敦煌算學再現古人千年前「數字生活」

薛艷霞在敦煌。受訪者提供

日本大阪武田科學振興財團杏雨書屋所藏敦煌算學文獻，編號羽037R。

「敦」，大也，「煌」，盛也，大而盛者謂之敦煌。

敦煌遺書內容包羅萬象，是古代社會生活的「百科全書」，被稱為「學術的海洋」。

敦煌算學是迄今發現最早的紙質算學史料，用數字反映了古代教育、軍事、田制、人口等多個方面的內容，價值不可小覷，已引起學者越來越多的關注。

1.敦煌遺書算術結晶

關於敦煌遺書被發現的故事，我們並不陌生。

1900年6月22日，一個名叫王圓籙的道士，帶人在敦煌莫高窟第16窟清理流沙時，在該窟甬道壁畫北側發現了一個一丈見方、六尺多高的復洞，后被稱為藏經洞。

洞內重重疊疊堆滿了從公元4世紀到11世紀初的經卷和文書。這就是很快震驚世界文化學術界的「敦煌遺書」。其數以萬計的古代文物寶藏被發現，伴隨其後的是一門國際性的「顯學」——敦煌學的產生。

敦煌算學，是敦煌學海洋中一顆小小的珍珠，是算術史的一部分，用數字記載了古代社會生活的多個方面，展現了古人的「數字化」生活場景。古代把數學叫算術，又稱算學，「算」是計算，「術」是方法。

古代數學體系的形成以漢代《九章算術》的出現為重要標誌。

現為高中老師的薛艷霞在讀碩士研究所期間，把大部分精力用在了敦煌算學的研究上。她跟著導師、西北師範大學敦煌學研究所副所長劉再聰教授，赴敦煌親身查找，到各大圖書館查閱資料，研究敦煌算學反映的社會現實及歷史價值。

「敦煌算學文獻是迄今發現最早的紙質算學史料，包括數學、教育、歷史等多方面內容，對了解古代社會具有重要的意義。」薛艷霞說，敦煌算學所見的文獻並不多，她和導師、學長到處搜集，得知已公布的文獻共21件。

由於眾所周知的原因，這些文獻目前散藏於世界各地。英國藏有《算經(均田法第一)》、《算經》、《九九歌訣》、《九九乘法歌訣》、《失名算經》、《園地計簿》等10件殘卷。法國藏有《算書》、《九九口訣》、《算經一卷並序》、《乘法九九表》等6個殘卷。俄羅斯、日本等國也有算經文獻的收藏，北京圖書館也有一件《九九乘法》藏書。

薛艷霞兩次去過敦煌找尋，但都未找到相關藏書文獻，只能查閱資料，「遺憾的是，這些文獻的真品我沒有見過，只能依靠照片和別人整理的文獻資料進行研究。」

敦煌算學文獻是敦煌科技類文獻中最珍貴的文獻之一，內容涉及數學、教育、哲學、物理、經濟、政治、軍事、文化、社會等各個領域。

算經多是殘卷，從其保存下來的內容看，包括記數、識數、進位制、度量衡制、多位數相乘、平方、加減乘除法運算、圓形、三角形等面積計算，還有民食、軍需的宏觀計算，軍事編製和防禦設施的計算等。

「敦煌算學文獻資料相對較少，較系統的研究著作也很少，因此，我選擇算學作為研究方向，著重對算學文獻反映的社會現實問題進行梳理，以期更深入地了解古代敦煌社會的現實狀況。」一直熱愛古代歷史的薛艷霞從2014年就開始了自己的探索之旅。

2.算術教育學以致用

敦煌算學文獻是乃至世界上最早的紙卷算書，內容廣泛。文獻中包含有大量算學教育中使用的教材，既有九九口訣類的初識教材，也有計算比較複雜的教材。

敦煌出土文書中，童蒙教材中除了常用的啟蒙教材《千字文》、《太公家教》、《吉凶書儀》等這些類別外，還有《九九歌訣》、《立成算經》、《算經並序》等算學文獻。

「敦煌算學教育在社會教育中也是十分重要的一部分，在蒙學教育階段，學校或家塾已經教授相關方面的知識。」薛艷霞說，初級識字類文獻中就已經開始體現基礎的算學思想，體現了古代算學教育的重要性及其普及性。敦煌算學文獻的發現證明，中古時期地方學校不僅開設算學，還將算學置於重要地位。

自漢代開始，敦煌社會就已經比較重視算學方面的知識，敦煌漢簡中就曾發現「九九術」的殘簡，據敦煌算學文獻反映，可能早在北朝時期敦煌的算學教育便已隸屬於州縣官學教育，使用的教材有《九九乘法歌》、各類《算書》等，內容豐富，有數字認讀、乘法口訣、度量衡，還有一些田畝軍需民用等方面的內容。

