暑期總結 | 新初一第四章知識點總結：幾何圖形初步

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4.1幾何圖形

①各種各樣的物體除了具有顏色、質量、材質等性質外，還具有形狀（如方的、圓的等）、大小（如長度、面積、體積等）和位置關係（如相交、垂直、平行等），物體的形狀、大小和位置關係是幾何中研究的內容。

②長方體、圓柱、球、長（正）方形、圓、線段、點等，以及國小學習過的三角形、四邊形等，都是從形形色色的物體外形中得出的，它們都是幾何圖形（geometric figure）。幾何圖形是數學研究的主要對象之一。

③有些幾何圖形（如長方體、正方體、圓柱、圓錐、球等）的各部分不都在同一平面內，它們是立體圖形 （solid figure）。稜柱、稜錐也是常見的立體圖形。

④有些幾何圖形（如線段、角、三角形、長方形、圓等）的各部分都在同一平面內，它們是平面圖形（plane figure）。

⑤有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當剪開，可以展開成平面圖形。這樣的平面圖形稱為相應立體圖形的展開圖（developing drawing）。

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4.1.2點、線、面、體

①長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、稜柱、稜錐等都是幾何體。幾何體也簡稱體（solid）。

②包圍著體的是面（surface）。面有平的面和曲的面兩種。平靜的水面給我們以平面的形象，而一些建築物的屋頂則給我們以曲面的形象。

③夜晚流星劃過天空時留下一道明亮的光線，節日的焰火畫出的曲線組成優美的圖案，這些都給我們以線（line）的形象。面和面相交的地方形成線。長方體6個面相交成的12條棱（線）是直的，圓柱的側面與底面相交得到的圓是曲的。

④天上的星星、世界地圖上的城市等都給我們以點（point）的形象。線和線相交的地方是點。

⑤筆尖可以看作一個點，這個點在紙上運動時，就形成線，節日的焰火也可以看成由點運動形成的，這可以說點動成面。長方形硬紙片繞它的一邊旋轉，形成一個圓柱體，這可以說面動成體。

⑥幾何圖形都是由點、線、面、體組成的，點是構成圖形的基本元素。電視屏幕上的畫面、大型團體操的背景圖案也可以看作由點組成。

⑦點、線、面、體經過運動變化，就能組合成各種各樣的幾何圖形，形成多姿多彩的圖形世界。

⑧幾何學的起源：

我們生活的世界處處存在著關於數量和空間的問題，數學中以空間形式（簡稱形）為研究對象的分支，叫做幾何學，它有著悠久的歷史。

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4.2直線、射線、線段

①經過兩點有一條直線，並且只有一條直線。

簡單說成：兩點確定一條直線。

②當兩條不同的直線有一個公共點時。我們就稱這兩條直線相交（intersection），這個公共點叫做它們的交點（point of intersection）。

③射線和線段都是直線的一部分！

④畫一條線段等於已知線段a，可以先量出線段a的長度，再畫一條等於這個長度的線段。在數學中，我們常限定用無刻度的直尺和圓規作圖，這就是尺規作圖。

⑤如圖4.2-11（1），點M把線段AB分成相等的兩條線段AM與MB，點M叫做線段AB的中點（midpoint）。小知識：在一張透明的紙上畫一條線段，摺疊紙片，使線段的端點重合，摺痕與線段的交點就是線段的中點。類似地，還有線段的三等分點、四等分點等（圖4.2-11（2）（3））。

⑥關於線段的基本事實：

兩點的所有連線中，線段最短。

簡單說成：兩點之間，線段最短。

⑦連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離（distance）。

⑧什麼是「兩點的距離」？

答：它是兩點的距離的定義（definition）。

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4.3角

①角（angle）也是一種基本的幾何圖形，鐘面上的時針與分針，稜錐相交的兩條棱，三角尺兩條相交的邊線（圖4.3-1），都給我們以角的形象。

②我們知道，有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊。

③我們常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量單位。把一個周角360等分，每一份就是1度（degree）的角，記作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，記作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，記作1″。

小知識：角度制起源於四大文明古國之一的古代巴比倫。為什麼選擇60這個數作為進位的基數呢？據說是由於60這個數是許多常用的數2,3,4,5,6,10,12,15,20,30的倍數，60＝12×5,12是一年中的月數，5是一隻手的手指數，所以古代巴比倫人認為60是一個特別而又重要的數。

④角的度、分、秒是60進位的，這和計量時間的時、分、秒是一樣的。

⑤以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制。此外，還有其他度量角的單位制。例如，我們以後將要學到的以弧度為基本度量單位的弧度制，在軍事上經常使用的角的密位制等。

⑥除量角器外，工程測量中，還常用經緯儀來測量角的大小。

⑦藉助三角尺，我們可以畫出30°，45°，60°，90°等特殊角，藉助量角器，可以畫出任何給定度數（如36°，108°）的角。

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4.3.2角的比較與運算

①一般地，從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線（angular bisector）。類似地，還有角的三等分線等（圖4.3-10）

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4.3.3餘角和補角

①在一副三角尺中，每塊都有一個角是90°，而其他兩個角的和是90°（30°+60°＝90°，45°+45°＝90°）。一般地，如圖4.3-13，如果兩個角的和等於90°（直角），就說這兩個角為餘角（complementary angle），即其中每一個角是另一個角的餘角。

小知識：兩個角互為餘角簡稱為兩個角互余，兩個角互為補角簡稱為兩個角互補。

②類似地，如圖4.3-14，如果兩個角的和等於180°（平角），就說這兩個角互為補角（supplementary），即其中一個角是另一個角的補角。

③⑴關於補角的一個性質：

同角（等角）的補角相等。

⑵對於餘角也有類似的性質：

同角（等角）的餘角相等。

小知識：有時以正北、正南方向為基準，描述物體運動的方向，如「北偏東30°」「南偏東25°」。表示方向的角在航行、測繪等工作中經常用到！

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