因你而存在的彩虹

剛開始接受物理啟蒙的時候我們就學過，彩虹的形成是因為光的折射。但你或許不知道每個人眼裡的彩虹都是獨一無二的，而且沒有你這個觀察者，彩虹是無法形成的。

彩虹是如何形成的？

彩虹是一個美麗的光學現象，但也許它的出現並沒有人們想象中那麼頻率，比如在德國每年大約出現10-20天，而英格蘭中部每年大約有40-70天可以遇見彩虹。

最常見的是一條彎彎的七彩虹橋橫跨天邊，有時也會見到雙道彩虹的出現，最亮的是主虹，主虹往上是第二道彩虹（霓），通常會比主虹要暗。主虹和霓之間的天空會比主虹下面的天空暗很多（亞歷山大暗帶）。在非常難得的天氣條件下，更多道彩虹的出現也被記錄過。甚至在實驗室條件下，有人曾用氬離子鐳射光束得到200道彩虹。

△圖1：雙道彩虹：包括主虹(1)、霓(2)、觀測者頭部的影子(S)和亞歷山大暗帶(A)。（圖片來源：[1] ）。

彩虹的成因可以從一個小水滴講起。當陽光射入這個水滴時（如圖2所示），反射光（0a）和透光（0b）無法形成彩虹。而經過水滴折射再放射出來的光才會組成彩虹。根據光的折射，42°和51°的反射光最為強烈而形成了我們看到的主虹和霓。在此之間的反射光很少，這也解釋了亞歷山大暗帶的形成。

△ 圖2：陽光入射水滴，0a為反射光，0b為透光，均不形成彩虹。1-3會組成彩虹，其中1的亮度最強，是為主虹（圖片來源：[1] ）。

單個水滴無法呈現整個彩虹。當空氣中有大量形狀和密度較均勻的水滴時，在特定的角度這些水滴會向觀察者發出較強的反射光，同一角度的水滴分佈在一個假想的錐形上（如圖3所示），而在觀察者的眼中形成彩虹。如果觀察者夠高的話，錐形的下半部沒有被地面遮擋，看到的彩虹便會是一個完整的圓形。所以每個人看到的彩虹都是獨一無二的，甚至你的左眼和右眼看到的都不是同一條彩虹。反過來說，如果沒有觀察者的存在，也就不能形成對摺射光線的選擇，彩虹也就不能形成了。

△ 圖3：當多個水滴分佈在空中時，距太陽和觀察者符合角度的水滴會反射出最亮的光線，不同顏色的光反射的角度略有不同，因此在觀察者的眼裡形成了彩虹（圖片來源：[1] ）。

理論的演化

最早，關於彩虹的理論是由笛卡爾（Descarte）提出的。笛卡爾理論是以經典物理中光路的傳播為依據。根據牛頓的稜鏡實驗我們知道，日光是由一整個光譜組合而成，而不同顏色的光在水裡的折射率不同，所以相應的笛卡爾角度也略有變化，因此彩虹呈現出五彩繽紛的顏色。形成主虹的42°角也被稱為笛卡爾角度。

楊（Young）發現折射率的不同是因為不同顏色的波長不同，他進一步解釋了多重彩虹的產生。但楊的理論仍然是不完整的，至少在多重彩虹的位置上與實際觀測存在著偏差。

艾里（Airy）摒棄了傳統光路的思想而採用了「光以波的形式傳播」的理論，更準確地預測了多重彩虹的位置。然而艾里的計算在更高層彩虹的位置及亮度上與現實產生了偏差。

△ 圖4：多重彩虹（圖片來自網路）。

到了19世紀，麥克斯韋爾（Maxwell）的電磁學說日漸成熟，結合光的散射，我們對彩虹有了新的認識。米氏散射（Mie scattering）描述了光與較大的球形粒子（直徑大於光的波長）干涉的物理現象。這種環境下，散射光的亮度與粒子半徑的平方成正比。洛倫茲（Lorenz）和米（Mie）假設空氣中的水滴是球形且直徑大約在0.5mm，由此他們先後提出了被現在廣泛接受的答案，他們把入射平面波分解成疊加的小波，每個小波進行單獨的計算。依靠電子計算機的計算能力，洛倫茲-米氏解（Lorenz-Mie solution）終於在20世紀下半葉被公佈於眾。

△ 圖5：多重彩虹的數值解（圖片來源：[1] ）。

值得注意的是，米的數值解中顯示多重彩虹中每個彩虹的亮度會有一定的波動。這種精度在自然觀察中用人眼和數碼相機是無法被察覺出的，只有在嚴謹的光學實驗中才被證明。此後德拜（Debye）在散射理論上進行了完善，結合了笛卡爾的理論與麥克斯韋爾電磁學，從而提供了更加精確的數值解。

理論和現實的差距

洛倫茲和米的理論只適用於直徑約0.05mm的球形水滴，但在現實中，水滴的大小分佈通常是不均勻的，很多時候它們的直徑甚至超過0.3mm。並且越大的水滴，它的形狀越會受到重力之類的影響。當水滴的平均直徑較小，形狀接近球形時，洛倫茲-米氏解可以和干擾理論（perturbation theory）結合而給出特定情況的數值解。但當水滴較大，形狀不均勻時，很難得出特定的數值解。在這些情況下，彩虹的位置，顏色和亮度都會受影響。這也間接地反應了為什麼彩虹的出現並不像想象中那麼常見。

參考資料：

[1] Haußmann A. Rainbows in nature: recent advances in observation and theory[J]. European Journal of Physics, 2016, 37(6): 063001.

[2] Nussenveig, H. Moyes. The theory of the rainbow. WH Freeman, 1977.

[3] Wikipedia contributors. Rainbow [Internet]. Wikipedia, The Free Encyclopedia.