CICC科普欄目｜數學是什麼？

一個網名叫XiuxianR的網友在我的博文「論數學證明與數學真理性」後面給數學下了個定義：「數學是用公認的符號、圖線來表達物質屬性及相互關係的科學」，我不知道這位仁兄是自己給出的定義還是抄來的定義。他認為我對數學的基本概念模糊、抽象，這個評論非常正確，不僅僅是我，我相信迄今為止沒有一個數學家或哲學家敢說自己對「數學是什麼」有了非常清楚的認識，以至於沒有人能質疑他的定義。鑒於這位網友沒有惡意，而且我對這個問題也很感興趣，不妨專門探討一番，歡迎XiuxianR先生繼續「噴」。

中學數學對數學有一個「標準」的定義：「數學是關於空間形式與數量關係的科學」，這個標準其實並不標準，事實上，隨著數學的發展，人們對數學的認識也在發生著變化，古希臘的Proclus是這樣評論數學的：

所以說

她提醒你有無形的靈魂；

她賦予她所發現的真理以生命；

她喚起心神澄凈智慧；

她給我們的內心思想添輝；

她滌盡我們有生以來的蒙昧與無知

Proclus如此評價數學一點也不奇怪，因為在他那個時代，數學具有崇高的地位，任何人不可以質疑數學。XiuxianR先生認為「古往今來，除了數論，數學家通常是物理學家甚至政治家」，我只能告訴你，過去沒有職業數學家，而且過去從事數學研究的不僅僅是物理學家，更多的是神父、牧師、律師、法官等，他們把數學作為茶餘飯後的娛樂，去查一查費馬的簡歷就知道了。

人類文明最早可以追溯到古埃及與古巴比倫，距今已有六千年左右的歷史，那時人們已經發現了勾股數，可以說，人類文明有多悠久，數學就有多悠久。直到微積分時代，數學的確始終與自然科學緊密相連，很多時候，我們很難分清數學家與物理學家。但隨著數學的日新月異，情況已經發生了很大變化，數學逐漸從自然科學領域分離了出來，按照自身的邏輯繼續發展，以至於大家越來越搞不清到底什麼是數學了。Courant對數學有過這樣一番評論：「『數學是什麼？』這個問題，不能通過哲學概括、語意學定義或者新聞工作者所特有的迂迴說法來做出令人滿意的回答。」他在《什麼是數學》一書中又這樣說道：「數學，作為人類智慧的一種表達形式，反映生動活潑的意念，深入細緻的思考，以及完美和諧的願望，它的基礎是邏輯和直覺，分析和推理，共性和個性」。

Courant對數學的界定並不是大家公認的權威定義，法國數學家Borel這樣評論數學：「數學是我們確切知道我們在說什麼，並肯定我們說得是否對的唯一的一門科學」。英國數學家兼邏輯學家Russel則針鋒相對：「數學是所有形如p蘊含q的命題的類，而最前面的命題p是否對卻無法判斷，因此數學是我們永遠不知道我們在說什麼，也不知道我們說的是否對的一門學科」。

如此說來數學似乎陷入了不可知論！但如果我們暫且不去糾纏數學這個概念的嚴格定義，關於數學的一些基本特徵則是大家公認的：

1、數學是一切科學的語言。

2、數學是打開科學大門的鑰匙。

3、數學是思維的工具。

4、數學是創造性藝術。

正是由於數學具有上述諸特徵，所以很難給數學下一個清晰明確的定義。

數學的面貌早已今非昔比，如果把數學的發展分成若干個階段的話，大致可以分為三個時期：1、古典數學時期。主要研究數、代數方程、初等幾何。2、近代數學時期。以微積分的誕生為標誌，以宏觀世界中的物理運動為背景。3、現代數學時期。以集合論誕生為標誌，其顯著的特徵是Hilbert倡導的形式主義。現代數學的發展無論是深度還是廣度已經遠遠超乎人們的想象，即使是一個最偉大的數學家，也很難通曉現代數學的全部。法國Nicolas Bourbaki學派認為：「許多數學家在數學王國的一角佔據了一席之地，並且不願意離開。他們不僅差不多完全忽略了與他們的專業領域無關的東西，而且不能理解他們的同事在遠離他們的另一個角落使用的語言和術語。即使是受過最廣博的訓練的人在浩瀚的數學王國的某些領域中也感到迷茫，像龐加萊和希爾伯特這樣的人，幾乎在每個領域都留下他們天才的印跡，甚至在最偉大的成功者中也是少而又少的極其偉大的例外。」這段評論的確反映了數學的某種現狀。

