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2021/12/25
△ Thomas Royen在德國的家中。（圖片來源：Rüdiger Nehmzow/Quanta Magazine）
2014年7月17日的清晨，一個並不知名的德國退休統計學家Thomas Royen，正如往常一般，彎著腰刷牙。突然間，他的腦海中閃過了一個絕妙的想法，找到了證明一個著名的數學猜想的方法。
這個數學猜想被稱作高斯相關不等式（Gaussian correlation inequality，GCI）。幾十年來，世界上最有經驗的數學家都在試圖解決該難題，但都沒有成功。而Thomas Royen就在水槽前，在腦海中提供了一個證明。但是他的證明並沒有立即得到關注，幾乎差點被遺忘。
GCI於1950年代首次被提出來了，但直到1972年才有了恰當的表述，並聯繫了概率和幾何學：在一場飛鏢遊戲中，它為玩家射中靶子的幾率設了一個下限，包括在高維中的假想飛鏢遊戲。
想象一下，有一個藍色的長方形和黃色的圓形，把它們重疊在一起並擁有同樣的中心點，就像飛鏢靶一樣（下圖）。向靶子扔一系列的飛鏢，你很快就會發現飛鏢的位置繞著中心點會形成一個鐘形曲線或「高斯分佈」。根據高斯相關不等式，飛鏢射中重疊部分的概率要跟飛鏢單獨射中長方形的概率乘以飛鏢單獨射中圓形的概率一樣或者更高。簡單來說，由於兩個形狀重疊，射中其中一個就提高了射中另一個的幾率。同樣的不等式被認為對於任何兩個具有同一個中心點的對稱的形狀，並且在任何維度下都成立。
△高斯相關不等式的幾何（上）和統計（下）表述。（圖片來源：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine）
這聽起來很像常識，但是要在數學上證明可不簡單。
1973年，美國弗吉尼亞大學的數學家Loren Pitt在一次和同時的午餐中第一次聽到了該不等式。作為一名年輕傲慢的數學家，他驚訝於居然沒有人知道如何證明GCI。於是他把自己關在旅館房間，下定決心在證明或反駁該猜想之前不出門。1977年，他最終證明了GCI的一個特例，即在二維形狀下該猜想是正確的，但無法證明一般情況。幾十年過去了，Pitt表示自己依然不知道答案。
直到2014年7月，作為一個67歲的退休人員，Thomas Royen發現可以把GCI擴展成統計分佈的表述。17日早晨，他意識到了如何計算在擴展GCI中的一個關鍵導數，並解開證明。他說：「那天晚上，我寫下了該證明的初稿。」
（圖片來源：Rüdiger Nehmzow/Quanta Magazine）
他並不會LaTex——一種數學家常用的文字處理軟體，於是只能將他的計算用Microsfot Word打出來，並把他的論文發表在arXiv網站上。他也把自己的結果發給賓夕法尼亞州立大學的統計學家Donald Richards。Richards說道：「當我看到這篇文章時，我立即就知道它被解決了。」
△ Royen發表在arXiv上的論文（2014）。Royen發現，他可以將GCI一般化，並不僅僅只應用在隨機變數的高斯分佈，而可以應用在更一般化的統計分佈（跟高斯分佈的平方相關），被稱為伽瑪分佈。（圖片來源：Thomas Royen）
Richards自己也被這個結果所震驚。在過去的幾十年中，他和其它的專家都嘗試利用越來越精巧的數學方法來解決GCI。經歷了許多漫漫長夜的思索后，有一些數學家甚至開始懷疑這個不等式是錯誤的。結果，Royen的證明是如此的短和簡潔，只有幾頁紙和用到一些經典的方法。一個經過訓練的統計學研究所就能看懂。對此，Royen說到：「這些簡單的證明...或許能夠激烈年輕的學生髮揮他們的創造力尋找新的數學定理，高理論水平並不總是必須的。」
當然，Richards也吃驚於這麼重要的論文居然差點被全世界遺忘。
過去，有很多錯誤的證明使數學界對此感到厭倦。在2015年的時候，Royen的證明以及其它兩份「證明」寄給了以色列魏茨曼科學研究所的Bo'az Klartag。當Klartag檢查其中一份的時候發現了一個錯誤，由於時間緊迫就把其它兩份給擱置了。因此，Royen的成果就被忽略了。
通常，像Royen的論文應該發表在《統計年鑒》上，這樣所有人都會迅速聽到這個結果。但是Royen跳過需要長時間同行審議的那些頂級期刊，而選擇了在印度一個不知名的期刊發表了他的成果（他在一年前同意成為那個期刊的編輯）。顯然，Royen的論文不可能被注意到，因為大多數專家都不知道那個期刊。
幸運的是，Royen說服了波蘭數學家Rafał Latała 和他的學生Dariusz Matlak。他們重新寫了一篇關於Royen的證明的論文，並於2015年末發表在arXiv上。
多虧了這份新的論文，在過去12個月中，Royen的證明才在數學界慢慢傳播開來。當然，仍然有一些人可能還沒看到這個證明。
他的證明還有一些輔助的問題需要被回答，但最大的問題或許是，在這個網路的時代，為什麼Royen的證明傳播的如此之慢。但不管怎麼樣，至少我們最終發現了它，而它很漂亮。
參考來源：
本文由微信公眾號「原理」（ID：principia1687）授權轉載
編輯：yangfz
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