專輯論文| 胡佰林：基於WGS-84橢球面的退化四叉樹經緯線格網剖分

《測繪學報》

構建與學術的橋樑 拉近與權威的距離

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1. 河南理工大學測繪學院, 河南 焦作 454003;

2. 礦業大學 (北京) 地球科學與測繪工程學院, 北京 100083;

3. 揚州環境資源職業技術學院, 江蘇 揚州 225127

收稿日期：2016-08-20； 修回日期：2016-10-20

基金項目：國家自然科學基金（41171306）

第一作者簡介：胡佰林 (1978—),男, 博士生, 研究方向為大範圍空間數據建模與3DGIS研究與教學。

摘要：針對數字地球的發展和解決全球問題的需求，給出了一種基於WGS-84橢球面的全球離散格網剖分方法——退化四叉樹經緯線格網；分析了格網剖分的特點，明確了格網單元行列定義和經緯度坐標；計算出不同剖分層次格網單元面積、邊長的變化情況並與基於正球面的剖分進行了對比。結果表明該格網系統具有粒度相對均勻性、層次嵌套性、方向一致性、地理條帶性和對稱性、廣泛數據兼容性等許多優良特徵，對構建全球地理信息系統具有一定的實用價值。

關鍵詞：退化四叉樹經緯線格網 WGS-84橢球面 全球離散格網 格網 層次剖分

Degenerate Quadtree Latitude/Longitude Grid Based on WGS-84 Ellipsoidal Facet

, WANG Chunbo12

Abstract: For the needs of digital earth development and solving many global problems, a new discrete global grid system-DQLLG (degenerate quadtree latitude/longitude grid) was put forward, which was based on WGS-84 ellipsoidal facet. The hierarchical subdivision method, characteristics and grid column/row coordinate system were detailed. The Latitude/Longitude coordinate, area and side length of multi-resolution meshes on different subdivision levels were calculated. Then the changes of mesh areas and side lengths were analyzed and compared that with spherical DQLLG. The research indicates that the DQLLG had many excellent features:uniformity, hierarchy, consistency of direction, extensive data compatibility and so on. It has certain practicality for Global GIS in the future.

Key words: degenerate quadtree latitude/longitude grid (DQLLG) WGS-84 ellipsoidal facet discrete global grid (DGG) grid hierarchical subdivision

隨著數字地球以及智慧地球的發展，對全球範圍海量數據組織管理的效率、檢索速度、表達準確性都提出了越來越高的要求。地球橢球面屬於非歐氏空間，而現有基於地圖投影的方法，是將球面投影到平面的模擬方法，在涉及全球大尺度空間時，在長度、面積等基礎幾何量的量算上，會引起明顯的偏差[

]，也易出現數據重疊、斷裂及空間關係的不一致性等問題[

-

]，而這種度量下的空間分析也因此缺乏足夠的可信度[

]。另外，傳統以地圖投影為基礎的數據結構和表達，在本質上是單一尺度的，在對多尺度的數據進行集成和管理時有一定局限性[

]。全球離散格網 (discrete global grid, DGG) 模型是一種基於球面的、通過無限細分的方式來擬合逼近地球真實表面形態的優良模型，其層次性和全球連續性特徵，不僅克服了度量空間上的各向異性問題，而且網格多解析度的特性還很好地實現不同精度下、同一空間位置的合理表達和分析問題[

-

]。全球離散格網在為數字地球提供地理參考、檢索、地理空間數據集的分散需求等方面具有無可比擬的優勢。自20世紀80年代以來，人們對全球離散網格系統進行了大量的研究[

-

]，按剖分方法不同可以將傳統的全球離散格網系統分成3種類型：基於經緯線的球面剖分格網、基於自適應格網的球面剖分格網和基於球內接正多面體的球面剖分格網[

]。其中，球面退化四叉樹經緯線格網 (degenerate quadtree latitude/longitude grid，DQLLG) 就是基於球面內接正八面體剖分方法和經緯線剖分方法融合衍生出來的一種新的全球離散格網系統，文獻[

