【經典回顧】 馬克思與數學

卡爾-埃里希·福爾格拉夫（Dr.sc Vollgraf, Carl-Erich Hans），德國《馬克思恩格斯全集》歷史考證版（MEGA②）編輯研究專家、MEGA②第二部分負責人。原文為2015年9月28日福爾格拉夫博士在中央編譯局馬列部舉辦的第5期馬列著作編譯論壇上所做的學術報告「Marx und die Mathematik」。翻譯：張鳳鳳（中央編譯局馬列部編譯三處一級翻譯），周思成（中央編譯局馬列部編譯一處編輯）；校對：徐洋（中央編譯局馬列部副主任），朱毅（中央編譯局馬列部編譯三處處長）。

摘要：學界通常認為，馬克思

對數學的研究，只是他在政治經濟學研究之外的「業餘消遣」。然而，通過對《馬克思恩格斯全集》歷史考證版第Ⅱ部分新發表的馬克思經濟學手稿、數學手稿和馬恩書信進行仔細分析后發現，馬克思自19世紀60年代以來就致力於將數學運用於經濟學研究，目的是要通過數學方法找出普遍適用的經濟學規律，並對自己的系列經濟學概念，包括價值、剩餘價值、利潤和平均利潤等等進行邏輯推導。馬克思是出於經濟學目的而從事數學研究的。

關鍵詞：馬克思；數學；經濟學手稿；MEGA2

在本文中，我要探討1857到1882年間馬克思對數學問題，尤其是高等代數學的集中研究，以及這一研究對馬克思經濟學說產生的影響。

通過這場講座，我希望向各位證明，這裡所討論的主題對於馬克思《資本論》的創作過程而言具有極為重要的意義。不過，我是不是引起了過高的期待，或者把話說的太滿了呢？馬克思從經濟學角度研究數學，這在MEGA第二部分15卷中的14卷里，不論是在引言，還是在文本歷史，亦或是在名目索引中，都沒有得到反映，這畢竟是一個無法忽視的事實。在某些經濟學卷次中，如在第二部分4.1卷以及第3卷——這一卷在這裡正由馬列部翻譯成中文，在其中有大量重要的數學內容——中，編輯者甚至說明，在編輯完成的文本中，不會用文字表述代替數學符號，而是原樣保留。在這些卷次的編輯說明中，對最簡單的數學計算符號進行了解釋，例如+，-，>，<，而這些符號對於每一位讀者而言，都是早從學生時代就熟悉的。

只有在最近出版的第二部分卷次4.2（2012年）中，情況發生了變化。在這一卷中，編輯者指出了，本捲髮表的文本提供了重要的線索，證明馬克思是出於經濟學目的而從事數學研究，並且，馬克思已經著手將他的核心觀點通過數學加以表述。

馬克思本人很少向我們揭示他進行數學研究的具體意圖。只有一次，也就是在1858年，馬克思指出，這和他在《政治經濟學批判大綱》中的經濟學理論有關，他給恩格斯寫信說：

「（我）在制定政治經濟學原理時……，把代數迅速地溫習一遍。」

而在後來寫給恩格斯的其他書信中，馬克思一再提到，有那麼幾天，幾星期甚至好幾個月的時間，馬克思無法全身心地投入經濟學寫作，他就把這些時間用來研究微分學。數學是馬克思業餘消遣，打發時間的一種方式么？馬克思的女婿，保爾·拉法格在1891年也回憶說，馬克思有「一種獨特的方式」來忘記病痛和煩惱，那就是微積分。

然而，馬克思在1857至1881年間創作的經濟學文本——其中很大一部分是在MEGA2中首次發表——所傳達的卻是另外一種信息。這些文本告訴我們，馬克思當時顯然是打算將數學運用於經濟學，不過不是簡單的代數運算（馬克思不會從事簡單的運算），而是要在這些經濟學數值之間找出普遍適用的規律，如果可能的話還打算用來精確計算動態的經濟學數值，以及對經濟學概念（價值—剩餘價值—利潤—平均利潤）進行邏輯推導（轉化）——這對於馬克思來說也相當重要。因為馬克思總是注意自然科學和社會科學的統一性，在這兩個學科之間確立一種合理的，因而也是經得起推敲的研究方法上的類比，對馬克思而言應該是一大成就。與馬克思的《大綱》相關的研究成果包括一系列闡述剩餘價值（S）、生產階段（p）、年生產時間（Z）、流通時間（c）和周轉次數（q´）之間關係的公式。馬克思在這裡研究的是價值和剩餘價值的最大限額的數學問題。馬克思在闡述各個量之間的關係（比如必要勞動和剩餘勞動之間的關係、生產時間和流通時間之間的關係）時一再利用未知數x和y。馬克思在《政治經濟學批判大綱》中認為，資本預付和資本迴流的關係