當然，無論數學發展到什麼程度，也無論發展成什麼樣，它最終都是為自然科學乃至社會科學服務的。

XiuxianR先生還堅持你對數學的定義嗎？

標題看起來似乎是個顯而易見的平凡話題，其實不然，「什麼叫數學證明」是個數學哲學問題。我學了多年的數學，對這個問題也是一知半解，應網友要求，順便思考一下，談談自己的理解。

什麼叫數學證明？簡單地說，是在特定的公理系統中按照某種規則或標準（邏輯系統）由公理或已經被證明的結論（定理或命題）推導出的命題，數學證明通常依靠演繹推理。

從證明形式的角度看，數學分形式化與非形式化兩種證明，形式化的證明依賴於一套特殊的符號語言，它不能有任何邏輯上的模稜兩可之處，否則這種證明就被認為是不嚴格的或者有漏洞，數學研究工作者使用的就是形式化的證明。非形式化的證明是用來說服普通大眾接受某個結論的相對比較嚴格的自然語言，這種證明的嚴密性取決於證明者所使用的語言以及受眾對這種語言理解的程度，這類證明通常出現在科普講座等不需要嚴格數學化的場合。

從演繹的過程看，數學證明需要符合幾個條件：

1、數學證明具有一般性，演繹過程必須是針對所涉及的全部數學對象而言，無一例外。

2、所使用的邏輯體系需要是公認的，演繹方法必須是正確的。

3、證明所使用的論據必須是正確的，例如你證明過程中使用的命題必須是經過證明是正確的。

4、概念必須是清晰的，不能帶有歧義。

5、問題的轉換必須是等價的，不能偷換概念或問題的內涵。

6、結論必須是明確的，不僅可以進行重複檢驗或邏輯驗證，而且人們根據這個結論不能推出相互矛盾的結果。

7、結論必須具有普適性，不能有任何例外。

數學證明的典型特徵是依賴於特定的公理體系與邏輯體系，歷史上的第二次數學危機之所以產生，其內在的矛盾就在於使用了不同的邏輯，貝克萊使用形式邏輯質疑牛頓的無窮小，而牛頓或許自己也沒有意識到他的問題本質上在於所使用的邏輯體系不同。事實上，微積分堪稱運用辯證邏輯的典範，雖然後來柯西將微積分語言嚴格化從而平息了爭論，使得微積分得到了普遍的認同並成為數學史上最偉大的發明創造，但微積分所採用的邏輯體系並沒有變化。所以嚴格意義上講，數學理論無所謂真與偽，只要邏輯上是自洽的，就可以認為這套理論是正確的，例如，你可以假定鬼是存在的，於是可以演繹出一系列類似聊齋的鬼故事，這正是數學與自然科學本質不同的地方。自然科學是實證科學，只要絕大多數的重複試驗可以驗證某個結論，哪怕偶有例外，都可以認為這個結論為真，否則就是偽結論。

當然，從方法論意義上講，數學與自然科學有相通之處，而且很多數學問題來自於自然科學，所以很多數學理論與自然科學理論非常吻合，因而便有了數學是不是真理之問。以我所見，出現這樣的現象與數學是不是真理沒有關係，而是緣於數學使用了與現實相吻合的前提以及合適邏輯的結果。換句話說，數學只論正確與錯誤，不論真理與謬誤。

也許有人會提出質疑，既然數學不論真偽，如何理解「數學是科學之母」？眾所周知，任何問題都需要採用合適的語言來表達，也需要使用適當的方法去處理，數學是自然科學一種普適的語言符號，也是定量處理科學問題的有效方法，還是思考很多科學問題的通用邏輯，所以把數學稱為科學之母是有道理的。但這仍然不能說明數學的真理性，因為根據數學理論與方法演繹或計算出來的結論是否是真理最終依然需要科學來檢驗。正是因為數學與自然科學之間這種糾纏不清的關係使得人們將數學的正確與錯誤與科學的真理與謬誤混為一談。

與數學不同的是，自然科學有著很多的偶然性與不確定性，所以自然科學作為實證性科學，並不像數學那樣追求邏輯的嚴密性與結論的普適性，所以當人們運用數學分析自然科學中的問題時，不適宜像追求數學結論的完美性那樣追求科學結論的完美性。

數學證明作為建立數學理論的主要手段，對於數學教育無疑是十分重要的。但正如前面所說，數學證明分形式化與非形式化兩種情形，數學教育該採用哪種形式？我以為，應該兩種形式並舉。非形式化證明可以幫助學生理解問題的本質，培養數學直覺與數學思辨能力，形式化證明可以培養學生的演繹與運算能力以及數學的嚴謹性。

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