]分析了該格網的特點及單元變形情況：球面DQLLG形狀簡單、大小近似相等，並具有層次嵌套性，便於空間數據的多層次多解析度表達。然而這種剖分是在正球面上進行的，不是對更接近於地球的橢球面的剖分，沒有顧及到地球的真實形狀，這樣在表達全球尺度數據時，數據質量特別是位置、尺度等的準確性會有一些偏差。WGS-84橢球體是目前全球使用最廣泛的地球參考橢球體，為此，作者將正球面DQLLG改進並發展到橢球面上，實現對WGS-84橢球面的層次剖分，分析了格網的特點，並對剖分后不同層次格網單元的面積、邊長進行了計算，還就格網單元的面積、邊長的變化情況與基於正球面的剖分進行了對比，旨在為後續基於橢球面DQLLG的幾何變形分佈規律、收斂性和精度分析以及構建全球地理信息系統的適用性和商業實用性研究提供基礎。

1 WGS-84橢球面DQLLG剖分1.1 剖分原理

1.1.1 剖分基礎

利用WGS-84橢球面上的0°、90°、180°和270°子午線和赤道將橢球表面分割成8個區域，從0°子午線開始自西向東、先北半球再南半球把這8個區域分別編碼為0~7，如圖 1所示。這8個區域是8個全等的橢球面等腰三角形，均勻而規則地覆蓋在橢球面上，這8個全等的橢球面等腰三角形就是整個橢球面的一個初始剖分，也是基於WGS-84橢球面的DQLLG剖分基礎，每一個這樣的三角形就稱為一個初始剖分三角形。由於他們的性質都是相同的，本文僅研究其中一個初始剖分三角形的剖分，然後推廣到其他7個三角形，進而推廣到全球。為表述方便清楚，對這些橢球面等腰三角形的邊作如下約定：赤道為底邊，子午線為腰。

1.1.2 多層次遞歸剖分方法

對WGS-84橢球面初始剖分后，就可以應用退化四叉樹平分經緯度方法對WGS-84橢球面進行多層次遞歸剖分了。對於任意一個初始剖分三角形，首先將其3個頂點的經緯度進行兩兩平分，得到3個新點p1、p2、p3(p1、p2、p3 3個點都位於橢球面上，p1、p2分別在兩腰上，p3在底邊上)，用平行圈弧段連接p1、p2兩點；再取平行圈弧段p1、p2的中點p4，用子午線弧段連接p3、p4兩點；這樣該初始剖分三角形就被分割為3部分：一個位於頂部的新的橢球面等腰子三角形和兩個位於底部的橢球面等腰梯形，實現對地球橢球面的一次細分，即第1層次剖分 (如圖 2(a)所示)。然後對第1層次剖分產生的橢球面等腰子三角形，按照第1層次剖分方法進行細分；對任意一個橢球面等腰梯形，先將該橢球面等腰梯形4個頂點的經緯度進行兩兩平分，得到4個新點，再將兩對邊上的新點用子午線弧段或平行圈弧段連接，就把該橢球面梯形分成了4個新的更小的橢球面等腰梯形；這時就把原初始剖分三角形分割成了11部分：1個橢球面等腰三角形和10個橢球面等腰梯形，實現對地球橢球面的進一步細分，即完成對初始剖分三角形的第2層次剖分 (如圖 2(b)所示)。第3層次、第4層次等按照上述方法依次遞歸剖分，直到滿足所需精度的第n層 (n=1, 2, …)。多層次遞歸剖分過程中橢球面梯形都是按完全四叉樹進行細分，橢球面三角形都是按退化四叉樹進行細分，每個八分體可用一個退化四叉樹表達，整個剖分過程的樹形結構如圖 2(d)表示。

1.1.3 剖分特點

通過對上述剖分過程分析可以得出橢球面DQLLG具有以下特點：

(1) 有效解決了傳統經緯度格網兩極數據冗餘的問題。由赤道到兩極，格網經度差逐漸增大，格網數逐漸減少，到極點處只有4個格網。同一剖分層次，DQLLG單元數量比傳統經緯度格網單元數量明顯減少。剖分層次為

時，每一個初始剖分三角形內，DQLLG單元數量為 (2×22

+1)/3，傳統經緯度剖分單元數量為22

，兩者的比值約為2/3。

(2) 多層次嵌套性。經緯度平分保證了相鄰層次格網節點具有簡單明確的層次、位置對應關係，橢球面DQLLG剖分每一層次格網都是上一層次格網的細分，相鄰四個格網單元 (僅兩極是3個) 的組合就是上一層次格網單元，相鄰剖分層次格網單元的經緯度間隔相差一倍，且下一層次格網單元保留其上一層次格網單元的邊界線，不同層次格網單元是簡單的等價或包含關係，並且可以無限細分，在全球範圍內是連續的、無縫的、穩定的和近似均勻的橢球面格網層次結構，層次索引、多解析度的數據組織及壓縮存儲等操作比較方便。

