機器人參加高考數學22分鐘拿105分，究竟怎麼做到的？

AI 研習社按：2017 年聯考剛剛結束，據相關媒體報道，7 日下午，在沒有網路和題庫支持的情況下，一個名為 Al-Maths 的機器人在 22 分鐘內完成了文科數學北京卷，並取得了 105 分的成績（滿分 150 分），一時引發了公眾的普遍關注和討論。本文將試著從數學解題思維的角度出發，對比機器學習的一般性認知邏輯，為大家揭秘聯考機器人的內部工作原理。原文作者怒放的生命，原載於芥末堆，AI研習社已獲授權。

最近頻繁看到機器人參加聯考的消息，學校教育培養的人才還不如一個機器的報道甚囂，且塵上矣。筆者不才，從事十幾年教學和教育技術研究，對機器人參加聯考的宣傳報道怎麼興趣蕩然無存呢。

近期的一則報道說聯考機器人數學成績以93分收場，我們研究聯考數學試卷可以知道基礎分數為90分，也就是我們所說的」比著葫蘆畫瓢」也可以拿到90分，老師輔導高三學生備考的時候，經常給學生規範題型模板，只要是往裡套公式，基本可以拿到這個比較低的分數，可以感覺目前機器學習是無窮對比的結果。借鑒計算機視覺理論創始人馬爾的三級論定義，機器學習中關於數據的處理與分析，包含三個方面：

● 首先是應用問題導向，主要應用是已有的模型和方法解決一些實際問題，相當於數據挖掘；

● 其次是應用問題的需要，提出和發展模型、方法和演算法以及研究支撐它的數學原理或者理論基礎等，這是核心；

● 第三就是通過推理達到某種智能。數據挖掘接近於數據端，機器學習接近於智能端。

《高中數學課程標準》指出，高中數學應注意提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一。學生們在學習數學和運用數學解決問題時，不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等思維過程，數學思維能力在形成理性思維中發揮著獨特的作用。

我談一下學生學習知識的解題邏輯和思維經歷。

中學生接觸最多的是狹義標準化上的數學題，說到標準包括兩個基本要素：條件（已知條件，題干條件），結論（未知，求解，求證，求作）。解題就是溝通條件與結論之間的聯繫，包括解和解題依據。解題比做打仗，那麼解題者的「兵力」就是數學基礎知識，解題者的「兵器」就是數學基本方法，而調動數學基礎知識、運用數學基本方法的數學解題學正是「兵法」。

《數學解題學引論》中認為數學解題的信息過程包括這樣一個「三位一體」的工作。

1. 有用捕捉：從理解題意中捕捉有用的信息，主要是弄清條件是什麼？結論是什麼？如何建立條件與結論之間的邏輯聯繫？通過感知和以前學過的圖示知識，從題目的敘述中獲取「符號信息」，從題目圖形中獲取「形象信息」。知識與圖示知識是「有用捕捉」的基礎。

2. 有關提取：即在「有用捕捉」的刺激下，通過回想而從記憶儲存中提取有關的信息，圖示知識：定理、公式、基本模式、解題經驗等解題依據或解題憑藉。良好的認知結構和機智的策略選擇是連續提取、不斷捕捉的基礎。

3. 有效組合：將「有用捕捉」和「有關提取」兩組信息進行有效組合。邏輯思維能力是有效組合的基礎，而「邏輯結構」是否有效，其基本要求應能說服自己、說服論敵。

這三個步驟往複循環，依信息的反饋而由大腦來調節，解題信息過程如圖1所示：

從資訊理論的觀點分析例1的解題過程，則是兩個維度上相關信息的有效組合，即從理解題意中捕捉有用的信息，從記憶中提取有關的信息，並把這兩組信息組成一個和諧的邏輯結構。

可見，數學解題的思維過程是一個「三位一體」的工作．

例1的分析充分體現了解題者的思維過程，也正是解題教學中教師應該向學生充分展示的過程。因為例1的難度不大，甚至還能「簡單模仿」，但是很難讓學生上升到「自發領悟」和「自覺分析」的頓悟層次，對提高學生解題能力起不了多大作用。

1）解題方法

這裡說的解題方法，是指中學階段用於解答數學題的方法。此處將其分為3類，分別為具有創立學科功能的方法，體現一般思維規律的方法，具體進行論證演算的方法。

1. 具有創立學科功能的方法。如公理化方法、模型化方法、化歸方法、結構化方法，以及集合論方法、極限方法、坐標方法、向量方法等。在具體解題中，具有統率全局的作用。

2. 體現一般思維規律的方法。如觀察、試驗、比較、分類、猜想、類比、聯想、歸納、演繹、分析、綜合等。在具體解題中，有通理通法、適應面廣的特徵，常用於解題思路的探求。

