

卓文君和司馬相如的故事,真是印證了「自由戀愛無三角,人生幸福有幾何!」相信通過這件事,也可以讓我們認識到「愛情如幾何曲線,幸福似小數循環!」

誰說數學不浪漫?

誰說數學不浪漫?看看下面這對親和數(又叫戀愛數)吧!

220 與284—一對戀愛數。

220 一共有12 個不同的因數:1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110,220。如果不算220 自身這個因數,那麼,220 所有因數的和正好是

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110= 284

284 一共有6 個不同的因數:1,2,4,71,142,284。如果不算284 自身這個因數,那麼,284 所有因數的和又正好是

1+2+4+71+142=220

220 與284 這一對最奇妙的數字,就好像一對情侶把自己的心一片片分解並獻給心愛的對方,而完全失去自我。兩個數字彼此相互滲透、相互包容,直至完全融為一體,就像兩個相愛的人共同演繹一段美好的愛情。

關於親和數220 與284 的浪漫特徵,台灣電視連續劇《牽牛花開的日子》作了最好的詮釋。該劇以220 女孩和284 男孩凄美動人的愛情故事為線條,講述了一個破碎窮困的家庭……不幸一個接一個,但220 女孩與284 男孩始終愛著對方,至死不渝……

據說中世紀曾流行這種成對的護身符,一個刻著220,一個刻著284,用於戀人們祈求愛情的忠貞。

親和數的歷史可追溯到遙遠的古希臘時代,人們發現某些自然數之間有特殊的關係:如果兩個自然數a 和b ,a 的所有真因數之和等於b ,b 的所有真因數之和等於a ,則稱a 和b 是一對親和數。

相傳,畢達哥拉斯的一個門徒向他提出這樣一個問題:「我結交朋友時,存在著數的作用嗎?」畢達哥拉斯毫不猶豫地回答:「朋友是你的靈魂的倩影,要像220 和284一樣親密。」又說:「什麼叫朋友?就像這兩個數,一個是你,另一個是我。」後來,畢達哥拉斯學派宣稱說:人之間講友誼、愛情,數之間也有「相親、相愛」。從此,便把220 和284 叫作「親和數」或者叫「朋友數」或者叫「相親數」。這就是關於「親和數」這個名稱來源的傳說。

你的真因數之和等於我,我的真因數之和又正好等於你,這對奇異的數就像一對親密無間的戀人。數學上,具有這樣特徵的一對自然數就是「親和數」。畢達哥拉斯發現的220 與284,是人類認識的第一對親和數,也是最小的一對親和數。

自畢達哥拉斯后的1500 年間,世界上有很多數學家致力於探尋親和數。面對茫茫數海,無疑是大海撈針,雖經一代又一代人的窮思苦想,有些人甚至為此耗盡畢生心血,卻終無所獲。9 世紀,伊拉克哲學、醫學、天文學和物理學家泰比特·依本·奎拉曾提出過一個求親和數的法則,因為他的公式比較繁雜,難以實際操作,再加上難以辨別真假,故它並沒有給人們帶來驚喜,使人走出困境。在這個時間段內,數學家們仍然沒有找到第二對親和數。

16 世紀,已經有人認為自然數里就僅有這一對親和數。一些有心人士甚至給親和數抹上迷信色彩或者增添神秘感,編出了許許多多的神話故事。比如,有人宣傳這對親和數在魔術、法術、占星術和占卦上都有著重要的作用。

距離第一對親和數誕生2500 多年以後,歷史的車輪轉到17 世紀,1636 年,法國「業餘數學家之王」費馬找到第二對親和數17 296 和18 416,這重新點燃了人們尋找親和數的火炬,在黑暗中尋找光明。兩年之後,「解析幾何之父」—法國數學家笛卡兒於1638 年3 月31 日也宣布找到了第三對親和數9 363 584 和9 437 506。費馬和笛卡兒在兩年的時間裡先後找到兩對親和數,打破了2000 多年的沉寂,激起了數學界重新尋找親和數的波濤。