「應該用一個簡單的等式來解決，這一點我們以後再談。其實這個問題並不屬於這裡研究的範圍。但是從以後要談的信用問題來看，這個問題是很重要的。」

1862年10—11月，馬克思在1861—1863年經濟學手稿的第ⅩⅤ筆記本中寫下了他對高數的期望：

「資本不是簡單的數字。它不是簡單的商品，而是自乘的商品；不是簡單的量，而是量的比例。它是作為本金、作為既定的價值同作為剩餘價值的它自己的比例。C的價值（按一年計算）等於C[1+(1/x)]或C+(C/x)。正像用簡單的計算方法不可能理解或推算出ax = n等式中的x一樣，也無法理解或推算出自乘的商品，自乘的貨幣，資本。」

今天在座的各位《資本論》專家都了解，馬克思在勞動中也發現了一種自乘的關係：複雜勞動是簡單勞動的自乘。如果諸位熟悉數學，從上述引文中就可以看出，馬克思實際提到了應用數學函數等式的可能性。兩個數值都是變數，但其中的一個由另一個決定，即y=f（x）。

1862-63年間，馬克思翻閱了倫敦大英博物館里的數學文獻，在工作室或者其他空閑地方，他擺上了一摞代數學教科書，並在這些書里留下了清晰的閱讀痕迹，包括許多旁註、對整個句子劃線或者在定理下劃線，他對其中一些做了摘錄，並在經濟學草稿中引用了這些摘錄，只是很少註明出處。他對那些作者和書名並不感興趣，而是關注邏輯鏈條或者說精確的計算路徑。因此，他利用的是在大學中常見的教材，而不是專業論文。（我提醒大家回憶一下，我在《危機筆記》的摘錄中就此說過的觀點：馬克思對作者和報紙均不感興趣，他關注的是事實和人們處理這些事實的方式。馬克思已經認識到，他必須研究這些領域，他也願意這樣做）。例如，1863年1—2月，在1861—1863年經濟學手稿的第ⅩⅩ筆記本中，馬克思援引法國數學家路易 • 本傑明·弗朗克爾：

「資本（Ｃ）最初等於ｃ（不變資本）＋ｖ（可變資本）。

產品Ｐ或Ｃ′，即已實現的資本（因為資本只有成為增殖的價值，成為原價值加上剩餘價值時才實現），等於不變資本、可變資本加剩餘價值，後者等於Ｘ。因此，我們得出下列方程式：

（１）Ｃ＝ｃ＋ｖ。

（２）Ｃ′或Ｐ＝ｃ＋（ｖ＋ｘ）。

如果在第二個方程式中，我們假設ｘ＝０，那麼，Ｃ′或Ｐ＝ｃ＋ｖ，即等於Ｃ。這就是說，在這種場合，產品的價值與原有資本的價值沒有區別；因此，資本沒有實現為資本。

如果我們列一個方程式ｙ＝ｆ（ｘ），這裡ｆ是ｘ的函數，而且ｘ變為ｘ＋ｈ，那麼，從ｙ＝ｆ（ｘ）可以得出Ｙ＝ｆ（ｘ＋ｈ）。「很明顯，如果Ｙ＝ｆ（ｘ＋ｈ），ｈ等於零，那麼，Ｙ就變成ｙ。」（弗朗克爾《微分學》）」

馬克思論證時多次用到英國物理學家伊薩克·牛頓的流數術（即函數計算和微積分），卻沒有提到牛頓。在馬克思寫於1863年的第六章《直接生產過程的結果》（第一冊第Ⅰ稿）中，就有這樣一處具有重要的方法論意義的文本，而它在1866-67年間沒有被《資本論》第一卷的付排稿採用：

某個價值額「所以變成資本，是由於它的量會增大，由於它會轉化為一個變動的量，由於它從一開始就是一個會產生流數的流動量。[……]無論怎樣達到這一點，這種x轉化為x＋Δx的實際程序決不會使這個過程的目的和結果發生任何改變。當然，即使沒有資本主義生產過程，x也可以轉化為x＋Δx[……]x轉化為x＋Δx的過程的這個目的，表明了研究必須經歷的途徑。這個式子必須是變數的函數，或者在過程中轉化為變數的函數。[……]而問題就在於找出這個組成部分，同時指出通過什麼中介過程使原來的常量變為變數。」

