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2021/12/25
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之前顏老師跟大家分享的是初一年級數學的學習方法和要注意的事項，這次整理的是各個單元的知識點以及相關題型，還沒預習的同學要趁著暑假最後的時間為新學期多做準備，已經預習過的同學可以對照著鞏固一下自己的預習效果。
第一章有理數
知識點一 有理數的分類
有理數的另一種分類
想一想：零是整數嗎?自然數一定是整數嗎?自然數一定是正整數嗎?整數一定是自然數嗎?
零是整數；自然數一定是整數；自然數不一定是正整數，因為零也是自然數；整數不一定是自然數，因為負整數不是自然數。
知識點二 數軸
1.填空
① 規定了唯一的原點，正方向和單位長度 (三要素)的直線叫做數軸。
② 比－3大的負整數是-2、-1。
③與原點的距離為三個單位的點有2個，他們分別表示的有理數是3、-3。
2.請畫一個數軸，並檢查它是否具備數軸三要素？
3.選擇題
① 在數軸上，原點及原點左邊所表示的數是
Ａ整數 Ｂ負數 Ｃ非負數 Ｄ非正數
②下列語句中正確的是
Ａ數軸上的點只能表示整數
Ｂ數軸上的點只能表示分數
Ｃ數軸上的點只能表示有理數
Ｄ所有有理數都可以用數軸上的點表示出來
答案 AD
知識點三 相反數
相反數：只有符號不同的兩個數互為相反數,0的相反數是0。在數軸上位於原點兩側且離原點距離相等。
知識點四 絕對值
1.絕對值的幾何意義:一個數所對應的點離原點的距離叫做該數的絕對值。
2.絕對值的代數定義：（1）一個正數的絕對值是它本身；（2）一個負數數的絕對值是它的相反數；（3）0的絕對值是0；（4）|a|大於或者等於0。
3.比較兩個數的大小關係
數學中規定：在數軸上表示有理數，它們從左到右的順序，就是從大到小的順序，即左邊的數小於右邊的數。由此可知：（1）正數大於0，0大於負數，正數大於負數；（2）兩個負數，絕對值大的反而小。
知識點五 有理數加減法
1.同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加。
絕對值不相等的異號兩數相加, 取絕對值較大的加數的符號,並用較大的絕對值減去較小的絕對值。
2.互為相反數的兩個數相加得0。
3.一個數同0相加，仍得這個數。
4.減去一個數，等於加上這個數的相反數。
知識點六 乘除法法則
1.兩數相乘，同號得 正 ，異號得 負 ，並把絕對值 相乘 。 0乘以任何數，都得 0 。
2.幾個不為0的數相乘，積的符號由負因數的個數確定，負因數的個數為 偶數 時，積為正；負因數的個數為 奇數 時，積為負。
3.兩數相除，同號得 正 ，異號得 負 ，並把絕對值 相除 。0除以任何一個不等於0的數，都得 0 。
4.有理數中仍然有：乘積是1的兩個數互為 倒數 。
5.除以一個不等於0的數等於乘以這個數的 倒數 。
知識點七 乘方
乘方定義：求n個相同因數的積的運算，叫做乘方。
中，底數是a，指數是n，冪是乘方的結果；讀作：的n次方 或 的n次冪。
負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。正數的任何次冪都是正數，0的任何正整數次冪都是0。
1.加法交換律：a+b=b+a
1.加法交換律：a+b=b+a
2.乘法交換律：a·b=b·a
3.加法結合律：a+(b+c)=(a+b)+c
4.乘法結合律：a·(b·c)=(a·b)·c
5.乘法分配律：a·(b+c)=ab+ac
6.有理數混合運算順序：先乘方；再乘除；最後算加減。
7.有括弧，先算括弧內的運算，按小括弧、中括弧、大括弧依次進行 。
8.同級運算， 從左到右進行 。
知識點九 近似數
1.近似數：在一定程度上反映被考察量的大小，能說明實際問題的意義，與準確數非常地接近，像這樣的數我們稱它為近似數。
