大自然的基本力（二）——超越標準模型的相互作用理論！

小編按：什麼是規範場？抽象代數如何在粒子物理學中發揮作用？標準模型又是什麼、它還存在哪些局限？讀者們都可以在這篇文章的前三章找到答案！此外，在讀過《暗物質與暗能量之謎——宇宙大尺度的廣義相對論！》一文後，不少讀者對四川大學馬天教授和印第安納大學汪守宏教授的研究產生了很大的興趣。本文第四、五章將繼續介紹馬天和汪守宏兩位教授的獨創性成果，其目的是進一步發展標準模型！兩位教授的理論並不涉及高深莫測的弦論（為了解決自發性對稱缺失的謎團引入了「超對稱性」的假設，從而引入了額外的8個維數來描述整個宇宙），一切都從最基本的數學規則物理定律出發！

引子：

本文是筆者與小編合作推出「大自然的基本力」為主題的一系列文章的第二篇，在第一篇文章「大自然的基本力1：四種基本相互作用簡介」中我們認識了「引力，電磁，強，弱」這四種大自然的基本相互作用，知道了它們在宇宙中主導了不同層次的物質的運動規律。在本文中，我們將繼續了解這些相互作用的一些基本理論，包括刻畫相互作用的物理量，電，弱，強相互作用的標準模型簡介, 相互作用荷和相互作用勢, 以引導讀者更深入地理解四種基本相互作用。敬請關注公眾號「科普最前線」並參與我們的討論！

一、相互作用應該用什麼物理量描述？

在上一篇文章中我們看到，相互作用一共有四種。讀者們也許還記得下面這張圖片（傳送門）：

當我們需要完整地了解一種基本相互作用時，首先需要知道刻畫這種相互作用的物理量是什麼（這樣的物理量包含了相互作用的主要信息）。自廣義相對論和電磁場理論建立以來，科學家逐步意識到，「場」（按照「數據結構」的觀點，場又分為標量場、向量場和張量場——小編注）比「力」更適合作為刻畫相互作用的基本物理量（引力場和電磁場都是「場」），這一系列工作促使了規範場理論的建立和發展，並成為了刻畫電、弱、強相互作用的基本物理量。

引入規範場的目的就是用同一種場來描述不同相互作用

規範場其實是一種四維的向量場（被稱為洛倫茲向量場），這種向量場定義在閔可夫斯基空間 （記作M^4）上，這種空間是一種平直的四維空間（其實就是1維時間+3 維空間的數學描述，並且空間沒有彎曲——小編注）。：

其中c為光速。因為這個空間是四維的，所以規範場作為定義在這個空間上的向量場也是四維的。規範場一般都被記為, 在下文的討論中我們可以看到規範場也有不同的類型，取決於它所刻畫的不同類型的相互作用。

被用來刻畫引力相互作用的物理量是引力勢g_ij（它也是黎曼度量），刻畫電磁相互作用的物理量是一個規範場, 被稱為四維電磁勢（也被稱為U(1) 規範場）。刻畫強相互作用的物理量是八個規範場,（被稱為SU(3) 規範場）。刻畫弱相互作用的物理量是三個規範場（被稱為SU(2)規範場），WS 電弱統一理論認為電磁相互作用與弱相互作用由兩種規範場統一描述。我們看到，刻畫電磁，強，弱相互作用的物理量都是規範場，這也是為什麼電，弱，強相互作用可以統一在「標準模型」的框架下展開研究，但是這樣統一的理論框架並不能包括引力相互作用。歷史上，楊振寧和米爾斯首先為SU(2)規範場建立了理論框架和數學方法，為基本相互作用的進一步研究奠定了基礎。

小編旁白：

在數學上，U(1)、SU(2)和SU(3)既可以看作矩陣群，又可以看作運算元（泛函），還可以看作流形（也就是高維曲面），可以用分析、代數和幾何三種不同視角來研究它們，所以這三兄弟在數學和物理上都有很高的地位。它們的定義如下：

