【小專題】名師帶你看高考（數學卷）

為了回顧和分析這次江蘇聯考，我們策劃了「名師帶你看聯考」的小專題，意在為大家從學科專業的角度，更好地去分析這次江蘇卷的點點滴滴……

江蘇聯考數學卷

縱觀2017年江蘇聯考數學試卷，試題分成容易題、中檔題、難題三個層次。為了幫助大家更加準確地分析這份聯考試卷，我們請來了江蘇省數學特級教師張志超、張海強及全國教育科研優秀教師宋健和大家進行交流與分享。

張志超

試卷的主體部分由14道填空題和6道解答題組成，每一題的求解都要靠計算來完成，尤其是填空題，結果正確才能得5分，錯誤就是零分。因此，中學數學教學要注重學生運算能力的培養。看看中學數學學習有5大能力要求，分別是思維能力，運算能力，空間想象能力，解決實際問題能力和創新能力。我以為運算能力是餘下4大能力的基礎，它雖然不能做到一榮俱榮，但可以做到一損皆損，滿盤皆輸。準確是運算的最基本要求，計算出錯會嚴重影響數學成績。尤其是在聯考填空題佔70分，解答題中三角函數、解析幾何、應用題等強調計算能力的題目佔45分的現實情況下，可以說「算得對」是學好數學和提聯考試成績的必要條件。就目前高中學生而言，運算能力整體的狀況是比較差，部分學生甚至是很差的。高三的一輪複習若不解決運算問題，聯考獲得好成績是不可能的。

建議高三複習教師有意識地從三個層次培養學生運算能力。

1.要求學生正確地記憶和運用公式及法則，這是運算正確的前提。

2.引導學生對公式及法則做到正用，反用，變用和活用，尋找合理，簡捷的捷徑，迅速獲得運算結果。

3.指導注意運算與推理的結合，利用算理簡化運算過程或尋找更為合理的運算程序。在明晰運算對象的基礎上，依據運演算法則解決數學問題。包括理解運算對象，掌握運演算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果。

運算雖然有上述三個層面，但基本要求是準確，準確計算隸屬於技能範疇，它依賴於熟能生巧。為此，教師可以從歷年聯考題中選擇含有一定計算量的考題，如統計、函數、向量、三角、不等式、數列、解析幾何等，設置不同層次，給學生足夠的時間練習，持之以恆，用心練，多總結，多比較，定能提高計算能力。

張海強

縱觀2017年江蘇聯考試卷的「難題」（填空的14題，解答題的19題和20題），代數推理成色明顯，著重檢測學生抽象思維能力的層次。本人試圖結合聯考試題就如何提升學生的代數推理能力提幾點建議。

代數推理的基本工具

《普通高等學校招生全國統一考試考試大綱》指出：推理是思維的基本形式之一，它由前提和結論兩部分組成，推理既包括演繹推理，也包括合情推理。

高中代數知識與方法涉及集合、邏輯知識、函數、數列、解析幾何、概率統計等眾多分支，但就代數的歷史發展而言，方程與函數應成為高中代數的核心。因此要仔細研究方程與函數中的思想與方法，使之成為我們代數推理的「工具包」。例如填空14題以方程解的個數為背景，通過轉化化歸為函數問題，滲透數形結合的思想，既有直觀形象，又有精細刻畫；推理方法既包含直接推理，也包含間接推理，對學生的代數推理提出了較高的要求。

代數推理的基本技能

代數作為概括和抽象的算術，體現了具體與抽象的關係，因此具體化應成為代數推理的一項技能；代數推理既包括演繹推理，也包括合情推理，因此特殊化和一般化也成為代數推理的又一項基本技能;高中代數知識豐富，涉及面廣，這就為代數推理提供了多彩的模型，（如等差數列模型、函數模型等），因此模型化也應為代數推理的基本技能。如此種種，不一而足。

例如解答題19題：等差數列理所當然成為本題的一個思維模型，由等差數列的等距性可知：當時，，，，對於第⑵問：當時，由是P⑶數列知，……①當時，由是P⑵數列知，

至此學生陷入困境。究其原因是因為無法理解這兩個符號化的數學等式。

如果將①②具體化和特殊化，則可以得到如下等式：

……③

……④

……⑤

……⑥

由③④⑥知：，將這一過程一般化可覓得證明思路。代數推理題的基本程序

例如解答題20題，第一個不可迴避的環節就是弄懂情景，領悟試題的數學本質。為此宜列出條件和結論的清單，留意細節，特別關注文字和符號的表述與轉換。如第⑴問就需要將條件①有極值和條件導函數的極值點是的零點進行轉譯。第二環節是明確目標，即在審題的基礎上，利用代數推理的工具將題設與結論的信息進行提取、轉化、加工和傳輸，從而明確解題的目標與方向。如第⑵問通過轉化后即可把問題轉化為：若，則。

第三個環節是推理論證，利用代數推理的基本技能對試題進行論證或求解，並用恰當的語言加以表述。第⑵的證明則充分展示了分析法與綜合法的結合。

由此可知處理代數推理題的基本程序：弄通情景——明確目標——推理論證。

宋健

數學思想是數學的靈魂和精髓，數學通過思想方法去影響人們的思維方式，這是聯考考查的重點之一。如第11、12、13、14、16、17、20題的數形結合思想；第8、9、10、11、12、13、14、16、17、20題的函數方程思想；第11、14、16、20題的分類討論思想；第5、6、7、13、15、19題的轉化化歸思想。

數學學習離不開學生的活動，學生學習數學要會讀、會想、會說、會寫，而「會想」至關重要。教師在教學中應扮演助產師的角色，要引導學生主動學習，讓思想在學生的頭腦里產生，讓學生自己「悟」。

當學生做題時，不能重結論，輕過程；不能重模仿，輕創造；不能重記憶，輕能力。教師要有足夠的耐心，有意識地指導學生學習觀察、分析、綜合、抽象、概括、類比、猜想、歸納、演繹等思維方法；要給學生充分的時間，去領悟蘊含其中的數形結合、分類討論、方程函數、類比轉化等數學思想。在數學學習活動中形成一些數學的觀點，教師有意識地用數學的觀點去觀察、分析數學問題，不斷地獲取、積累、深化這些數學觀點，使這些數學的觀點能夠在數學思維中升華為數學意識。數學意識一旦形成，學生就能從根本上提高思維能力，提升思維層次，提高數學能力。