3. 具體進行論證演算的方法。這又可以依其適應面分為兩個層次，第一層次是適應面較廣的求解方法，如消元法、換元法、降次法、待定係數法、反證法、同一法、數學歸納法（及遞推法）、坐標法、三角法、數形結合法、構造法、配方法等；第二層次是適應面較窄的求解技巧，如因式分解中的「裂項法」，函數作圖中的「描點法」，以及三角函數作圖中的「五點法」，幾何證明中的「截長補短法」、「補形法」，數列求和中的「裂項相消法」「倒序求和」「錯位相減法」等。

僅僅是不等式的證明，我們就可以列舉出一長串的解法或技巧：比較法、放縮法、綜合法、分析法、遞推法、反證法、基本不等式法、疊加法、連乘法、數學歸納法、判別式法、求極值法、配方法、輔助函數法、構造法、微分法等，而微分法又可以有求極值、確定單調性、中值定理等形式。

2） 解題策略

注重解題策略的研究已經構成解題的一個特色，它可以看成是對波利亞現代啟發性解題策略研究的繼承與發展，徐利治教授提出的RMI原理是這方面工作的傑出代表。

1. 策略是指導行動的方針，同時也是增強效果、提高效率的藝術，它區別於具體的途徑或方式。數學解題的策略是為了實現解題目標而採取的方針。解題策略的思維基礎是邏輯思維、形象思維、直覺思維的共同作用，離開邏輯是不行的，單靠邏輯是不夠的。

2. 解題策略介於具體的求解方法與抽象的解題思想之間，是思想轉化為操作的橋樑，一方面它是用來具體指導解題的方法，另一方面它又是運用解題方法的方法、尋找解題方法的方法、創造解題方法的方法。

如果把解題策略理解為選擇與組合的一系列規則，那麼這些規則應該具有迅速找到較優解題操作的基本功能，能夠減少嘗試或失敗的次數，能夠節省探索的時間和縮短解題的長度，體現出選擇的機智和組合的藝術。

總之解題思維是來自身體經驗的，並非來自語言和文字標籤，語言也是來自身體經驗的。但是智力越發展，語言的重要性也越大。

假如例1題變式為：向量OA坐標為（3,4），按照逆時針方向旋轉135°到向量OB，求B點坐標。

按照三位一體的思維理論，學生很容易通過向量和兩角和與差的餘弦定理去建立解題邏輯。而機器人的所謂神經網路學習模式攫取的底層標籤都是向量相關的，解題邏輯的建立就太難了。

機器學習的認知邏輯是如果涉及「認知發生」，各種導圖、圖譜統統都是無效的。不涉及「認知發生」時，圖譜、導圖在一些教學場景下能提供僅僅部分有效的支持。比如：「認知發生」是指「你不能想象吃米飯的動作，你就無法理解啥叫吃米飯」。也即：如果要讓學生理解「吃米飯」這一邏輯的前提是，學生能想象「吃米飯動作」這一身體經驗。當我們沒有直接的「吃米飯」的經驗，但是有「吃」的經驗以及「大米」的經驗時，語言可以協助我們想象「吃米飯」的經驗。這種「概念拼裝」可能會有部分的「失真」，但確實是可以促進的。這也就是「教」的意義。在複雜認知技能的有效學習方面，模擬任務環境中的重要性，心理逼真度>功能逼真度>物理逼真度。

學習分析數據模型

聯考機器人意在通過整合最先進的人工智慧技術，檢驗人工智慧可在多大程度上模擬人類思考以及解決問題的能力，希望用自適應的方式幫助K12階段的學生學習。有些公司通過手機App的拍照搜題，在線一對一等多種渠道進行數據收集，這些數據包含學生在做題、考試等應用場景中的種種行為表現，充其量是記憶平台用來檢測，而非創造性思維。對此，有業內人士表示，聯考機器人能在多大程度上落地值得商榷，像有的互聯網巨頭也在投入巨額資金做人工智慧，但是離社會化應用和行業應用還有很長的路要走。更不要借用「聯考機器人」和機器人可以考上一本的噱頭去迎合部分人心理，機器短期內適應不了原創題聯考的選拔性考試。

感謝北京大學概率統計系張志華教授、常象宇博士論文資料等等。

統計制度《機器學習：統計與計算之戀》《計算機學會通訊》

《教育數據挖掘》2012年12月出版，張少剛，魏順平博士

《深度學習的7種有力策略》（美）艾瑞克尼克爾森

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