大誤 · 後宮佳麗三千人

皇上後宮佳麗三千，皇上從第一天開始每天隨機挑選一個寵幸，恰好寵幸完所有佳麗的天數的期望是多少？

答案是25751 天，差不多是 70 年。

解題過程如下：

第 天結束后，寵幸過妃子的數為 。易發現隨機序列 是一個馬可夫鏈，狀態轉移圖如下:

接下來讓我們分析狀態轉移概率：

令 表示狀態一步轉換到 的概率，有：

以 情形舉例，則狀態轉移方程為：

然後設列向量矩陣

,其中 代表皇帝寵信 個佳麗所需時間的期望，顯然 。接下來便是神奇之處: ，其物理意義有點繞，我盡量解釋一下：

又，上式等同於(第 6 行左側為 0，所以捨去)：

其中 為單位矩陣。該公式展開可得

會發現這個線性方程非常有規律，口算即可解出。遞推公式為：

解得

，即平均需要 11.4167 天。

情況下的矩陣 。

MATLAB 程序如下：

計算結果如下：

得到平均時間為 25751 天（計算時間不到 6 毫秒）。

更新：又發現，上述公式再加上一點簡單的變化，還可以進一步化簡為：

雖然計算時間仍為 6 毫米左右，但書寫形式大大簡化。可以理解為

其中 為寵幸了 個佳麗后，到寵幸第 個佳麗之間，所花費的時間。易得 之間相互獨立（可從馬爾可夫性導出）

且 滿足幾何分佈，所以

數學最美的地方便在於殊途同歸~

順便多跑了幾組數：

這個問題和我寫過的一個問題很像，但計算簡單了很多：武器升級概率問題！？ - 知乎

客官，這篇文章有意思嗎？