2.近似數的分類
（1）具體近似數（如30.2、58.0 …）
（2）帶單位近似數（如2.4萬…）
（3）科學記數法
3.精確度：用位數較少的近似數替代位數較多或位數無限的數，有一個近似程度的問題，這個近似程度就是精確度。四捨五入到哪一位，就說精確到哪一位(看精確度得到原數中去看在哪一位上,如:2.4萬精確到千位，而非十分位，因為2.4萬就是24000，4在千位上)。
4.有效數字：對於一個不為0的近似數，從左邊第一個不為0的數字起，到末尾數止，所有數字都是這個近似數的有效數字。
求近似數要求保留n個有效數字時，第n+1個有效數字作四捨五入處理。
例：0.0109有三個有效數字1、0、9，要求保留2個有效數字時，0.0109的第三個有效數字9四捨五入，變為0.0110，保留兩個有效數字1、1后求出近似數0.0109≈0.011。
第二章 整式的加減
知識點一 整式的相關概念
代數式中的一種有理式：不含除法運算或分數，以及雖有除法運算及分數,但除式或分母中不含變數者，則稱為整式。 (分母中含有字母有除法運算的，那麼式子叫做分式)
1.單項式：數或字母的積（如5n），單個的數或字母也是單項式。
（1）單項式的係數：單項式中的數字因數及性質符號叫做單項式的係數。( 如果一個單項式，只含有數字因數，係數是它本身，次數是0)。
（2）單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數(非零常數的次數為0)。
2.多項式
（1）概念：幾個單項式的和叫做多項式。在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項。一個多項式有幾項就叫做幾項式。
（2）多項式的次數：多項式中，次數最高的項的次數，就是這個多項式的次數。
（3）多項式的排列：
把一個多項式按某一個字母的指數從大到小的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母降冪排列；把一個多項式按某一個字母的指數從小到大的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升冪排列。
在做多項式的排列的題時注意：
(1)由於單項式的項包括它前面的性質符號，因此在排列時，仍需把每一項的性質符
看作是這一項的一部分，一起移動。
(2)有兩個或兩個以上字母的多項式，排列時，要注意:a.先確認按照哪個字母的指數來排列。
b.確定按這個字母降冪排列，還是升冪排列。
3.整式: 單項式和多項式統稱為整式。
4.列代數式的幾個注意事項
（1）數與字母相乘，或字母與字母相乘通常使用「· 」 乘，或省略不寫；
（2）數與數相乘，仍應使用「×」乘，不用「· 」乘，也不能省略乘號；
（3）數與字母相乘時，一般在結果中把數寫在字母前面，如a×5應寫成5a；
（4）帶分數與字母相乘時，要把帶分數改成假分數形式；
（5）在代數式中出現除法運算時，一般用分數線將被除式和除式聯繫，如3÷a寫成3/a的形式；
（6）a與b的差寫作a-b，要注意字母順序；若只說兩數的差，當分別設兩數為a、b時，則應分類，寫做a-b和b-a .
1.同類項的概念：所含字母相同，並且相同字母的次數也相同的項叫做同類項，幾個常數項也是同類項。(同類項與係數無關，與字母排列的順序也無關)。
2.合併同類項：把多項式中的同類項合併成一項叫做合併同類項。法則：同類項的係數相加，所得結果作為係數，字母和字母的指數不變。不能合併的項單獨作為一項，不可遺漏
3.整式加減實質就是去括弧，合併同類項。
註：去括弧時，如果括弧外的因數是正數，去括弧后原括弧內各項的符號與原來的符號相同；如果括弧外的因數是負數，去括弧后原括弧內各項的符號與原來的符號相反。一般地，幾個整式相加減，如果有括弧就先去括弧，然後再合併同類項。
4.幾個重要的代數式：（m、n表示整數）