• U(1): 一階酉矩陣，矩陣中的元素可以表示為e^{iθ}, 0≤θ≤2π。它是交換群（阿貝爾群）；

• SU(2): 行列式=1的二階酉矩陣全體，是非阿貝爾群；

• SU(3): 行列式=1的三階酉矩陣全體，是非阿貝爾群；

楊振寧和米爾斯，他們最重要的一個工作就是把規範場理論從U(1)（電磁作用，交換情形）推廣到了SU(2)（弱作用，非交換情形）

在數學上，一個群若又能被看作流形，那麼這個群又叫做李群（Lie Group）。物理學家們敏銳地意識到了李群的不平凡之處，從而李群就成為了描述對稱性變換（也就是旋轉）的基本工具。所以規範場的變換都是通過李群作用來描述的，它的本質上就是旋轉（更準確地講，是規範場對應波函數的「相位旋轉」）。

下面我們來看看，什麼是標準模型。

二、標準模型是何方神聖？

• 電磁相互作用刻畫了帶電粒子，分子，原子的運動規律。

對於電磁相互作用而言，規範場就刻畫了這種相互作用的全部信息，它與電場強度E及磁場強度H有如下對應關係：

之所以能把電場和磁場統一成一個規範場A，是應用了著名的「亥姆霍茲分解定理」——小編注

如果我們定義電磁場矩陣（有經驗的讀者可以看出，它就是偏微分運算元和規範場之間的泊松積——小編注）來刻畫電磁場, 就可以將麥克斯韋方程組改造得非常簡潔：

將麥克斯韋方程組改造成上述等價形式並不僅僅是為了書寫的簡單，更重要的是，上述簡潔的表達形式啟發物理學家發現了規範對稱性，打開了通向規範場的大門，開啟了現代物理學新的篇章。電磁場A是第一個被發現的規範場（U(1) 規範場），歷史上，德國數學家赫爾曼.外爾（H. Wely）是規範場思想與理論的先驅，規範場的思想也起源於對電磁場的研究，筆者將在後續的文章中對規範對稱性和規範場給予詳細的介紹。

• 強相互作用刻畫了在微觀尺度上原子核、強子（質子，中子等）的運動規律

現代物理學建立了「量子色動力學」（QCD）來刻畫強相互作用，量子色動力學是一種「非阿貝爾規範理論」，簡單的說，刻畫強相互作用規範場的是SU(3)矩陣群，我們知道矩陣群是不可交換的（又叫非阿貝爾群），由它來刻畫的規範場就叫做非阿貝爾規範場。事實上SU(3)規範場並不深奧難懂，它就是8個四維向量場（規範場）:

• 弱相互作用刻畫了輕子，夸克等微觀粒子的運動規律。

在上一期《大自然的基本力系列（一）——四種基本相互作用簡介》中我們已經知道，關於弱相互作用的物理理論是標準模型的Glashow-Weinberg-Salam弱電理論（簡稱GWS 模型），GWS模型本質上就是是把電磁和弱相互作用的規範場拼在一起，即規範場。前面已經講過，U(1)規範場是一個四維向量場, 而SU(2)規範場則是三個四維向量場：

同強作用相似，弱作用的規範場也是一種「非阿貝爾規範場」，GWS模型結合微擾理論建立了量子場論的方法是二十世紀物理學的輝煌成就，被稱作物理學「標準模型」，標準模型同時也將刻畫強相互作用的SU(3)規範場與電弱統一理論的規範場打包放在了一起，成為規範場，於是便將電，弱，強三種基本相互作用統一在規範場的框架下。

但是標準模型不能包括引力相互作用，所以它距離"大統一終極理論"尚有一步之遙。標準模型與很多高能物理的實驗觀測吻合（例如預言了中性流的存在並於1973 年被實驗證實，預言了中間玻色子的類型與質量並於1983年被實驗證實，預言了Higgs粒子的存在並於2012年被實驗證實，等等），但是物理學家早已意識到標準模型並不是基本相互作用的終極理論，並開始尋找在標準模型之上的更為基本的物理模型。

