【學法指導】巧設元，妙解題

巧設元，妙解題

應用問題是中學數學的重要內容．它與現實生活有一定的聯繫，它通過量與量的關係以及圖形之間的度量關係，形成數學問題．應用問題涉及較多的知識面，要求學生靈活應用所學知識，在具體問題中，從量的關係分析入手，設定未知數，發現等量關係列出方程，獲得方程的解，並代入原問題進行驗證．這一系列的解題程序，要求對問題要深入的理解和分析，並進行嚴密的推理，因此對發展創造性思維有重要意義．下面舉出幾個例題，略述一下解應用問題的技能和技巧．

1、直接設元

在全面透徹地理解問題的基礎上，根據題中求什麼就設什麼是未知數，或要求幾個量，可直接設出其中一個為未知數，這種設未知數的方法叫作直接設未知元法．

例1 某校國中一年級舉行數學競賽，參加的人數是未參加人數的3倍，如果該年級學生減少6人，未參加的學生增加6人，那麼參加與未參加競賽的人數之比是2∶1．求參加競賽的與未參加竟賽的人數及國中一年級的人數．

分析 本例中要求三個量，即參賽人數、未參賽人數，以及國中一年級人數．由已知條件易知，可直接設未參賽人數為x，那麼參賽人數便是3x．於是全年級共有(x+3x)人．

由已知，全年級人數減少6人，即(x+3x)-6， ①而未參加人數增加6人時，則參加人數是未參加人數的2倍，從而總人數為

(x+6)+2(x+6)．②

由①，②自然可列出方程．

解 設未參加的學生有x人，則根據分析，①，②兩式應該相等，所以有方程

(x+6)+2(x+6)=(x+3x)-6，

所以

x+6+2x+12=4x-6，

所以 3x+18=4x-6，

所以 x=24(人)．

所以未參加競賽的學生有24人，參加競賽的國小生有

3×24=72(人)．

全年級有學生

4×24=96(人)．

說明 本例若按所求量次序設參加人數為x人，則未參加人數為1/3,這樣產生分數，會給計算帶來某些麻煩。

2.間接設元

如果對某些題目直接設元不易求解，便可將並不是直接要求的某個量設為未知數，從而使得問題變得容易解答，我們稱這種設未知數的方法為間接設元法．

例4 若進貨價降低8％，而售出價不變，那麼利潤可由目前的p％增加到(p+10)％，求p．

分析 本題若直接設未知元為x，則不易列方程，為此，可間接設元，設進貨價為x，則下降后的進貨價為0.92x．由於售出價不變，它可用以下方程式表示：

x(1+p％)=0.92x[1+(10+p)％]．

解 設原進貨價為x，則下降8％后的進貨價為0.92x．根據題意售貨價不變，故有以下方程

x(1+0.01p)=0.92x[1+0.01(p+10)]，

約去x得

1+0.01p=0.92［1+0.01(p+10)］，

所以

1+0.01p=0.92+0.0092p+0.092，

所以

(0.01-0.0092)p=0.92+0.092-1，

即 0.0008p=0.012，

所以 p=15．

答 原利潤為15％．

3.設輔助元

有時為了解題方便，可設某些量為輔助量，參與列方程和運算，最後把這些輔助量約去，得出要求的值．

例6 從兩個重量分別為m千克和n千克，且含銅百分數不同的合金上，切下重量相等的兩塊，把所切下的每一塊和另一種剩餘的合金加在一起熔煉后，兩者含銅百分數相等，問切下的重量是多少千克？

分析與解 設切下的重量是x千克，並設重m千克的銅合金中含銅的百分數為q1，重n千克的銅合金中含銅的百分數為q2，則切下的兩塊中分別含銅xq1和xq2，而混合熔煉后所得兩塊合金中分別含銅[xq1+(n-x)q2]和[xq2+(m-x)q1]．故依題意有方程

練 習：

2．有甲乙兩容量均為20升(L)的容器，甲容器內裝滿純酒精，而乙為空容器．自甲內倒出若干酒精於乙內，再將乙其餘部分注滿水，將此混合溶液注滿甲容器，最後自甲容器回注入乙容器62/3升，則兩容器內所含純酒精量相等，問第一次自甲容器倒出多少酒精？

3．某人騎腳踏車從A地先以每小時12千米的速度下坡后，再以每小時15千米的速度走平路到B地，共用了55分鐘．回來時他以每小時8千米的速度通過平路后，以每小時4千米的速度上坡，從B地到A地共用了11/2小時，求地面上A，B兩地相距多少千米？

4．有一塊長方形的場地，長比寬多4米，周圍有一條寬2米的道路環繞著，已知道路的面積和這塊土地的面積相等．求這塊場地的周長是多少米？

5．一個四位數是奇數，它的千位數字小於其他各位數字，十位數字等於千位數字和個位數字之和的2倍，求這個四位

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