唐代將算學正式納入國家教育機構，使之成為一門獨立學科，並設置專門學校。進一步完善了國家教育制度。

唐五代時期敦煌地區蒙學教育尤其興盛，在敦煌出土文書中也保存了大量的蒙學教材，如《千字文》、《太公家教》、《開蒙要訓》、《蒙術》、《兔園冊府》等，也有一些歌訣如《九九歌》、《兒郎偉》、《九九乘法歌訣》等。

自古以來，數學教育有一大特色即「講實際、重應用」，深受「經世致用」思想的影響。在《算經十書》中出現的一些公式或題目，涉及到政治、經濟、軍事等社會生活方面的一系列問題。在研究中，薛艷霞發現，敦煌算學文獻中更是如此，其所記載的一些實例算題，更加有效地證明數學注重實用的觀點。「這些題目類似於現在的數學應用題，都以日常生活問題為題，比如布匹單位的換算、田畝計算、馬匹食料供給、兵力分配，都充分反映了當時社會現實。」

《五曹算經》中載：「今有田形如牛角，從五十步，口廣二十步。問田幾何?答曰：二畝，齊二十步。術曰：列口廣二十步，半之，得十步。以從五十步乘之，得五百步。以畝法除之，即得。」還有如：「今有棉七千二百廿六斤，欲造袍。領別用棉八斤。問總合著棉得幾何?曰九百三領，余兩斤。」

甚至還有記載非常詳細的戰事算題：「今有城周迴十八里，四面有門，門有二樓;又四角，角有一大樓，一十五小樓。廿步置一弩，卌(讀xì，意為四十)步置一方梁，六十步置一石車，五步置一鉤。一大樓上著卌人，一小樓著廿人，弩著三人，一方梁著八人，石車置廿人，一鉤置二人，又欲一步著戰士一人，問凡用兵幾何?曰：一十二大樓用四百八十個，小樓用人一千二百，二百七十張弩，用人八百一十，一百卅方梁，用人一千八十人，九十個石車，用人一千八百人，一千八十枚鉤，用人二千一百六十人，五千四百步，用人五千四百。」

劉再聰教授認為，敦煌算學文獻體現數學教育重實際的特點，田畝的計算以及軍制模式都是時局的反映。以現代數學教育觀點而論，這些注重少而精和學以致用的兩大原則，教法是從實例引入，體現了數學教育的優良傳統。

3.田畝軍需社會縮影

自古至今，土地一直是民生之本，歷朝歷代對土地問題極其重視。南北朝隋唐時期，主要實行均田制。敦煌算學文獻中「均田法第一」的字樣顯示了敦煌地區實施均田制。

文獻中涉及的田畝面積的計算題目，可以窺見當時田畝的計算方法及田畝制度中計量單位的情況，是徵收賦稅的依據。

算學殘卷中記載直田、圓田、四不等田、環田等各類田地面積的精確計算公式，從而印證當時社會在授田過程中出現大量不規則形狀的田地，反映當時人地關係較緊張，土地劃分嚴格，並且還存在一定的兩極分化問題。

敦煌算學文獻中有很多關於田地的計算方法，在長方形田地面積計算上算學文獻中出現了《田積表》，此種算表在歷代文獻中並未出現過，可謂絕無僅有，體現了敦煌社會田地面積計算方法上的進步。

敦煌算學也將古代算術史進一步延伸擴展，出現了其他文獻中並未出現的記載。

在大數記法上，敦煌算學文獻中萬以下數字有「十百千」，萬以上數字有「億、兆、京、該、梓、讓、溝、間、政、載、極」，比其他文獻所記載的單位多了「極」，1極即10的96次方，這個數已相當於天文數字。

在度量衡的記載中，敦煌算學文獻記載更為詳盡，單位量更多，如：」十忽為一絲，十絲為一毫，十毫為一厘，十厘為一分，十分為一寸，十寸為一尺，十尺為一丈，十丈為一引。五十尺為一端，四十尺為一疋(yǎ)，六尺為步。二百四十步為一畝。三百步為里。」算學文獻中也有專門記載敦煌軍事編製的算學題目，涉及內容有軍職官階、軍事防務、兵員設置、物資設備等。由此可見，敦煌作為軍事重鎮，對軍隊的具體編製、兵員配備、馬匹管理等方面都有嚴格規定。通過分析，不僅能了解敦煌軍事方面的基本情況，也能窺探南北朝、隋唐時期軍事史的發展演變。

薛艷霞將自己這些研究發現寫成了《敦煌算學文獻研究》論文。她在論文中寫道：「敦煌算學文獻蘊含豐富的政治、經濟、軍事等方面的內容，以社會現實問題為基礎的算題，不僅有助於了解當時社會算學教育制度，還有助於了解當時社會民眾經濟生活及一些經濟、軍事制度。」

劉再聰教授希望薛艷霞繼續在這個方向研究下去，再下工夫。敦煌算學文獻對魏晉南北朝、隋唐社會史的研究具有重要史料意義，也對補充研究中古時期敦煌的社會歷史提供重要資料，很有研究價值。