原創丨孩子學不好數學，是因為不知道什麼是數學？

數學學習一直困擾著大多數同學，從國小到大學階段，幾乎所有人都不能避免數學學習。尤其是改變人身命運的幾場大考—中考、聯考、研究所入學考試（除了純文科之外）都有數學的身影存在。

在幾場關鍵考試中，數學成績的高低也往往決定了一個人能否進入一個好高中、好大學，可是國小畢業以後，能對數學有信心的人並不多見。

因為，我們在數學上下的功夫已經不是算術，即諸如加減乘除的計算問題，我們所面對的數學是一門培養我們世界觀和方法論的學問（因為計算的複雜程度很小，比如很多題都以1、2、3或a、b、c來充當題目中的數字）。

作為一門最普通尋常、最基礎的科目，為什麼會給我們帶來諸多煩惱，為什麼讓我們談數學而色變，甚至因為它的左右而改變了我們人生的軌跡。像朱自清、羅家倫、錢鍾書那樣數學零分還能上清華北大的事情，現如今幾乎不會重演。

如何才能讓我們對數學提起興趣、對數學增強信心並且學好數學，是一個至關重要的問題。而這一問題的答案，首先要回答如下幾個問題：知道數學是什麼，數學能幹什麼，數學對普通人來說有什麼用。

只有這樣，我們才能體會數學的魅力，才會感受到數學的熱情，才會找到學習數學的方法，才能解釋為什麼數學在人類歷史上佔據著重要的地位，才能理解為什麼數學能夠在的考試史上也佔據著「霸主」地位。

一 數學是什麼：探索宇宙

拉普拉斯說曾經說「萊布尼茨在他的二進位算數中看到了宇宙創始的原象。他想象1表示上帝，而0表示虛無，上帝從虛無中創造出所有實物，恰如在他的數學系統中用1和0表示了所有的數。」這句話是什麼意思呢？我們有必要引入勾股定理或畢達哥拉斯定理來方便大家理解。

學過數學的人隨口便能說出描述這一三角形的兩句話，「勾三股四玄五」「三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方」。然而，我們要討論的並不是商高的勾股定理早，還是畢達哥拉斯的定理更好用一些。我們要聊的是他們二位發現的這一定理的理論根源是什麼，為了什麼的問題。這些古代哲學家選中了數字，而且畢達哥拉斯學派也可理解為「唯數論派」。

為什麼是數字，數字可以說是人存在在自己腦海里的「純粹像想出來的東西」。試想一想，現實世界當中是否存在著抽象的「1、2、3、4……」這些數字呢？仔細想來好像是沒有，那麼我們會發現「1、2、3、4……」這些數字都是憑藉著外在具體的物體來表達的，比如「一個蘋果」「一首歌」「兩把椅子」……這是什麼意思呢？

其實，這種純粹的想象出來的數字正是笛卡爾的「我思故我在」的真諦，即我不能再懷疑我正在懷疑著了，也就是說，我們可以懷疑一切事物，但是有一件事我們無法再懷疑了，就是當我正在懷疑（思考）的時候，我不能再懷疑（思考）我正在懷疑（思考）著這件事。因此，我們就可以認為這件事就是我們大腦思考出來的一件「純粹的理性」的東西。這樣就我們能夠理解和解釋數字所具有的「純粹性」和「可靠性」了。

從數字的「純粹性」和「可靠性」，便能推斷出到數字的「理性」特徵。我們可以想象，如此可靠的東西，在畢達哥拉斯的哲學里，也就是他的形而上學（Metaphysics），或者說是他本體論（Ontology），其實就是他完全的宇宙探索。那麼，畢達哥拉斯是如何具體實施他的宇宙探索的呢，我們可以通過他和他的學派在音樂上的發現略窺一二。

由於數字與數字之間存在比例關係，畢達哥拉斯學派在音樂方面發現，一根拉緊的琴弦發出的聲音取決於弦的長度，如果琴弦要發出和諧的聲音（注意：是和諧的聲音），則必須是琴弦與琴弦的長度成整數比。

推而廣之，至宇宙中同理，行星產生的聲音是隨著他們與地球的距離的變化而變化的，而在這種美妙的比例之中，在畢達哥拉斯眼前便形成了的一幅絢麗的宇宙天體交響圖景。

我們在這裡不討論畢達哥拉斯的奇思妙想是否有根據，是否符合一般大眾所謂的「科學性」，我們應該關注的是他真正為我們帶來的對數字的全新的認識，對數學的全新認識。他確實能夠解放我們的思想——數學既是人類日常生活中無差別的表達，也是探索宇宙的基石。

二 數學能幹什麼：表達人生

數學是工具，更是一門語言，它與我們的生活密切相關。當今世界最常用的十進位記數系統是以十為基底進行計算，在查找大量歷史資料后，找到了看似荒誕的原因，我們使用十進位就是因為人有十隻手指。

看到這裡，難免會有人指出為什麼除了十進位以外，還有二進位、四進位、五進位、七進位、八進位、十二進位、十六進位、二十進位……六十四進位等基本進位制記數系統，難道我們身體長著各種組合形式的手指頭或是加上了腳趾頭在運算嗎，您還別說，還真有傳聞說凱爾特人就是加上腳趾頭使用二十進位的。

