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2021/12/25
數與代數
（一）數的認識
整數【正數、0、負數】
一、一個物體也沒有，用0表示。0和1、2、3……都是自然數。自然數是整數。
二、最小的一位數是1，最小的自然數是0。
三、零上4攝氏度記作+4℃；零下4攝氏度記作-4℃。「+4」讀作正
四。「-4」讀作負四。 +4也可以寫成4。
四、像 +4、19、+8844這樣的數都是正數。像-4、-11、-7、-155這樣的數都是負數。
五、0既不是正數，也不是負數。正數都大於0，負數都小於0。
六、通常情況下，比海平面高用正數表示，比海平面低用負數表示。
七、通常情況下，盈利用正數表示，虧損用負數表示。
八、通常情況下，上車人數用正數表示，下車人數用負數表示。
九、通常情況下，收入用正數表示，支出用負數表示。
十、通常情況下，上升用正數表示，下降用負數表示。
小數【有限小數、無限小數】
一、分母是10、100、1000……的分數都可以用小數表示。一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾……
二、整數和小數都是按照十進位計數法寫出的數，個、十、百……以及十分之一、百分之一……都是計數單位。每相鄰兩個計數單位間的進率都是10。
三、每個計數單位所佔的位置，叫做數位。數位是按照一定的順序排列的。
四、小數的性質：小數的末尾添上「0」或去掉「0」，小數的大小不變。
五、根據小數的性質，通常可以去掉小數末尾的「0」，把小數化簡。
六、比較小數大小的一般方法：先比較整數部分的數，再依次比較小數部分十分位上的數，百分位上的數，千分位上的數，從左往右，如果哪個數位上的數大，這個小數就大。
七、把一個數改寫成用「萬」或「億」作單位的數，在萬位或億位右邊點上小數點，再在數的後面添寫「萬」字或「億」字。
八、求小數近似數的一般方法：1先要弄清保留幾位小數；2根據需要確定看哪一位上的數；3用「四捨五入」的方法求得結果。
九、整數和小數的數位順序表：
分數【真分數、假分數】
一、把單位「1」平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫做分數。表示其中一份的數，是這個分數的分數單位。
二、兩個數相除，它們的商可以用分數表示。即：a÷b＝a/b(b≠0)
三、小數和分數的意義可以看出，小數實際上就是分母是10、100、1000…的分數。
四、分數可以分為真分數和假分數。
五、分子小於分母的分數叫做真分數。真分數小於1。
六、分子大於或等於分母的分數叫做假分數。假分數大於或等於1。
七、分子和分母只有公因數1的分數叫做最簡分數。
八、分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（零除外），分數的大小不變。
九、小數的性質和分數的基本性質一致的，應用分數的基本性質，可以通分和約分。
百分數【稅率、利息、折扣、成數】
一、表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數。百分數也叫百分率或百分比，百分數通常用「%」表示。
二、分數與百分數比較：
三、分數、小數、百分數的互化。
（1）把分數化成小數，用分數的分子除以分母。
（2）把小數化成分數，先改寫成分母是10、100、1000……的分數，再約分。
（3）把小數化成百分數，先把小數點向右移動兩位，然後添上百分號。
（4）把百分數化成小數，先去掉百分號，然後把小數點向左移動兩位。
（5）把分數化成百分數，先把分數化成小數（除不盡時通常保留三位小數），再把小數化成百分數。
（6）把百分數化成分數，先把百分數改寫成分數，能約分的要約成最簡分數。
四、熟記常用三數的互化。
五、1、出勤率表示出勤人數佔總人數的百分之幾。
2、合格率表示合格件數佔總件數的百分之幾。
3、成活率表示成活棵數佔總棵數的百分之幾。