在馬克思1865年春寫的第二冊第Ⅰ稿中也有一處與此類似的文字：

「在『100塔勒資本和10塔勒剩餘價值』這種說法中，這110塔勒表現為本身有差別的、內容不同的、表示資本主義關係的價值額，表現為100塔勒同作為資本的本身的關係，因為這是對10塔勒，即對從資本分出來的增長額的關係；在這種說法中，使100塔勒成為10塔勒的生產者的（生產過程的）媒介被消除了，完全被揚棄了。它僅僅還以這樣的形式存在：100塔勒是基本額，10塔勒是它的增長額，它的補充額，派生額。……10塔勒同樣地既可以構成總額的110，也可以構成預付資本總額的110。把最初額減掉，不管怎樣的10塔勒都形成增長額，這增長額本身與流動量並無不同。完全像在積分學中一樣，只要dx，dy不再起作用，並且一個數中的過程停下來，dx，dy作為增量就會消失。」

1863年1月，馬克思在1861—1863年經濟學手稿第ⅩⅧ筆記本中分析了安東·埃利澤·舍爾比利埃。1840年，這位瑞士經濟學家和李嘉圖主義者在他的著作《富或貧》中用代數方法研究了總產品（P，三個生產者分別是P、P´和P´´）、使用的資本（C）、實際消費的資本（c，三個生產者分別是c、c´和c´´）、利潤（π）、利潤對資本的關係（r）之間的比例，以及這些比例對價格的影響。這種闡述方式在當時很少見，也不為人所理解。因此，馬克思指責舍爾比利埃的認識目的和敘述方式非常不歷史：

「他提出的利潤率的公式，或者說是用數學來表示通常所理解的利潤，本身並不包含任何規律；或者說甚至是絕對錯誤的，儘管他對這個事物有某種模糊的概念，接近於對它的了解。」

然而，馬克思在此也清楚地表明了他自己的標準，以及他是如何看待為什麼要在經濟學中應用數學這一問題的：重要的不是把此前以文字加以表述的經濟關係轉換為公式，馬克思在信中認為這是同義反覆，多此一舉。重要的是在精確公式的輔助下，找出經濟領域中的具有規律性的關係。這樣，有了公式的極大助益，人們就能在最小的空間上審視和討論這個領域。這一點並不是什麼新東西。早在1826年，德國經濟學家約翰·亨利希·杜能就已經確信，「代數計算」一旦應用於研究對象，便能夠發現普遍的規律。

1861年，馬克思相信，自己在「數學上」毫無疑問是正確的。在馬克思1861年底寫《政治經濟學批判》第Ⅲ筆記本中，在「2. 絕對剩餘價值」的標題下，他加了這樣一個評註：

「從嚴謹的數學的角度來看，這裡闡述的觀點也是正確的。因而，用微分計算，假設ｙ＝ｆ（ｘ）＋Ｃ，其中Ｃ是不變數。ｘ變為ｘ＋△ｘ，不會改變Ｃ的值。因為不變數不發生變化，所以ｄＣ＝0。可見，不變數的微分是0。」

從1863年1月起，馬克思還研究了英國數學家和力學家是怎樣區分工具和機器的，他們在何種程度上——他認為是在數學上是合理的——將機器理解為自乘的工具，但是，他批評說，這些數學家對於其質的和歷史-經濟語境有失考慮。後來，在《資本論》第一卷中，他又強調並大大擴充了這一論證。

1863年夏，馬克思鼓勵恩格斯像他一樣研究微積分：

「我認為這對你的軍事研究幾乎是不可或缺的」，不過這個建議對於恩格斯來說是多餘的。在座各位如果從事過恩格斯論軍事戰略和軍事技術的文章的翻譯，就會了解，恩格斯非常重視在這些領域應用數學。他多次稱讚法國炮兵的「思維縝密」和「數學天才」，他們「鮮明的語言」和「科學的方法」。很可能恩格斯將著名的德國數學家歐拉視為榜樣，歐拉的數學著作在海陸軍中得到了廣泛的應用。

1864年6月，馬克思在信中主動向恩格斯解釋了微分學的基本觀點。在另一封信中，他又向自己的親戚萊昂·菲力浦斯說明了人類是怎樣從點數走向數字的，對於進入交換的產品的價值估算和貨幣的產生來說，這是一個不可謂不重要的歷史過程。他在這兩封信中都沒有說明他的數學知識出自何處。