「波濤」所起,激情所至。在17 世紀以後的歲月,許多數學家都投身到尋找新的親和數的行列,他們企圖用靈感與枯燥的計算髮現新大陸。可是,無情的事實使他們領悟到,大家已經陷入了一座數學迷宮,不可能出現法國人的輝煌了。

正當數學家們真的感到絕望的時候,平地又起了一聲驚雷。1747 年,年僅39 歲的瑞士數學家歐拉竟向全世界宣布:他找到了30 對親和數,並以為2620 和2924 是最小的第二對親和數。後來親和數又擴展到60 對,不僅列出了親和數的數表,而且還公布了全部運算過程。歐拉採用了新的方法,將親和數劃分為五種類型加以討論。歐拉超人的數學思維,解開了人類止步了2500 多年的難題,數學家們無不拍案叫絕。

時間又過了120 年,到了1867 年,義大利有一個愛動腦筋、勤於計算的16 歲中學生白格黑尼,竟然發現數學大師歐拉的疏漏—在284 與2620 之間還有一對較小的親和數:1184 和1210。這對較小的親和數竟然沒有被大師們發現!這真是戲劇性的發現,的確讓數學家們更加如痴如醉。

在以後的半個世紀的時間裡,人們在前人的基礎上,不斷更新方法,陸陸續續又找到了許多對親和數。到了1923 年,數學家麥達其和葉維勒匯總前人研究成果與自己的研究所得,發表了1095 對親和數,其中最大的數有25 位之多。同年,另一個荷蘭數學家裡勒找到了一對有152 位數的親和數。

在找到的這些親和數中,人們發現,親和數發現的個數越來越少,數位越來越大。同時,數學家們還發現,若一對親和數的數值越大,則這兩個數之比越接近於1,這是親和數所具有的規律嗎?人們企盼著最終的結論.

電子計算機誕生以後,結束了筆算尋找親和數的歷史.有人在計算機上對所有100萬以下的數逐一進行了檢驗,總共找到了42 對親和數,發現10 萬以下數中僅有13 對親和數。然而,局限於計算機的功能與數學方法的不夠,目前這種努力還沒有重大突破。尋找未知親和數正等待著不畏艱辛的數學家和計算機專家,發現新的親和數必將捷報頻傳。

人們還發現,每一對奇親和數中都有3,5,7 作為素因數。1968 年,布拉得利和邁凱提出猜想:所有奇親和數都是能夠被3 整除的。1988 年,巴蒂亞托和博霍利用電子計算機找到了不能被3 整除的奇親和數,從而推翻了布拉得利等的猜想。巴蒂亞托等找到了15 對都不能被3 整除的奇親和數,它們分別是36、42 位的大數。作為一個未解決的問題,巴蒂亞托等希望有人能找到最小的。

另一個問題是,是否存在一對奇親和數中有一個數不能被3 整除?

至今為止,所發現的所有親和數要麼都是偶數,要麼都是奇數。這是一個必然現象嗎?因此,歐拉提出了一個問題:是否存在一對親和數,其中有一個奇數,而另一個是偶數?200 多年來,歐拉提出的問題尚未解決。

最後,給出較小的幾對親和數以饗讀者:220 和284,1184 和1210,2620 和2924,5020 和5564,6232 和6348。

《數學文化欣賞》

作者:胡偉文徐忠昌

責編:吉正霞劉巧巧

北京:科學出版社,2016.11

ISBN:978-7-03-050489-0

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數學對於人類文化進步產生了重要的推動作用,對人的思想、精神世界和人文素質有著巨大的影響。高等學校開設了許多數學課程,但仍不可忽視數學文化的教育

功能。

《數學文化欣賞》

是一本面向普通高等院校非數學專業大學生的文化素質教材,力求闡明數學的思想、方法與文化意義,闡述了數學的發展簡史和其推進人類文化發展的作用,介紹了解析幾何、微積分、概率論與數理統計等大學生必修課程的思想方法及其文化影響,指出了數學與愛情、文學、藝術和教育等方面的聯繫。特別需要指出的是,本書結合軍校人才培養目標的特點,突出了數學與軍事、數學與信息技術廣泛而深刻的聯繫。

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