六、求一個數比另一個數多百分之幾，就是求一個數比另一個數多的占另一個數的百分之幾。
七、1、多的÷「1」=多百分之幾 2、少的÷「1」= 少百分之幾
八、應得利息是稅前利息，實得利息是稅後利息。
九、利息 = 本金 × 利率 × 時間
十、應得利息 －利息稅 = 實得利息
十一、幾折表示十分之幾，表示百分之幾十；几几折表示十分之幾點幾，表示百分之幾十幾。
十二、1、原價×折扣=現價
2、現價÷原價=折扣
3、現價÷折扣=原價
十三、幾成表示十分之幾表示百分之幾十；幾成幾表示十分之幾點幾，表示百分之幾十幾。
因數與倍數【素數、合數、奇數、偶數】
一、4 × 3 = 12，12是4的倍數，12也是3的倍數，4和3都是12的因數。
二、一個數最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。一個數倍數的個數是無限的。
三、一個數最小的因數是1，最大的因數是它本身。一個數因數的個數是有限的。
四、5的倍數：個位上的數是5或0。
2的倍數：個位上的數是2、4、6、8或0。2的倍數都是雙數。
3的倍數：各位上數的和一定是3的倍數。
五、是2的倍數的數叫做偶數。不是2的倍數的數叫做奇數。
六、一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數就叫做素數（或質數）。
七、一個數，如果除了1和它本身還有別的因數，這樣的數就叫做合數。
八、在1—20這些數中： （1既不是素數，也不是合數）
奇數：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。
偶數：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20。
素數：2、3、5、7、11、13、17、19。（共8個，和為77。）
合數：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。（共11個，和為132。）
九、最小的奇數是1，最小的偶數是0，最小的素數是2，最小的合數是4。
十、如果兩個數是倍數關係，則大數是最小公倍數，小數是最大公因數。
十一、如果兩個數只有公因數1，則最大公因數是1，最小公倍數是它們的乘積。
（二）數的運算
四則運算關係
兩個規律
一、除法的商不變規律：被除數和除數同時乘或除以相同的數（0除外），商不變。
二、乘法的積不變規律：如果一個因數乘幾，另一個因數則除以幾，那麼它們的積不變。
簡便計算
一、運算定律：
二、乘、除法的互化。（小技巧：符號是相反的；兩個數相乘得「1」。）
三、求近似數的方法。
①四捨五入法。 ②進一法。 ③去尾法。
四、積與因數、商與被除數的大小比較：
數量關係
三、式與方程
用字母表示數
一、在一個含有字母的式子里，數字和字母、字母和字母相乘時，中間的乘號可以記作「· 」，也可以省略不寫。在省略數字與字母之間的乘號時，要把數字寫在字母的前面。
二、2a與a2意義不同：2a表示兩個a相加，a2表示兩個a相乘。即：2a=a＋a，a2= a×a。
三、用字母表示數：
①用字母表示任意數：如X=4 a=6
②用字母表示常見的數量關係：如s=vt
③用字母表示運算定律：如a＋b=b＋a
④用字母表示計算公式：S=ah
方程與等式
一、含有未知數的等式叫做方程。
二、使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。
三、求方程的解的過程，叫做解方程。
四、方程和等式的聯繫與區別：
五、等式的基本性質（一）： 等式兩邊同時加上（或減去）一個相同的數，所得結果仍然是等式。
六、等式的基本性質（二）： 等式兩邊同時乘（或除以）一個不等於零的數，所得結果仍然是等式。
七、列方程解應用題的一般步驟：
①弄清題意，找出未知數並用X表示。
②找出應用題中數量間的相等關係，並列出方程。
③求出方程的解。
④檢驗或驗算，寫出答案。
（四）正比例與反比例
比和比例
一、比和比例的聯繫與區別：