(3) 方向一致性。基於DQLLG的WGS-84橢球面剖分方法實質是經緯度平均分割法，是把傳統的球面四叉樹剖分法如QTM (quaternary triangular mesh) 得到的中心那個子三角形退化成一條子午線弧段，形成兩個橢球面等腰梯形后得到的 (如

所示)。兩極的8個橢球面等腰三角形的頂點都在極點；所有橢球面等腰梯形都朝極點收斂，克服了QTM形成的三角形格網方向不確定性的缺陷

(4) 平移重合且軸對稱。任意一個格網單元或多個相鄰格網單元的組合，沿平行圈左右平移任意整數倍單元格距離或單元格組合距離，都會與其他單元格或單元格組合重合；沿子午線上下移動，都會有相應的單元格或組合與其依經緯度間隔重合；以任何格網單元的腰所在的子午線為軸，軸兩側的格網都是關於該軸對稱的，並且南北半球的格網以赤道為軸對稱。

(5) 格網結構簡單、幾何形狀相同。除兩極8個剖分單元為全等的橢球面三角形外，其餘格網全部是橢球面等腰梯形，幾何形狀都相同，且所有梯形單元以經緯度差全等或相差整數倍的經度差，鄰近搜索和查詢方便。

(6) 四邊形經緯度格網更適合一般常用數據的表達。橢球面DQLLG本質是經緯度格網，經緯度格網已被人們廣泛採用，它非常符合人們的習慣，已經根植在筆者關於地球的思維中，具有永遠不可替代的地位[

]，許多有關全球範圍的空間數據格式也是以經緯度格網表達的。另外，不管是各種電子顯示設備、紙張、地圖還是柵格影像數據，絕大多數的地理信息表達、傳播媒介都是四邊形的，與三角形、六邊形等相比，橢球面DQLLG的四邊形格網更適合於這些地理的數據製圖和顯示設備的表達。

1.2 格網單元經緯度計算

橢球面DQLLG格網單元沿緯度逐行的和沿經度逐列分佈的規律性是非常明顯的，因此可以定義格網的行列坐標系，通過行列號來標識格網任一格網單元的位置，進而確定其經緯度坐標。

1.2.1 格網行列定義規則

對任意初始剖分橢球面三角形，以極點為原點O；以西側子午圈作為行號軸r，以極點到赤道方向為行號軸正方向；以平行圈作為列號軸c，以自西向東方向為列號軸正方向；以一個格網單元為單位長度，用 (r, c) 表示格網單元的行列坐標, 其中r、c分別表示行號和列號，建立橢球面DQLLG格網行列號坐標軸系統，如圖 4所示。原點處的行列號均為0。

1.2.2 格網單元經緯度

由剖分過程可知，所有格網單元的緯度差都是相等的，經度差是不完全等。格網單元的緯度差用ΔB表示，經度差用ΔL表示，格網剖分層次為n。在任意初始剖分橢球面三角形內，格網每一行的緯度差

兩極8個橢球面三角形格網單元中心經度分別為45°、135°、225°、315°；若在北半球，其緯度為90°-ΔB、在南半球則為-90°+ΔB。

除此以外的所有橢球面梯形單元，其經度差ΔL與其所在行的行號r有關，與剖分層次無關。從行列號定義規則可以容易得出第r行格網單元經度差ΔL

則在編碼為0的初始剖分三角形內，行列坐標為 (r, c) 的格網單元的左上角點 (這裡約定：由極點到赤道的方向為向上，由赤道到極點的方向為向下，行號軸正方向為上，列號軸正方向為右) 的經、緯度

經度：

緯度：

根據梯形格網單元所在的初始剖分橢球面三角形的不同，行列坐標為 (r, c) 的格網單元的左上角點在橢球面的實際經度、緯度如表 1所示。梯形格網單元其他三個角點的經、緯度與該左上角點的經緯度相同或相差一個經緯差，格網中心經緯度與該左上角點的經緯度相差半個經緯差。

表 1 行列坐標為 (r, c) 的格網單元左上角點實際經度、緯度Tab. 1 Actual longitude and latitude of a cell top left corner

總之，對於任意一個橢球面梯形格網單元，只要知道其所在初始剖分三角形內的行列號 (r, c) 及格網的剖分層次n，就可以得到該格網單元的中心點及4個角點的經緯度坐標；同樣，知道某點的經緯度坐標，也可以得到其所在的格網單元。