三、標準模型中哪些無法解決的問題？

除了不能包含引力相互作用，標準模型其實還存在其他問題，筆者小結如下：

• 不能解釋為什麼輕子（包括電子在，中微子等微觀粒子）不參與強相互作用；

• 沒有對強，弱相互作用建立場方程；

• 不能給出夸克禁閉與漸進自由現象的合理解釋（這是兩種微觀粒子的實驗現象，我們將在後續文章中作專門的介紹）；

• 無法直接導出與現實相符合的弱相互作用勢，沒有為弱相互作用建立完整的理論以解釋弱相互作用是如何導致基本粒子的衰變等反應。

輕子無法參加強相互作用——by小編

夸克被禁閉在中子和質子等重子內部——by小編

實際上，標準模型有關強相互作用勢的理論也不完整，物理學家們也普遍相信標準模型不是關於相互作用的最基本的理論（可參考維基百科鏈接[11]——小編注）。2013年，馬天和汪守宏教授合作為強，弱相互作用建立了耦合場方程[6-8]，同時首次計算出了強，弱相互作用的作用荷與作用勢。馬和汪兩位教授發展的理論，能夠有效地解決上述幾大難題。

我們將在下文中介紹有關相互作用荷和相互作用勢的基本概念與基本理論，對這些概念清晰的了解是我們認識基本相互作用的機制和克服上述困難的關鍵所在。讓我們首先來了解一下什麼叫做相互作用荷。

四、相互作用荷與相互作用勢

我們已經知道，兩個有質量的物體之間有引力相互作用，沒有質量的物體就不會參與引力相互作用；兩個帶電的粒子之間產生電磁相互作用，不帶電的粒子之間不產生電磁相互作用。對於引力相互作用而言，相互作用荷就是質量，電磁相互作用的作用荷就是電荷。相互作用荷是物體參與相互作用的"資格和原因", 是基本相互作用的「作用源」，具有同一種作用荷的物體才會產生相應的相互作用，所以對基本相互作用荷的討論非常重要，它們是研究基本相互作用理論的基礎。我們熟悉質量與電荷，但是卻不熟悉強，弱相互作用的作用荷，那麼強和弱作用是不是也對應了某種相互作用荷呢？

馬和汪發現，強，弱相互作用的作用荷其實是其相應的規範場的耦合係數。他們合作計算了一系列基本粒子所攜帶的相互作用荷，建立了完整的相互作用荷理論。物理實驗發現所有的輕子（一類質量較輕的微觀粒子，包括電子和中微子等）都不參與強相互作用，輕子的內部也不產生強相互作用，馬天教授與汪守宏教授的計算結果顯示所有的輕子都不攜帶強荷g_s，在其內部結構中也沒有強荷，於是便從理論上解釋了輕子為什麼不參與強相互作用, 馬天與汪守宏的計算結果與實驗現象吻合，具體計算過程請參考文獻[9]和著作[1][3]。

相互作用荷與相互作用勢可以完整地刻畫相互作用的過程。對於引力相互作用而言，質量為m_1的物體即可以在空間M中產生引力勢，且，同時在這個空間中的另一個質量為m_2的物體便會和m_1產生引力相互作用，作用力大小為，這不就是我們熟悉的萬有引力公式么！同理，對於電磁相互作用，電荷為Q_1 的物體即可以在空間M中產生庫倫勢, 且，同時在這個空間中的另一個電荷為Q_2的物體便會和Q_1產生電磁相互作用，作用力大小為，這就是我們熟悉的庫侖力公式。

這樣一來我們就可以推斷，對於任何一種基本相互作用，作用荷為g_1的物體可以在空間M中產生相應的相互作用勢，它是定義在空間M上的函數。同時在這個空間中的另一個攜帶同一種作用荷為g_2的物體便會和g_1產生這一種相互作用，作用力大小為。 引力相互作用和電磁相互作用的作用勢是我們所熟悉的，但是我們對強，弱相互作用的作用勢知道的並不多（這兩段看似複雜，其實小編編輯起來非常輕鬆，只需複製粘貼，把質量和電荷換成「作用荷」即可——小編注）。關於強相互作用，湯川秀樹（Yukawa, 1907-1981，日本物理學家，諾貝爾物理學獎得主）用湯川勢來刻畫核子（質子或中子）產生的強作用勢：

