華圖：公務員考試數量關係你必須get的幾何問題備考技巧

在備考行測數量關係的過程中，很多考友在看到幾何問題時，都吐槽說：「幾何問題太難了，我只能選擇放棄啦。」我個人覺得這話說得欠考慮，因為幾何問題在國考行測數量關係中是必考題型，而且順著華圖知識樹梳理幾何問題，你就會發現幾何問題真的沒有那麼讓你「扎心了老鐵」。先看看幾何問題在歷年國考中的出題頻率和簡要考點。

2010-2017年國考幾何問題題目數和簡要考點

歷年國考數量關係考題共有15道考題，不是每種題型都有機會在考題中出現的。通過華圖孟老師的梳理，從上表中可以看出幾何問題國考每年必考!小夥伴們禁不住感嘆：「厲害了，我的幾何問題!就是我們熟知的工程問題、行程問題也沒到每年必考的境界呀。」現在知道幾何問題的重要性了吧，這個考試的制高點我們應該儘力拿下。

其實國考幾何問題考察的是幾何基本定理和性質，不是什麼高深的難以理解和掌握的知識。華圖孟老師在這裡就給大家介紹一下國考行測備考必須掌握的幾何問題備考技巧。先說說我們以前學過的基本幾何定理(或公理)：

一、兩點之間線段最短

解釋一下就是，如果有A、B兩點，那麼這兩點之間的最短距離是線段AB(同一直線上的兩個點)，而不是折線AB，或者弧線AB，如下圖所示：

國考幾何問題曾出現此定理相關考點：

【例1】(2012-國家-79)草地上插了若干根旗杆，已知旗杆的高度在1至5米之間，且任意兩根旗杆的距離都不超過它們高度差的10倍。如果用一根繩子將所有旗杆都圍進去，在不知旗杆數量和位置的情況下，最少需要準備多少米長的繩子

A.40B.100C.60D.80

【分析】夥伴們，這類試題怎麼想比較關鍵，結合題目中的幾何模型應用相關定理是快速解題的秘訣啊。根據題中要求，要想圍進所有的旗杆，同時保證所用繩子最短，就是我們應該設定旗杆排布的最理想狀態。因為「兩點之間線段最短」，我們把相距最遠的兩個旗杆看成兩個點，這兩個點之間最短的距離就是它們之間連線所成的線段了，接下來假設其他的旗杆都排列在該線段上，那麼圍近所有的旗杆就需要兩條最短的線段了，也就是要準備的最少的繩子。我頭腦中的旗杆排是這樣的(兩端的繩子一共是旗杆的外周長，計算時忽略不計)：

那麼根據題意，最遠的距離是10×(5-1)=40米，兩條最短的距離就是40×2=80米，也就是應該選D選項。想明白了，本題就很簡單了，當然這個「想明白的過程」需要我們學習和沉澱啊。

由這一定理也以得到三角形邊長關係的相關定理，也就是我要介紹的下一個定理。

二、三角形兩邊之和大於第三邊

給小夥伴們解釋一下就是， 。其實這條定理是第一條定理的特殊情況，三角形的第三邊AC可以看成是兩點間的線段，AB與BC的和看成A、C兩點間的折線，兩點間的折線一定大於兩點間的線段。這條定理也可以理解成：如果三條線段其中的任意兩條的和不能大於第三條的話，這三條線段就不能組成三角形。

這個考點曾經在國考中這樣考察：

【例2】(2010-國家-53)科考隊員在冰面上鑽孔獲取樣本，測量不同孔心之間的距離，獲得的部分數據分別為1米、3米、6米、12米、24米、48米。問科考隊員至少鑽了多少個孔

A.4B.5C.6D.7

【分析】根據題意，如果使鑽孔個數盡量少，那麼就應該滿足題目中出現的這些孔間距離的同時盡量讓這些長度能共用同一孔，6條線段如果可以組成下圖，那就可以選最少的4個孔了。

問題是這6條線段能不能組成如上圖那樣的封閉圖形呢?答案是不能。因為我們可以看出要想組成封閉圖形首先必須能構成三角形，而1米、3米、6米、12米、24米、48米這6個數字中任意選三個，它們都不能完全滿足任意兩數之和大於第三個數，所以它們不能構成三角形，就不能構成封閉圖形了。要想使孔數盡量少，也要盡量應用公共孔，如下圖或直線排布，或者散射狀排布，無論哪種都需要7個孔才行，選擇D選項。