1861—1863年經濟學手稿筆記本的多個封面上都寫有幾何學和三角學的演算。可惜，MEGA2第二部分第3卷（第1-6分冊）中，這些數學演算只是在標記描述中才被提到。馬克思對英國經濟學家和著名的李嘉圖批評者賽米爾·貝利的批判，顯示這些演算可能跟對「價值實體」的經濟學闡述有關。在第ⅩⅤ筆記本上，他說，如果幾何學，像這位著名的李嘉圖批判者在談到商品A和B等同時那樣只滿足於說，三角形表現在平行四邊形上，平行四邊形表現在三角形上，那幾何學就不可能再前進一步了。馬克思跟物理學家牛頓一樣，談論的是使事物可以相互比較的本質上的同一。在1864年的札記本中也有幾頁幾何和三角學的演算——而且挨著單調數列、簡單代數微分、高次冪二項式以及有關資本價值構成的公式、計算和有關資本有機構成改變時利潤率的公式、計算。

對此，我想強調的是，我們對馬克思寫下這些數學論證的地方給予了比此前大得多的關注，在MEGA中這一點備受忽視。這種地方不僅表明了時間上的聯繫，而且也顯示出了思路上的關聯，相似性和啟發，等等。馬克思本大可不必將自己對數學的思考寫在1861-63年手稿筆記本的封面或者空白頁上。他本來可以用散頁來寫，然後把它們歸入更早的數學闡述。但馬克思顯然希望在數學論證和經濟學手稿之間留下「有形的聯繫」，在這裡是和1861-63年手稿，在別處則是與1868年或者更晚一些的手稿。馬克思希望，自己在以後利用這些手稿時也能重溫他此前寫下這些數學論證的意圖。

1864年5月，馬克思借給恩格斯一本前面提到過的弗朗克爾的《純數學完全教程》。幾天後，恩格斯在一封信中評價了馬克思對這本沒有流傳下來的書的旁註。由恩格斯的評論，我們得知：馬克思只研究過這本書中的代數部分。而這一次，是恩格斯建議馬克思繼續研究代數學並且將之應用到經濟學闡述中去，在恩格斯看來，馬克思不應該再停留在這種「非常令人討厭的」、還有許多錯誤的計算上：

「不管怎樣好地利用數字例題來說明，我總覺得這裡僅限於用數字，不如用a＋ｂ作簡單的代數說明來得清楚，這是因為用一般的代數式子更為簡單明了，而這裡不用一般的代數式子也是不行的。」

馬克思對數學的研究還反映在他的政治評論上。他喜歡在演說或文章中使用和數學相關的習語（例如，「具有數學精確性」，「在數學上完全準確」，「正如數學家所說的」，等等）。1861年，他在對美國內戰的評論中，將英國報紙反對北方各州的貧乏論據比作「數學級數的公式」，「在一定的差距上重複著，很少有變異或組合的技巧」。不過，在馬克思那裡還有一些更加特別的言論，例如我在關於「六冊計劃」的講座中提到的：馬克思打算在必要時設第一分冊的稿酬的最小值為0。

1866年，馬克思認為自己已經非常熟悉數學領域，可以做出這樣的評價：雖然法國哲學家奧古斯特·孔德作為數學家要比黑格爾強，但是從更高的角度看，黑格爾超越了他。恩格斯也非常相信馬克思的數學造詣，一年前，恩格斯就曾對德國社會批判哲學家弗里德里希·阿爾伯特·朗格（此人我在關於「新陳代謝」一講中提到過）說，馬克思精通數學和哲學，他可能是唯一能夠出版黑格爾數學研究手稿的人。

我們在《資本論》第一卷第一版中也能夠找到馬克思研究微分學的線索。牛頓的「增加值」（增長額）這一重要概念，甚至在剩餘價值理論中佔據中心地位；轉化為勞動力的資本被看作決定性的「流動量」：

「v + m = v + Δv(v加v的增長額)」。

馬克思在第3章中提出了計算剩餘價值率的一個公式，但是，他對這一表述還不太滿意，所以，在第5章他又回到了這一問題，在那裡提出了「剩餘價值率的各種公式」。他認為，這些公式在「概念上是嚴格的」，因為它們抓住了本源的關係。事實上，即便這些公式還「不是有意識地制定的」，類似的東西在古典政治經濟學家那裡就已經存在了。但是，在他們那裡，這些「派生的公式」，因而也是不夠嚴謹的公式，會導致錯誤的結論。在馬克思1863年寫的1861-63年經濟學手稿的第ⅩⅩ筆記本上，馬克思已經提出了核心的論證。在這裡，我們可以找到馬克思後來在70年代廣泛研究函數和導函數概念的根源。在這兩處文本，即在《資本論》和1861-63年手稿中，馬克思都將剩餘勞動在數學上表述為必要勞動的一個函數。