2 WGS-84橢球面DQLLG格網單元幾何計算及分析

本文所用WGS-84橢球體的數學公式及相關參數如下

式中，長半軸

=6 378 137.000 m，為赤道半徑，短半軸

為極軸半徑，扁率

=1/298.257 223 563；第一偏心率。

因為所有各網單元都是按經緯線劃分，所以求格網邊長就是求子午圈弧段和平行圈弧段的長度，格網面積就是求兩條子午圈線和兩條平行圈線在橢球面上所圍成部分的面積。

由於橢球面的弧長和多邊形面積計算沒有固定的公式，本文均採用微分原理進行求解。

SL，

是該微分弧曲率半徑，則

(2) 計算平行圈弧長。對於旋轉橢球體而言，平行圈實際上就是一個圓，所以求平行圈弧長也就是一段圓弧長。如

所示，平行圈上有微分弧ΔSB，對應的圓心角為Δ

(也是微分弧ΔSB的經度差)，

是卯酉圈曲率半徑，則

(3) 格網單元面積計算。所有格網本質上都是由兩條子午圈線和兩條平行圈線所圍成的橢球面梯形，兩極八個橢球面三角形，可以看作一條緯線弧長縮短到幾乎為零。如

所示，Δ

是橢球面微分梯形，兩條平行圈微分弧平均值為ΔSB，則

應用文獻[35]關於橢球面子午線弧長、平行圈弧長、橢球面梯形的面積計算方法過程，計算不同剖分層次橢球面DQLLG格網單元邊長、面積，計算結果如表 2所示。

表 2 不同剖分層次橢球面DQLLG單元的邊長、面積Tab. 2 The area and length of sides of ellipsoid DQLLG cells

可以發現，基於WGS-84橢球面DQLLG剖分格網隨著剖分層次的逐漸增加，格網邊長、面積都趨於穩定，格網最大最小邊長之比和最大最小面積之比都由最初的逐漸增大到最後趨於穩定；最大最小邊長之比

max/

min在剖分層次6層之後，已經可以很穩健地收斂到2.225；最大最小面積之比

max/

min，在剖分層次17層之後，逐漸收斂到2.236；兩者都不超過2.24，這保證了DQLLG格網粒度的相對均勻性。通過與球面DQLLG剖分比較，發現基於WGS-84橢球面DQLLG剖分格網單元最大與最小面積的比值

max/

min、最大與最小邊長的比值

max/

min

橢球面DQLLG不但顧及了地球的真實形狀，還有效解決了傳統經緯度格網兩極數據冗餘、奇異的問題，克服了三角形、菱形、六邊形等其他球面格網方向不確定性的缺陷；格網邊長、面積計算及分析也表明其格網粒度近似均勻，與正球面DQLLG相比雖然邊長和面積的最大與最小值的比略有變化，但變化不大，保持了較好的規則性；橢球面DQLLG格網線與經緯線重合，能與經緯度坐標系統直接轉換，進而可以通過一定的操作和計算與其他投影坐標系統、地心直角坐標系統以及橢球面三角形、菱形、六邊形等其他全球格網系統進行轉換；還可以通過連接四邊形的中心與角點、對角點等方式，將橢球面四邊形直接轉換成橢球面三角形，這種最簡單的多邊形；經緯度格網的本質是四邊形格網，很適合於一般地圖、遙感影像數據製圖和數據顯示設備的表達等；格網可以無重疊覆蓋整個地球，既保留了拓撲關係，也實現了全球範圍的統一定位；格網可以無限次遞歸細分，也為實現層次索引、多解析度數據組織及數據壓縮存儲等操作提供了方便；更重要的一點，全球格網單元沿赤道呈軸對稱，且隨緯度不同呈條帶性，同一緯度條帶的格網都是相同的，這也與地球南北半球氣候、動物、植物及其他客觀地理現象的條帶性、對稱性一致。上述這些特點表明，應用DQLLG處理全球問題有其特有優勢。基於WGS-84橢球面DQLLG的幾何變形分佈規律、精度分析、全球海量數據有效組織管理表達以及在解決全球範圍實際問題中的應用，將成為今後重要的研究方向。

【引文格式】胡佰林，王春波，趙學勝，等。 基於WGS-84橢球面的退化四叉樹經緯線格網剖分[J]. 測繪學報，2016，45(S1)：32-39. DOI: 10.11947/j.AGCS.2016.F004

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