由它可以計算出核子之間的強作用力（模仿庫侖力和引力的計算方法，對勢能求梯度再乘以作用荷的相反數——小編注）：

湯川秀樹根據建立的核子力公式提出了核子力的「介子」理論，因而獲得了1949 年的諾貝爾物理學獎，上述公式中的m就是湯川提出的介子的質量。當時湯川的理論與實驗數據基本上是吻合的，然而核子強作用勢的實驗圖像顯示（注意上述公式右端始終有F_Y<0）：

我們看到，當時F_Y>0, 在這個區間內湯川勢與實驗數據不吻合，湯川的理論並不能完整地解釋實驗現象。怎麼辦呢？馬天與汪守宏在2013年的研究中建立了基本相互作用的耦合場方程[6][8]，並直接計算出了強相互作用的核子勢：

修正的湯川勢——小編注

我們可以看到湯川勢實際上是時上述公式的近似結果，他們從場方程中直接計算得到的結果可以視為對湯川勢的修正，這個結果與核子勢的實驗圖像全部吻合良好！馬天與汪守宏合作的工作同時也計算出了強相互作用的夸克勢和分子勢：

這裡的「分子勢」是由強相互作用產生的，和產生范德華力的Lennard-Jones勢不同——小編注

根據新建立的強相互作用勢理論，馬天教授與汪守宏教授合作對「夸克禁閉」和「漸進自由」統一給予了合理的解釋,查文獻[3],[6],[8]，(「夸克禁閉」和「漸進自由」是當代粒子物理學最重要的待解難題之一)。文獻[7] 與[8]也計算出了弱相互作用的相互作用勢，其中夸克與輕子的弱相互作用勢如下所示

其中g_w為弱荷，同時他們合作的工作也計算出了夸克內部結構的弱相互作用勢。我們在後續的文章中將展示弱相互作用如何在微觀粒子的世界發揮作用，並導致beta衰變在內的一系列的粒子反應，相關的文章和書籍可以查閱[3][6][7][8][9]。汪守宏教授曾受邀赴劍橋大學和美國物理學會報告了這一系列工作，並開始引起物理學界的關注（因為這一系列公眾包含了大量新穎而又深刻的物理思想和數學方法，需要花大量功夫去檢驗，或許還需要很長時間才能被完全消化）。

馬和汪在美國物理協會的報告。他們的結論引起了非常激烈的討論，但因觀點新穎，至今未被報道出來[13]——小編注

五、超越標準模型

在標準模型中無法直接建立強，弱相互作用的作用勢，只能採取微擾近似（Pertubation Method，實際上就是泰勒展開，這種方法是解決物理問題的常規手段，現在這種手段也逐漸被遷移到生物問題中——小編注）計算。我們看到，在電磁相互作用中規範場只有一個，就是A， 它也是電磁相互作用的作用勢，被稱作電磁勢，但是在弱相互作用中有三個規範場，標準模型所面對的困難就在於這3 個規範場究竟哪一個可以刻畫弱相互作用勢呢？在強相互作用中有八個規範，那麼這8 個規範場究竟哪一個可以刻畫強相互作用勢呢？而且，計算這些相互作用勢的場方程又是什麼呢？標準模型沒有給出完整的解決方案，因而無法克服這些困難。

在文獻[6][7][8]中，馬天教授與汪守宏教授採用的研究方法不同於量子場論常用的微擾近似方法，而是基於規範對稱性，基本相互作用的拉格朗日動力學原理(相互作用動力學原理)，規範場的表示不變性（這是一種規範場內在的對稱性）建立了相互作用的耦合場方程組，文獻[8] （該方程組是根據基本的物理原理直接得到的，不是唯象的結果），由場方程便可以直接計算出強，弱相互作用勢，不必使用微擾近似。計算強，弱相互作用勢最關鍵的思想是發現規範場的一種內在的對稱性（被兩位作者命名為「表示不變性」，文獻[8]），從而計算出規範場的李代數表示空間（定義見下——小編注）中的一組向量以及。