無論如何，馬克思感到他的著作中的好多地方都可以與數學相類比，比如在談到虛擬值的後面隱藏著真實的關係時，談到同一術語表示不同的含義時，以及談到中介的層面時：

「要解決這個表面上的矛盾，還需要許多中項，就像從初等代數的角度來看，要了解 （0/0）可以代表一個真實的量需要很多中項一樣。」

馬克思在《資本論》第1卷論述資本積累的一般規律的導言中，馬克思指出，「執行職能的資本」每年都獲得一個「增值額」。在這裡馬克思已經在考慮，如何在數學上表述，在一定年份后單個資本只是由積累的剩餘價值組成。

但在生產的巨流中，全部原預付資本，與直接積累的資本即重新轉化為資本……的剩餘價值或剩餘產品比較起來，總是一個近於消失的量（數學意義上的無限小的量）。

在接下來的1867—1868年的第二、三冊手稿中，「執行職能的資本」（funktionierendes Kapital）這一概念頻繁出現。從語源學上看，這個詞來源於數學，馬克思指的是每個單位時間內實際在增殖的資本，也就是說部分預付固定資本——這部分比如說每年完成價值轉移，和預付可變資本——這部分資本每年創造了新價值。「執行職能的資本」在價值上說明了從「真實的」成本價格到「資本主義的」成本價格的過程（c + v → c + v + m或者f → f´）。馬克思的這一闡述方式在概念上是新的大膽嘗試。但是與早先的論述產生了矛盾。「執行職能的資本」這個帶有企業經濟學性質的術語，與「發揮作用的資本」（fungierendes Kapital）和「執行職能的資本家」（funktionierender Kapitalist）這一對社會學概念不一致，而這對概念在1864—1865年第三冊「主要手稿」中決定著馬克思有關社會關係物化和顛倒的理念。這一概念還與作為商品資本、生產資本或貨幣資本「發揮職能」的資本不協調。在馬克思的論述中出現了概念上的不一致，這是應該加以消除的。

跟前面的手稿一樣，在第一卷第一版中也反覆談到生產過程中的準確的數學值和數學比例，甚至談到了「比例數或比例的鐵的規律」。馬克思在關於相對剩餘價值的生產一章中寫道：

「因此，工場手工業的分工不僅使社會總體工人的不同質的器官簡單化和多樣化，而且也為這些器官的數量大小，即為從事每種專門職能的工人小組的相對人數或相對量，創立了數學上固定的比例。工場手工業的分工在發展社會勞動過程的質的組成的同時，也發展了它的量的規則和比例性。」

從對勞動有機構成的考察到對資本有機構成的闡述並不需要邁太大的步子，只要藉助於線性方程組即可。

1868年1月初，馬克思向恩格斯饒有興緻地說起《資本論》第一卷的「嶄新的因素」，他提到，在將工資描述為隱藏在它後面的一種關係的不合理的表現形式時，「在高等數學中常常可以找到這樣的公式」。馬克思再次尋求與數學的類比。數周后，他反駁了恩格斯對循環公式W-G-W´的質疑：「人們要求新東西——形式和內容都新。」而資產階級競爭者的類似的努力卻受到馬克思的貶低：1868年3月6日，他罵蘇格蘭經濟學家亨利·鄧寧·麥克勞德是「一個目中無人的蠢驢，他把每一個陳腐的同義反覆一是套上代數式，二是用幾何圖形畫出來。」

對於上面提到的德國經濟學家馮·杜能，馬克思的態度則要謹慎和感興趣得多。馬克思認為，他藉助於微分學、會計學和實驗觀察來找出他的封閉的城市—農村模型的最優化利潤的做法是「可敬的，同時也是可笑的」。他知道，他們兩人存在關鍵的分歧，杜能支持社會公平，但是與社會主義保持距離。在讀了《孤立國》之後，馬克思也了解到，他們在一些關鍵問題上又是一致的，尤其是為找出在經濟比例、收益和分配方面普遍有效的規律而採用的孤立抽象的科學方法。杜能

「自己就明確地拿這種『在其他條件相同的情況下』的部分分析法與（部分）微分的數學方法——他也經常使用這種方法——相類比」。

這種做法給馬克思留下的印象，是否比他自己承認的還要深刻許多？幾年後，杜能的遺著管理者海爾曼·舒馬赫在給馬克思寄了《孤立國》第三版之後又給他寄了自己的書《約翰·亨利希·馮·杜能。研究者的一生》，對此馬克思回信表示感謝。