二、比同分數、除法的聯繫與區別：
三、求比值與化簡比的區別：
四、化簡比：
①整數比的化簡方法是：用比的前項和後項同時除以它們的最大公約數。
②小數比的化簡方法是：先把小數比化成整數比，再按整數比化簡方法化簡。
③分數比的化簡方法是：用比的前項和後項同時乘以分母的最小公倍數。
五、比例尺：我們把圖上距離和實際距離的比叫做這幅圖的比例尺。
六、比例尺=圖上距離︰實際距離 比例尺 = 圖上距離 / 實際距離
正比例、反比例
一、正比例：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關係就叫做正比例關係。
二、反比例：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關係就叫做反比例關係。
三、正比例與反比例的區別：
幾何
（一）圖形的認識、測量
量的計量
一、長度單位是用來測量物體的長度的。常用的長度單位有：千米、米、分米、厘米、毫米。
二、長度單位：
三、面積單位是用來測量物體的表面或平面圖形的大小的。常用面積單位：平方千米、公頃、平方米、平方分米、平方厘米。
四、測量和計算土地面積，通常用公頃作單位。邊長100米的正方形土地，面積是1公頃。
五、測量和計算大面積的土地，通常用平方千米作單位。邊長1000米的正方形土地，面積是1平方千米。
六、面積單位：（100）
七、體積單位是用來測量物體所佔空間的大小的。常用的體積單位有：立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）。
八、體積單位：（1000）
九、常用的質量單位有：噸、千克、克。
十、質量單位：
十一、常用的時間單位有：
世紀、年、季度、月、旬、日、時、分、秒。
十二、時間單位：（60）
十三、高級單位的名數改寫成低級單位的名數應該乘以進率；低級單位的名數改寫成高級單位的名數應該除以進率。
十四、常用計量單位用字母表示：
平面圖形【認識、周長、面積】
一、用直尺把兩點連接起來，就得到一條線段；把線段的一端無限延長，可以得到一條射線；把線段的兩端無限延長，可以得到一條直線。線段、射線都是直線上的一部分。線段有兩個端點，長度是有限的；射線只有一個端點，直線沒有端點，射線和直線都是無限長的。
二、從一點引出兩條射線，就組成了一個角。角的大小與兩邊叉開的大小有關，與邊的長短無關。角的大小的計量單位是（°）。
三、角的分類：小於90度的角是銳角；等於90度的角是直角；大於90度小於180度的角是鈍角；等於180度的角是平角；等於360度的角是周角。
四、相交成直角的兩條直線互相垂直；在同一平面不相交的兩條直線互相平行。
五、三角形是由三條線段圍成的圖形。圍成三角形的每條線段叫做三角形的邊，每兩條線段的交點叫做三角形的頂點。
六、三角形按角分，可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。
按邊分，可以分為等邊三角形、等腰三角形和任意三角形。
七、三角形的內角和等於180度。
八、在一個三角形中，任意兩邊之和大於第三邊。
九、在一個三角形中，最多只有一個直角或最多只有一個鈍角。
十、四邊形是由四條邊圍成的圖形。常見的特殊四邊形有：平行四邊形、長方形、正方形、梯形。
十一、圓是一種曲線圖形。圓上的任意一點到圓心的距離都相等，這個距離就是圓的半徑的長。通過圓心並且兩端都在圓的線段叫做圓的直徑。
十二、有一些圖形，把它沿著一條直線對摺，直線兩側的圖形能夠完全重合，這樣的圖形就是軸對稱圖形。這條直線叫做對稱軸。
十三、圍成一個圖形的所有邊長的總和就是這個圖形的周長。
十四、物體的表面或圍成的平面圖形的大小，叫做它們的面積。
十五、平面圖形的面積計算公式推導：
【1】平行四邊形面積公式的推導過程？
①把平行四邊形通過剪切、平移可以轉化成一個長方形。
②長方形的長等於平行四邊形的底，長方形的寬等於平行四邊形的高，長方形的面積等於平行四邊形的面積。
③因為：長方形面積=長×寬，所以：平行四邊形面積=底×高。即：S=ah。