（1）a與b的平方差是： a2-b2 ； a與b差的平方是：（a-b）2 ；（本式中2為平方）
（2）若a、b、c是正整數，則兩位整數是： 10a+b ,則三位整數是：100a+10b+c；
（3）若m、n是整數，則被5除商m余n的數是： 5m+n ；偶數是：2n ，奇數是：2n+1；三個連續整數是： n-1、n、n+1；
（4）若b＞0，則正數是:a2+b ，負數是： -a2-b ，非負數是： a2 ，非正數是：-a2 （本式中2為平方）
知識點一 方程的相關概念
等式：表示相等關係的式子。
方程：含有未知數的等式。(方程一定是等式,但等式不一定是方程)。
方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫做方程的解。
解方程：求出使方程左右兩邊都相等的未知數的值的過程叫做解方程。
一元一次方程：只含一個未知數，未知數的次數是1，並且等式兩邊都是整式的方程。
同解方程：兩方程的解相同。
知識點二 等式的性質
等式的性質1：等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等。
即：如果a=b，那麼a±c=b±c。
等式的性質2：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等。
即：如果a=b，那麼ac=bc；如果a=b(c≠0)，那麼a/c=b/c。
1.一般解法：
ⅰ 去分母：兩邊同乘以各分母的最小公倍數；
ⅱ 去括弧；
ⅲ 移項：移項要變號；
ⅳ 合併同類項：把方程化成ax=b(a≠0)的形式；
ⅴ 係數化為1：兩邊同除以未知數的係數, 得到方程的解x=b/a。
2.一元一次方程的應用(重點難點)
列方程解應用題的關鍵是：仔細審題，找出能正確表達題目整體數量關係的一個相等關係，再設未知數，並將這個相等關係用含未知數的式子表示出來。
3.幾種常見問題
a.和差倍分問題：這類問題主要是正確理解是幾倍「增加了幾倍」「增加到幾倍」「多少」「大小」「不足「剩餘」等關鍵詞語的意義。
b.行程相遇問題：三個基本量的關係 路程=速度×時間
(1)兩人在圓形跑道上同時同地背向而行求首次相遇時間:甲的路程+乙的路程=一圈的長度(直線路上兩人面對面行走首次相遇的時間求法與之相同)；
(2)兩人在圓形跑道上同時同地同向而行求首次相遇時間:快人的路程-慢人的路程=一圈的長度。
c.工程任務問題：三個基本量的關係:工作量=工作效率×工作時間
一般情況下，把全部工作量看做1(即100%)，工作效率=1／工作時間(各個量一定要對應,自己的效率乘以自己的時間等於自己的工作量)。合作效率=各個人的效率之和。
d.利潤問題：利潤=售價-成本=成本×利潤率；利潤率=利潤÷成本；實際售價=標價×折扣率。
e.分配問題：例：某車間有22名工人加工生產一種螺栓和螺母，每人每天平均生產螺栓120個或螺母200個，一個螺栓要配兩個螺母(建立等量關係的依據)，應該分配多少名工人生產螺栓，多少名工人生產螺母，才能使每天生產的產品剛好配套？
f.水上航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度。
應用舉例
1.一本書，小明第一天讀了十分之一，第二天讀了10頁，已讀的是未讀的1／4,請問這本書一共有多少頁?
等量關係：已讀的+未讀的=總頁數(或已讀的=總頁數-未讀的，未讀的=總頁數-已讀的)。
2.某服裝七月份下降了10%，八月份上升了10%，則八月份價格與原價比
A.不變 B.增加1%
C.減少9% D.減少1%
注意：不要誤以為不變,百分數的基數不一樣會變化,7月份是在原價基礎上下降10%,8月份是在7月份基礎上上升10%而不再是在原價基礎上上升。
3.甲乙兩人在400米的圓形跑道上跑步,甲每秒跑9米,乙每秒跑7米。
(1)當兩人同時同地背向而行時,經過多少秒后兩人首次相遇?
(2)當兩人同時同地同向而行時,經過多少秒后兩人首次相遇?