三、勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方

用直觀的公式說明就是如圖：直角三角形ABC，的三條邊分別a、b、c，其中a、b是兩條直角邊，c是斜邊，那麼就有a²+b²=c²。

這幾個定理有時會聯合考察，比如下面的題目：

【例3】(2010-福建-103)一隻螞蟻從下圖的正方體A頂點沿正方體A頂點沿正方體的表面爬到正方體C頂點。設正方體邊長為a，問該螞蟻爬過的最短路程為

【分析】要想使AC之間的路程最短，我們就應該想到「兩點之間線段最短」，題中要求螞蟻葯沿正方體的表面爬，我們就要把A、C兩點間的線段放在正方體表面積構成的平面上，也就是如下圖，把正方體的一個側面展開，然後連接AC，根據勾股定理求AC間的距離，就是，本題應該選擇B選項。本題關鍵點是如何把AC放置在題干要求的統一平面上。

如果知道考點還是比較簡單的，對吧，親們。我們再來看看2017年各省公務員考試的新題目：

【例4】(2017-吉林-65)悟空與二郎神在離地面1米的空中決鬥，兩人相距2米，悟空想用分身直接偷襲二郎神，為了不引起對方的警覺，分身必須在地面反彈一次再進行攻擊，則分身到達二郎神的位置所走的最短距離為

【分析】看到題目就有一種莫名的喜感有木有啊，還慢慢開始明白了「牛人都得會幾何」，因為就連打架也可以用幾何知識做技術支持呢!本題中如果我們把悟空分身和二郎神都看成點的話，題目所求就變成求兩個點之間的最短距離了，小夥伴們一定想到了「兩點之間線段最短」，那麼我們就要分析一下這個最短的路徑是哪條了。先畫圖分析下：

題中有要求，分身要在地面反彈，就是這個最短的線段要與地面有交點。同時大家要注意悟空的分身一定是從悟空本身發出的，我們就要找出由悟空本身發出，經地面到達二郎神位置的最短的路徑。如圖，路徑可以是從悟空發出，經地面上的P點後到達二郎神。

但這條路徑是最短的嗎?小夥伴們表示，似乎不是很好判定啊。我們的定理是「兩點之間線段最短」，我們應該想辦法把經地面連接悟空和二郎神的路徑放在一條線段上，那條線段就是最短的了。小夥伴們有沒有想起對稱點呢，就是我們把悟空分身的出發點先轉換一下位置，這個位置是以地面為對稱軸的悟空的對稱點，這時我們鏈接悟空的對稱點和二郎神，這條線段就是這兩點間的最短距離了，這條線段與地面的交點是O，由對稱性可知，悟空到O點的距離等於悟空對稱點到O的距離，那麼也就是最短路經是經悟空到地面上的O點，再到二郎神，這條路經就是由悟空、悟空對稱點、二郎神三點組成三角形的斜邊，長度是000000000000米，本題應該選擇A選項。本題中悟空的對稱點和二郎神之間的連線就是最短的線段，而悟空對稱點到P再到二郎神間的折線就不是最短的。

用語言描述過程比較複雜，如果我們get到了該知識點，解題會非常快的。再比如，2017年422聯考的題目：

【例5】(2017-湖南、湖北、浙江、重慶聯考-47)如下圖所示，某條河流一側有A、B兩家工廠，與河岸的距離分別為4km和5km，且A與B的直線距離為11km。為了處理這兩家工廠的污水，需要在距離河岸1km處建造一個污水處理廠，分別鋪設排污管道連接A、B兩家工廠。假定河岸是一條直線，則排污管道總長最短是

A.12kmB.13kmC.14kmD.15km

【分析】本題與悟空二郎神一題其實是一種題型。根據題中要求，求的是距離河岸1米處的某點距離A、B的最短距離。根據上道例題的啟示，我們要把A、B兩點放在同一線段上，先畫一條與河岸平行且距離河岸是1米的線，以該線為對稱軸做B點的對稱點B，連接AB，與平行於河岸的線相交於O點，小夥伴們請注意對稱的距離是4千米，BB之間的距離就是8千米。再過A點做BB的垂線AP，垂足是P，可知BP為1千米，BP的長度就是8-1=7千米，在直角三角形ABP中，根據勾股定理，所求的最短距離AOB，就是AB的長度。同樣的在直角三角形ABP中，根據勾股定理，斜邊AB的長度就是，因此本題應該選擇B選項。

可見只要明白定理，理解考點，我們也能夠解出題目的。特別是幾何問題在國考中這麼重要，國考真題在我們知道考點、了解幾何基礎知識的基礎上是比較容易解出的。

華圖教育祝各位考生一舉成「公」！

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