但是，在1872年《資本論》第一卷第二版時出版時，似乎發生了一些值得注意的事情。早在1868年到1870年間，馬克思就把早期手稿中的一些「數學」段落，從為第二冊撰寫的第一總手稿中剔除出去（第二稿，參見MEGA2）。在出版第一卷第二版之際，馬克思又對一些「數學」段落進行了修訂。首先，他在解釋為什麼在講剩餘價值率時將不變資本設為零並運用一條「數學上的定律」時，刪掉了對微分和英國數學家亨德的援引。他不再認可以前那種（在我看來也是相當令人驚訝的）評註：在殖民地國家，勞動需求與供應規律失效「就像泰勒的公式在微分計算中的一種情況」。如果不了解英國數學家泰勒（1685-1731年）在數學史上的地位，就看不懂這個比喻。馬克思把它刪掉了。由此他也就在《資本論》中刪掉了唯一能夠證明他在1878年以前很早就研究了泰勒的級數的線索。馬克思在第二版中還刪掉了一處與經濟學和數學中虛擬的量相關的同邏輯學的「無限判斷」進行的類比。此外，他還將「偏離或數學上所謂的『誤差』」改寫為「數學上叫做『誤差』的偏離」。這裡說是近似值與精確值之間的關係。很可能馬克思在出版第二版時也曾經考慮，上面提到過的關於剩餘價值率公式的重複論述是否不應該都收入第二版。他最後維持了原樣。

《資本論》第一卷第二版出版之前發生了什麼？是有人鼓勵馬克思進行這種顯然是系統的修改和刪除呢，比如可能是他那位精通數學的朋友賽米爾·穆爾，也有可能是弗里德里希·阿爾伯特·朗格，馬克思有朗格的著作《約翰·斯圖亞特·穆勒對於社會問題的看法以及社會科學經由凱里實現的所謂變革》杜伊斯堡1865年版，並在1868年讀過這部書。在這部書中，朗格對凱里提出了合理的批評：認為「一切科學是統一的」的觀點導致這位著名的美國社會學家「經常濫用毫無意義的類比」（第162頁）。馬克思很可能認為，這一批評也是針對他自己的。或者馬克思是不是自己在這期間發現他以前嘗試用過而且喜歡用的那些高等數學的比喻很難理解，只具有「借來的說服力」呢？恩格斯在《反杜林論》中對這類比喻做了恰當的質疑——儘管這並不是針對馬克思和他本人的：

「僅僅知道大麥植株和微積分屬於否定的否定，既不能把大麥種好，也不能進行微分和積分」 。

為了解釋馬克思出版第一卷第二版時的這些做法，2014年，我在阿姆斯特丹的馬克思恩格斯檔案館中研究了他的數學遺稿。可以說，我為澄清這個謎團邁出了關鍵的一步。事實是，馬克思早在1870到1871年間，也就是在他1870年年中中斷了第二冊第Ⅱ稿的寫作之後，就啟用了4冊代數學的研究筆記，而人們此前認為，這些筆記本寫於1878年以及更晚的時期。一方面，他顯然並且正確地對《資本論》手稿中眾多的數學表述感到不滿意，例如，對剩餘價值的推導。我們已經看到，馬克思總是希望，這一闡述在數學上要比李嘉圖完成得更好。馬克思不會對第Ⅱ稿中對再生產圖示的晦澀的文字表述感到滿意。另一方面，杜能和拉德納——後者是一位愛爾蘭的博學學者，在第二冊第Ⅱ稿論述固定資本折舊方面起到了重要的影響——在將數學應用於經濟學方面取得的更大的成功，激勵了馬克思。總之，《資本論》第一卷第二版的這些刪改，很有可能是馬克思這一系列數學研究產生的重要而合理的結果。

關於馬克思的代數學筆記本本身，我在這裡只想做出如下內容說明：這些手稿涉及的主要是一位經濟學家，當他打算說明經濟數值的極限、最大值和最小值比例、變化和組合時，他所需要的數學知識。我想再次強調這些筆記本中關於函數和導函數的概念的大量闡述。除了馬克思力求從數學上證明他的論述確實是嚴謹的之外，他那個時代的數學家也在探究數學的科學 「嚴謹性」，而像約翰·斯圖亞特·穆勒這樣的著名社會學家則要求證明數學的「嚴謹性」，這一事實或許也起到了某種作用。馬克思在1870-1871年間，並不是淺嘗輒止地涉獵代數學的領域。馬克思早期對數學的自負（例如，在1858年他說：「代數迅速地溫習一遍」）最終化為了謙虛。至於說馬克思將數學研究作為消遣（拉法格的這一說法今天還廣為流傳），則是無稽之談。