分析(1):設經過x秒首次相遇。兩人加起來跑完一圈即400米時首次相遇,所以等量關係式是:甲的路程+乙的路程=一圈的長度400米 甲的路程=甲的速度×時間x 乙的路程=乙的速度×時間x 得到方程:9x+7x=400
(2)設經過x秒首次相遇。同向首次相遇,即快的人多跑一圈與慢的人相遇, 所以等量關係式是:快人的路程-慢人的路程=一圈的長度400米,在這即是甲的路程-乙的路程=400。
4.一項任務,甲獨做需x天,乙獨做需y天,若兩人合作需________天
分析:合作時間=工作量／合作效率 工作量=1 合作效率=甲的效率+乙的效率
甲的效率=工作量／甲的時間=1／x 乙的效率=工作量／乙的時間=1／y
∴合作時間=1／(1／x+1／y)
5.某種商品每件的進價為250元,按標價的9折銷售時,利潤率為15.2%,這種商品每件標價多少元？
分析：設標價x元,等量關係:利潤(求)÷成本(已知250元)= 利潤率(已知15.2%)
利潤=實際售價(標價的9折即90%x)-成本250
∴(90%x-250) ／250=15.2%
知識點一：幾何圖形
1.我們把從實物中抽象出的各種圖形統稱為幾何圖形。
2.有些幾何圖形的各部分不都在同一平面內，它們是立體圖形。如長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、稜柱、稜錐等。
3.有些幾何圖形的各部分都在同一平面內，它們是平面圖形。如線段、角、三角形、長方形、圓等。
4.立體圖形與平面圖形雖然是兩類不同的幾何圖形，但是立體圖形中某些部分是平面圖形，對於一些立體圖形的問題，常把它們轉化為平面圖形來研究和處理。有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形成為相應立體圖形的展開圖。
知識點二 點、線、面、體
1.立體圖形是幾何體，簡稱體；包圍著體的是面，面有平面和曲面；面和面相交的地方形成線，線有直線和曲線；線和線相交的地方是點。
2.幾何圖形都是由點、線、面、體組成，點是構成圖形的基本元素。
知識點三 直線、射線、線段
1.線段：直線上兩個點和它們之間的部分叫線段，這兩個點叫線段的端點。
射線：將線段向一個方向無限延長就形成了射線。
直線：將線段向兩個方向無限延長就形成了直線。
2.點與直線的位置關係
點p在直線a上(或說直線a經過點p)；
點p不在直線a上(或說直線a不經過點p) 。
過一點可畫無數條直線，過兩點有且僅有一條直線。簡述為：兩點確定一條直線。
3.線段的中點：把一線段分成兩相等線段的點。
兩點的所有連線中，線段最短，簡述為：兩點之間，線段最短。
兩點間的距離：連接兩點間的線段的長度。
線段的長短比較：⑴度量法；⑵疊合法
知識點四 角
角：由兩條具有公共端點引出射線組成的圖形(也可看做是由一射線繞端點旋轉而成）。
角的表示：三個大寫字母;一個大寫字母(不混淆情況下方可使用);一個數字;一個希臘字母。
角的要素：頂點和邊，角的大小與邊的長短無關。
角的單位：度,分,秒
①1°的60分之一為1分，記作1′，即1°＝60′
②1′的60分之一為1秒，記作1″，即1′＝60″
角的大小比較：⑴度量法；⑵疊合法。
角平分線：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個等角，這條射線叫角平分線。
餘角和補角：如果兩個角的和等於90°（直角），就說這兩個角互為餘角；如果兩個角的和等於180°（平角），就說這兩個角互為補角。
性質：等角的補角相等；等角的餘角相等。
題型一：作圖題
例1 已知：線段m、n。（如圖）
求作：線段AC，使AC = m - n。
作法：（1）作射線AM；
（2）在射線AM上截取AB = m。
（3）在線段AB上截取BC = n。
則線段AC就是所求作的線段。
題型二：線段的分類考慮
例2 已知線段AB＝8cm，在直線AB上畫線段BC，使它等於3cm，求線段AC的長。
解：本題分兩種情況：
如圖4—4—9所示，當點C在線段AB的延長線上時，
AC＝AB＋BC＝8＋3＝11(crn)；
如圖4—4—10所示，當點C在線段AB上時，
AC=AB－BC＝8—3＝5(cm)．
所以線段AC的長為11 cm或5cm。
例3 經過任意三點中的兩點共可以畫出的直線條數是
A．1或3 B．3 C．2 D．1
解析：這道題要分兩種情況考慮：一是這三點都在一條直線上時，就只能畫出一條直線；二是這三點不在同一條直線上時，此時共可以畫出三條直線． 答案：A
題型三： 兩角互補、互余定義及其性質的應用
例4 一個角的補角是這個角的4倍，求這個角的度數
解：設這個角是x°，則它的補角是(180－x)°。
由題意，得180－x＝4 x，解得x＝36．所以這個角是36°。