舉例來說，英文和德文中11和12 就不是按照十進位原則把數碼和「10」（teens）組合在一起的，在語言上他們與10無關，而法文的80寫作「20」（vingt）和「4—20」（quatre-vingt），90是quatre-vingt-dix(4×20+10)，而丹麥語中的70 的寫法是「halvfirsindstyve」大意是從三倍20到四倍20的某個中間值。

下圖是網上流傳最火的各國人識數圖，它是以幾個國家的語言讀97為例的。這是里可以看出語言邏輯與數字邏輯的互為表徵。

各國人識數圖

除了身體、語言的相關性以外，我們每天看到的時間是六十進位的技術系統。60秒是1分鐘，60分鐘為1小時，想必也有其合理的解釋，此處不再贅述。通過前文，我們發現數學的確與我們的身體、語言、日常生活密切相關。而且相關的如此完美，完美到不能察覺，完美到忘記它的存在。

數字是「純粹的」「理性的」「可靠的」東西。它並不像是我們日常語言，如中文「吃了嗎？」還有「你好」的意思（語境再現：在一個中午的，剛出家門的鄰居A和B的對話。A：吃了嗎？B：吃了。=A：您好！B：您好！）；英文中「Thank you」還有「不要」的意思（語境再現：一個咖啡館，服務員與客人的對話。A：Would you like a cup of tea, sir？B：No，thanks.）。

康德總愛用5+7=12為例子，此處我們暫不探討為何他對這幾個數字情有獨鍾，但是5、7、12確實是不能代替、沒有誤解的東西，其作為人腦中純粹的想象出來的，在真實世界沒有的，只能依託於載體而存在的東西——數字的必然真理性，可以用《武林外傳》里郭芙蓉的口頭禪「確定一定以及肯定」來表達的。但是5、7、12，也是要有其限定性，這就談到了語境問題。

關於語境，就不能不提到函數。函數的定義：設A、B是兩個非空數集，如果按照某種確定的對應關係f，是對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應。稱：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作：y=f(x),x∈A，其中x叫做自變數，x的取值範圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值。

那麼，如果我們想用y=f（x）來表達一個事件是沒有問題的。比如，我今天和我女朋友去逛街了，用函數y=f(x)來描述就是這也就是：事件=f(今天、我、女朋友、逛街)，其中事件就是y，x就是今天、我、女朋友、逛街，x∈A，定義域A就是這一切的限定條件，即類似於5W1H的限定條件。其中x∈A中的A就是語境。

所以，數學家A·波萊爾會說數學是「高度專門化的語言」，我們可以延伸他的話說數學是一種沒有歧義的語言，沒有任何誤解的理解的語言，是人類的通用語。這樣一來，我們就能理解常見的試卷中，試題為何總在求定義域：已知f（x）的定義域為[0,1],求f（x+1）的定義域。是因為定義域在「可靠性」和「理性」上是比生活用語的語境更有確定性的。

三 數學有什麼用：尋找詩和遠方

既然我們能夠用函數來描述一個事件了，我們也就等於得到了最簡便的、最無爭議的、最可靠的、最通俗易懂表達方法——y=f(x)了。那麼，我們很容易聯想到20世紀幾位先鋒藝術家，諸如蒙德里安、馬蒂斯、畢加索、斯特拉文斯基、J.凱奇等人的作品，蒙德里安的格子畫是隨手而為之的嗎，畢加索把「屁股畫在臉上」是為了嘩眾取寵嗎，斯特拉文斯基的《春之祭》是「群魔亂舞」嗎，凱奇的「4分33秒」是為了「博出位」嗎。

一切藝術家的藝術嘗試，都與我們的語言、我們的數學有著密切的關聯。僅以畢加索畫牛為例，我們一看到此圖便能一目了然，他在嘗試用一種極端的語言來表達他所要表達的事件。

畢加索畫牛

我們相信，每位藝術家都是如此，在自己的領域嘗試著一種屬於自己的語言，而這種語言就是以理性、可靠性、可讀性為追求的嘗試。而這種嘗試就是科學的精神、數學的精神、哲學的精神，這是探索宇宙人生的精神，並非普通大眾眼中的信手塗鴉。

綜上所述，只有真正認識數學是什麼，我們才會有激情、有熱情投身到學習數學的工作當中去。去體會懷特海所說的「作為人類精神最原始的創造，只有音樂堪與數學媲美。

只有學過數學財富的少數人，才能嘗到數學的『特殊樂趣』」。只有這樣，我們才能在學習的道路上不把「數學想象得艱難灰色，不可捉摸，它只不過是常識的升華而已。」（L·開爾文）只有這樣，我們才能逐漸培養起學習數學的動力，抓住學習數學的方法，在今後的學習過程中品嘗到那種「特殊樂趣」，成為像畢達哥拉斯那樣撩動宇宙和人生琴弦的人。

本文為人民家庭教育（rmjtjy）團隊原創，轉載請註明。

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