【2】三角形面積公式的推導過程？
①用兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形。
②平行四邊形的底等於三角形的底，平行四邊形的高等於三角形的高，三角形面積等於和它等底等高的平行四邊形面積的一半
③因為：平行四邊形面積=底×高，所以：三角形面積=底×高÷2。 即：S=ah÷2。
【3】梯形面積公式的推導過程？
①用兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形。
②平行四邊形的底等於梯形的上底和下底的和，平行四邊形的高等於梯形的高，梯形面積等於平行四邊形面積的一半。
③因為：平行四邊形面積=底×高，所以：梯形面積=（上底＋下底）×高÷2。即：S=（a+b）h÷2。
【4】畫圖說明圓面積公式的推導過程
①把圓分成若干等份，剪開后，拼成了一個近似的長方形。
②長方形的長相當於圓周長的一半，寬相當於圓的半徑。
③因為：長方形面積=長×寬，所以：圓面積=πr×r=πr2。即：S=πr2。
十六、平面圖形的周長和面積計算公式：
十七、常用數據：
立體圖形【認識、表面積、體積】
一、長方體、正方體都有6個面，12條棱，8個頂點。正方體是特殊的長方體。
二、圓柱的特徵：一個側面、兩個底面、無數條高。
三、圓錐的特徵：一個側面、一個底面、一個頂點、一條高。
四、表面積：立體圖形所有面的面積的和，叫做這個立體圖形的表面積。
五、體積：物體所佔空間的大小叫做物體的體積。容器所能容納其它物體的體積叫做容器的容積。
六、圓柱和圓錐三種關係：
①等底等高： 體積1︰3
②等底等體積：高1︰3
③等高等體積：底面積1︰3
七、等底等高的圓柱和圓錐：
①圓錐體積是圓柱的1/3，
②圓柱體積是圓錐的3倍，
③圓錐體積比圓柱少2/3，
④圓柱體積比圓錐多2倍。
八、等底等高的圓柱和圓錐：錐1、差2、柱3、和4。
九、立體圖形公式推導：
【1】圓柱的側面展開后得到一個什麼圖形？這個圖形的各部分與圓柱有何關係？（圓柱側面積公式的推導過程）
①圓柱的側面展開后一般得到一個長方形。
②長方形的長相當於圓柱的底面周長，長方形的寬相當於圓柱的高。
③因為：長方形面積=長×寬，所以：圓柱側面積=底面周長×高。
④圓柱的側面展開后還可能得到一個正方形。
正方形的邊長=圓柱的底面周長=圓柱的高。
【2】我們在學習圓柱體積的計算公式時，是把圓柱轉化成以前學過的一種立體圖形（近似的）進行推導的，請你說出這種立體圖形的名稱以及它與圓柱體有關部分之間的關係？
①把圓柱分成若干等份，切開后拼成了一個近似的長方體。
②長方體的底面積等於圓柱的底面積，長方體的高等於圓柱的高。
③因為：長方體體積=底面積×高，所以：圓柱體積=底面積×高。即：V=Sh。
【3】請畫圖說明圓錐體積公式的推導過程？
①找來等底等高的空圓錐和空圓柱各一隻。
②將圓錐裝滿沙子，倒入圓柱中，發現三次正好裝滿，將圓柱里的沙子倒入圓錐中，發現三次正好倒完。
③通過實驗發現：圓錐的體積等於和它等底等高的圓柱體積的三分之一；圓柱的體積等於和它等底等高的圓錐體積的三倍。即：V=1/3Sh。
十、立體圖形的棱長總和、表面積、體積計算公式：
（二）圖形與變換
一、變換圖形位置的方法有平移、旋轉等，在變換位置時，每個圖形的相應頂點、線段、曲線應同步平移，旋轉相同的角度。
二、不改變圖形的形狀，只改變它的大小時，通常要使每個圖形的要素，如長方形的長與寬，三角形的底與高等同時按相同比例放大或縮小。
三、對稱圖形是對稱軸兩邊的圖形經對摺后能夠完全重合，而不是完全相同。
（三）圖形與位置
一、當我們處在實際生活及情景中，面對教短距離時，通常用上、下、前、後來描述具體位置。
二、當我們面對地圖、方點陣圖時，通常用東、西、南、北，南偏東、北偏東……來描述方向。再結合所示比例尺計算出具體距離，把方向與距離結合起來確定位置。
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