小編旁白：

李代數（Lie algebra）和李群都姓李，這並非偶然——因為每一個李群都可以誘導定義一個李代數。李代數最初被數學家用來表示流形（高維曲面）上的微分運算元（微分運算元到了高維曲面上就不滿足交換律了，所以李代數是非交換代數） ，因此李代數可以看作李群的導數（注意，李群可以看作是連續變換，因此可以「求導」），或者李群切空間的生成元（李群又是流形，流形的切空間本質上就是曲面的切平面）。有了李群和李代數之間的這層裙帶關係，規範場就可以用李代數表示出來了。李代數的嚴格定義可以參見[12]。

李代數和規範場都可看作切平面中的向量，因為流形上的切向量都是用「方嚮導數」來表示的

這兩組向量可以將3個弱相互作用規範場和8個強相互作用規範場各合併成一個規範場:

從而克服了前文中提到的標準模型所面臨的困難, 這一系列工作直接計算出了強，弱相互作用勢，得到的結果修正了湯川秀樹的核子勢，解釋了夸克禁閉和漸進自由兩個實驗現象，為弱相互作用建立了完整的粒子反應機制。計算的細節可以查閱文獻[6-8] 以及著作[1][3]。

總結

最後我們再來簡要回顧一下馬和汪的理論同標準模型的一些差異，以加深讀者印象。

目前，標準模型建立的理論專註於粒子衰變，散射，及其各種反應概率的計算，由此建立的費曼圖技術，重整化技術，主要是為了計算這些粒子反應的概率。相互作用機制的深層原因，還是一個開放的問題。

而馬天和汪守宏的工作是基於基本的物理原理，為四種基本相互作用建立了可以耦合的場方程，從而計算出了相互作用荷與相互作用勢，帶給我們對相互作用基本發生機制的深刻了解。基於對相互作用機制的深入探索，微觀粒子世界的一系列現象就會變得不再那麼玄奧難懂。相關內容我們將在這個系列的文章中繼續作專文介紹，敬請期待！

參考文獻：

[1] Tian Ma, Shouhong Wang: Mathematical Principles of Theoretical Physics, Science Press, August 2015, 524pp.免費下載地址：http://www.indiana.edu/~fluid/MPTP.pdf.

[2] 馬天：《從數學觀點看物理世界--幾何分析，引力場與相對論》，科學出版社，2012.

[3] 馬天：《從數學觀點看物理世界--基本粒子與統一場理論》，科學出版社，2014.

[4] 暗物質暗能量之謎——宇宙大尺度的廣義相對論！。

[5] Tian Ma, Shouhong Wang: Gravitational field equations and theory of dark matter and dark energy. Discrete. Contin. Dyn. Syst., Ser. A 34(2), 335–366 (2014). See also arXiv:1206.5078.

[6] Tian Ma , Shouhong Wang, Duality of Strong Interaction, EJTP, 11:31(2014), 101-124; see also IU Institute for Scientific Computing and Applied Mathematics Preprint Series, 1301.下載地址：http://www.indiana.edu/~fluid/paper/strongrevised.pdf

[7] Tian Ma , Shouhong Wang, Duality Theory of Weak Interaction, IU Institute for Scientific Computing and Applied Mathematics Preprint Series, 1302.下載地址：http://www.indiana.edu/~fluid/paper/weak-revised.pdf

[8] Tian Ma , Shouhong Wang, Unified Field Theory and Principle of Representation Invariance, Applied Mathematics and Optimization,Volume 69:3 (2014), pp 359-392; arxiv:1212.4893

[9] Tian Ma ， Shouhong Wang, Weakton Model of Elementary Particles and Decay Mechanisms, 5/30/2013, IU Institute for Scientific Computing and Applied Mathematics Preprint Series, 1304.下載地址：http://www.indiana.edu/~fluid/paper/MW-weakton.pdf

[10] https://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition.

[11] https://en.wikipedia.org/wiki/Physics_beyond_the_Standard_Model.

[12] https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_algebra.

[13] https://absuploads.aps.org/presentation.cfm?pid=13158.

本文經授權轉載自《科普最前線》微信公眾號

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