點撥 本題主要考查補角定義的應用，數學中利用方程、轉化思想，可將「形」的問題轉化為「數」的問題研究，從而簡捷解決問題。
例5 如果一個角的補角是120°，那麼這個角的餘角是
A．30° B．60° C．90° D．150°
解析：本題是對餘角、補角的綜合考查，先根據這個角的補角是120°，求出這個角是60°，再求出它的餘角是30°。 答案：A
例6 根據補角的定義和餘角的定義可知，10°的角的補角是170°，餘角是80°；15°的角的補角是165°，餘角是75°；32°的角的補角是148°，餘角是58°．…. 觀察以上各組數據，你能得出怎樣的結論?請用任意角α代替題中的10°、15°、32°的角來說明你的結論。
解：結論為：一個角的補角比這個角的餘角大90°。
說明：設任意角是α(0＜α＜90°)，α的補角是180°－α，α的餘角是90°－α，
則 (180°－α)－(90°－α)＝90°。
題型四 角的有關運算
例7 如圖4—4—3所示，AB和CD都是直線，∠AOE＝90°，∠3°=∠FOD，∠1＝27°20′，求∠2、∠3的度數。
解：因為∠AOE＝90°，
所以∠2＝90°－∠1＝90°－27°20′＝62°40′．
又因為∠AOD＝180°－∠1＝152°40′，∠3＝∠FOD，
所以∠3＝∠AOD＝76°20′．
所以上2＝62°40′，∠3＝76°20′．
例8 如圖4—4—4所示，OB、OC是∠AOD內任意兩條射線，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝α，∠BOC=β，用α、β表示∠AOD。
解：因為∠MON＝α，∠BOC=β，
所以∠BOM＋∠CON＝∠MON－∠BOC=α－β
又OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
所以∠AOB＋∠COD＝2∠BOM＋2∠CON=2(∠BOM＋∠CON)＝2(α－β)，
所以∠AOD＝∠AOB＋∠COD＋∠BOC＝2(α－β)＋β=2α－β.
例9 (1)用度、分、秒表示54．12°
(2)32°44′24″等於多少度?
(3)計算：133°22′43″÷3
解：(1)因為0．12°＝60′×0．12=7．2′，0.2′=60″×0．2=12″，
所以54．12°=54°7′12″．
(2)因為24″=′×24＝0．4′，44．4′=°×44．4=0．74°，
所以32°44′24″=32.74°．
(3)133°22′43″÷3＝(132°＋82′)÷3＋43″÷3=44°＋82′÷3＋43″÷3
＝44°＋(81′＋1′)÷3＋43″÷3=44°＋27′＋1′÷3＋43″÷3
=44°＋27′＋103″÷3≈44°＋27′＋3″=44°27′3″。
題型五 鐘錶的時針與分針夾角問題
例10 15：25時鐘面上時針和分針所構成的角是__度
解析：起始時刻定為15：00(下午3點整時，時針和分針構成的角是90°)，終止時刻為15：25，從圖4—4—5中可以看出分針從12轉到5用了25分鐘，轉了6°×25＝150°，時針轉了0.5°×25＝12.5°，所以15：25時鐘面時針和分針所構成的角為150°－90°－ 12.5°＝47.5°
答案：47.5
例11 從3時到6時，鐘錶的時針旋轉角的度數是
A．30° B．60° C．90° D．120°
考點突破：此類題是近幾年中考中的熱點問題，考查形式為選擇題或填空題．解決此類問題需明確：在鐘錶上，1分鐘分針走6°，1小時時針走30°。
題型六：方位角
例12 如圖4—4—24所示，一隻螞蟻從O點出發，沿北偏東30°方向爬行2.5 cm，碰到障礙物B后，又沿西北方向爬行3 cm到達C處。
(1)畫出螞蟻爬行的路線；
(2)求∠OBC的度數；
(3)測出線段OC的長度(精確到0.1 cm)．
解：(1)螞蟻爬行的路線如圖4—4—25所示
(2)因為螞蟻從O點出發沿北偏東30°方向爬行2.5 cm到達B處，即∠OBD＝30°，則∠ABO＝60°．
又因為螞蟻到達B處后又沿西北方向爬行了3 cm，即∠ABC＝45°．
所以∠OBC＝∠ABO＋∠ABC＝60°＋45°＝105°．
(3)用刻度尺測量OC的長約為4.4 cm．
題型七 摺疊問題
例12 如圖，長方形紙片ABCD，點E、F分別在邊AB、CD上，連接EF．將∠BEF對摺，點B落在直線EF上的點B'處，得摺痕EM；將∠AEF對摺，點A落在直線EF上的點A'處，得摺痕EN，求∠NEM的度數．
解：EN平分∠AEA『,所以 ∠AEN=∠A』EN
同理,EM平分∠BEB『,所以 ∠BEM=∠B』EM
因為：∠AEN+∠A』EN+∠BEM+∠B』EM=180度
所以：∠A』EN+∠B』EM=90度
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