由於馬克思《資本論》第一卷第二版中刪去了一些重要的段落，或者說，在1868至1870年間沒有將以前文稿中的那些「數學」段落吸收進第二冊第Ⅱ稿中，所以他就抹去了他在19世紀60年代從經濟學角度研究數學問題的重要痕迹。當恩格斯在馬克思逝世后再版《資本論》第一卷、編輯第二冊和第三冊時，他就已經無法看到和利用這類痕迹。而恩格斯再版和編輯的《資本論》一、二、三卷又是俄文版和德文版全集第23至25卷的基礎，從而也構成讀者理解接受的文本基礎。在MEGA於1983年出版了資本論第一卷第一版之後，英國數學家泰勒的名字才在1867年的120年後，再度和《資本論》一同被提起。

馬克思為完成《資本論》第二冊的最終稿本而努力的同時，從1878年起，開始比以前更加深入地研究數學。之前，馬克思闡述了幾十年的經濟學的比例關係，經常用算術和幾何級數來比喻相互依存的社會經濟值的不同發展，並且完成了對超額利潤和平均利潤的論述，現在他關心的是這些關係的數學基礎。俄國科學家柯瓦列夫斯基在1876—1878年間幾乎每周都拜訪馬克思，到莫斯科工作之後仍在暑期定期拜訪，他在1909年回憶說，馬克思重新

「研究數學、微分和積分，以便自覺地對付當時政治經濟學中剛出現的數學派。這個學派的領袖……在馬克思的時代是傑文斯。」

以前，在馬克思主義的解釋中，柯瓦列夫斯基對資產階級新古典主義者和英國經濟學家威廉·斯坦利·傑文斯的提法被認為是不適當的。人們認為，這兩種科學流派是完全針鋒相對的。而現在，我們能夠而且必須將這位俄國歷史學家和社會學家看作一位可以嚴肅採信的證人了。不僅越來越多的關於馬克思研究傑文斯的事實材料浮出水面；這是必然的，因為傑文斯視價值為無用物畢竟針對的是馬克思經濟學理論的要害。對杜能的持續研究也可能促使馬克思豐富其數學基本知識，尤其是微分學方面的知識。他在19世紀70年代比以往任何時候都要深入地研究分裂為若干生產部門的農業的產量潛力，從而研究了級差地租的各種可能性，這一點我已經在關於新陳代謝的講座中作了證明。

馬克思在以前的闡述上添加新的闡述，在他之前的19世紀60年代的摘錄上又新增加了比如薩奧利的摘錄。除了大量的筆記本之外，他還積累了「零散的、大多完全無序的紙張」，至少「865頁寫滿小字的四分之一大張稿紙」。1881年，他將謄寫工整的兩篇文章寄給恩格斯評估；其中一篇涉及導函數的概念。他知道，恩格斯在關於《自然辯證法》的研究中也研究了諸如微分學的歷史地位此類的數學問題。恩格斯對馬克思的闡述大加讚許，馬克思非常高興（插入一句評論：恩格斯還能有什麼別的反應么？比如，他更願意看到《資本論》的創作有決定性的進展？），馬克思卻粗暴地回應了穆爾對他數學研究的用處的疑問：關於應用他還隻字未曾提到。馬克思的這個回答究竟是什麼意思，在接下來的編輯工作中，我會努力尋找答案。

馬克思去世后，恩格斯稱讚馬克思向他展示的數學文稿有很重要的學術價值。甚至在數學領域，「精通代數」的馬克思也有獨到的發現。1885年，在《反杜林論》第二版的序言中，恩格斯曾提到要發表這些「極其重要的」論述。在此之前，1884年，拉法格就在《經濟學家雜誌》上與保爾·勒魯瓦-博利厄就馬克思的剩餘價值理論進行爭論時，就曾宣布馬克思關於微積分的著作將在一部馬克思全集中發表。這一消息顯然來自恩格斯，他在爭論中支持拉法格。

但是，當恩格斯從1885年起開始編輯《資本論》第三卷時，他對待第三冊手稿中的「數學」段落卻很克制。由於要選擇「最成熟」的文本，恩格斯沒有考慮馬克思在1867—1868年寫的關於資本的價值構成、剩餘價值率和利潤率之間的關係的數學手稿，這些手稿在很多方面值得關注，但是他認為後來的一份寫於1875年的手稿超越了這些手稿。恩格斯將後來的這份手稿命名為「用數學方法說明剩餘價值率與利潤率」，請穆爾做了評估並將穆爾寫的摘要和評估用於第三卷第三章。關於馬克思在第三冊第Ⅰ稿中對剩餘價值和利潤率之間的差數的詳細計算，他僅在一個注中指出。剩餘價值和利潤率的運動還可以用曲線來表示，恩格斯這麼說，就令喜歡數學的讀者對馬克思的遺著產生了興趣。

恩格斯曾宣稱有可能出版馬克思重要的數學著作，他去世后，這一說法給以愛德華·伯恩施坦為中心的社會民主黨遺著管理者帶來了壓力。他們沒有找到1881年馬克思向恩格斯展示的，恩格斯也提到過的那些關於微分學的少量文本，只能通過1894年出版的《資本論》第3捲來評判恩格斯的稱讚。正如我們已經知道的，這一評判的結果是極其糟糕的，我在這裡只提到德國統計學家拉迪斯勞斯·馮·鮑特凱維茲，在這方面，他在眾多的批評家中是最為專業的：

「作者一點也不熟悉數學的思維方法」，「他完全缺乏對於更複雜一些的數值關係的理解」，「缺乏數學能力」。

鑒於這一困難的形勢，直到20世紀20年代，社會民主黨遺著管理者們要求由多位數學家和物理學家共同對這些「數學手稿」進行鑒定。這些評估與恩格斯的說法相悖，人們更傾向於認為，這些手稿是「學生的作業」（雷奧· 阿龍斯，德國物理學家），有的用客套話說「從科學史方面來說很有意思」（阿爾伯特·愛因斯坦，德國物理學家，相對論的創始人）。這種不利的反響促使莫斯科馬恩研究院的院長達維德·梁贊諾夫在20世紀20年代末決定，暫時不出版馬克思的數學手稿而是將之放進保險箱。而此前，德國統計學家埃米爾·龔貝爾受梁贊諾夫的委託，已將其中部分手稿準備就緒可以發表了，他與鮑特凱維茲和英國著名哲學家和數學家伯特蘭·羅素關係很好，帶著愛因斯坦的推薦信來到了莫斯科。1931年，在那場臭名昭著的意識形態清洗運動中，這些文稿被在保險箱中發現，據說是在研究院一位愛國的同事的指點下找到的。當時，恐懼、歇斯底里和相互揭發的氣氛籠罩著研究院。梁贊諾夫被指控，為了社會法西斯主義、社會民主主義的馬克思歪曲者的利益，而對共產主義的世界運動隱匿了重要的馬克思文本。這一荒謬的說法來自被意識形態狂熱沖昏頭腦的檢察官，並最終成為了導致梁贊諾夫被處決的罪名之一。

1933年和1956年，《數學手稿》的部分內容以俄文出版，1968年，對手稿從唯物辯證法的角度加以註釋之後，馬克思的《數學手稿》（德俄雙語對照本）首次在莫斯科出版。關於導函數和微分的「相對獨立」的草稿全文發表，另一些有較長的節錄，而對摘錄則大多僅加以描述。「主要的文本」很快被譯成多種語言。還出版了兩種彼此競爭的中文譯本（1971年上海版和1975年北京版）。這些譯本都因襲了莫斯科版本中的某些嚴重的錯誤，因為莫斯科版沒有利用阿姆斯特丹的原始手稿，而是利用了20世紀20年代的一份質量很差的複製本。所有評論都以馬克思恩格斯全集德文版的信息為基礎，認為這些文本產生於1878—1881年。這就造成了這樣一種看法：這是馬克思研究興趣中獨立的對象領域，尤其是和唯物辯證法有關。只有《數學手稿》德文版（1974年）認為馬克思對數學的研究始終與經濟研究相關，當然，這僅限於從馬克思恩格斯全集德文版中已出版的文獻中能獲得的信息。在《馬克思恩格斯全集》的德文版、英文版和俄文版中，迄今仍然沒有出版任何馬克思的數學著作。

《馬克思恩格斯全集》歷史考證版編輯馬克思「數學手稿」的最後工作已經中斷了兩次，尚未完成。在這件事上，我提到過的這些事實、討論、爭議和猜測，當然還有其他許多因素，都產生了某些影響。如果能查明這些文本的寫作時間、先後順序及其複雜的背景，從而可以證明，馬克思從1857年起就不是零星地研究純數學，而是在撰寫經濟學著作時系統地研究數學的可應用性，那麼，馬克思在這方面的形象會發生相當重要的改變，馬克思關於微分學的文本就完全可能從專門研究純數學的聚光燈下擺脫出來，並提出這樣的問題：馬克思是要成為一個數學經濟學家嗎？拉法格在談到馬克思如何看待數學的問題時所說的顯然是正確的，

「他還認為，一種科學只有在成功地運用數學時，才算達到了真正完善的地步。」

顯然，馬克思對於在經濟學中應用數學的看法就像他的經濟學理論本身一樣，也不是直線發展的。馬克思對數學的親近可能是隨著他將自己的經濟學觀點提升為再生產理論才自然發展起來的。

政治經濟學智庫 ∣ 長按關注