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高考數學複習重點:函數

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函數的概念

函數表示每個輸入值對應唯一輸出值的一種對應關係。函數f中對應輸入值的輸出值x的標準符號為f(x)。包含某個函數所有的輸入值的集合被稱作這個函數的定義域,含所有的輸出值的集合被稱作集合。若先定義映射的概念,可以簡單定義函數為,定義在非空數集之間的映射稱為函數。

一般地,給定非空數集A,B,從集合A到集合B的一個映射,叫做從集合A到集合B的一個函數。

向量函數:自變數是向量的函數叫向量函數f(a1.a2,a3......an)=y

如果X到Y的二元關係f:X×Y,對於每個x∈X,都有唯一的y∈Y,使得∈f,則稱f為X到Y的函數,記做:f:X→Y。

當X=X1×…×Xn時,稱f為n元函數。

函數f的圖象是平面上點對(x,f(x))的集合,其中x取定義域上所有成員的。函數圖象可以幫助理解證明一些定理。

如果X和Y都是連續的線,則函數的圖象有很直觀表示注意兩個集合X和Y的二元關係有兩個定義:一是三元組(X,Y,G),其中G是關係的圖;二是索性以關係的圖定義。用第二個定義則函數f等於其圖象。

當k<0時,直線為升,過一三象限或向上平移,向下平移象限;當k>0時,直線為降,過二四象限,向上或向下平移象限。

函數的有界性

函數的單調性:設函數f(x)的定義域為D,區間I包含於D。如果對於區間I上任意兩點x1及x2,當x1

函數的奇偶性

函數的周期性

函數的凹凸性:設函數f(x)在I上連續。如果對於I上的兩點x1≠x2,恆有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2,(f((x1+x2)/2)<(f(x1)+f(x2))/2)那麼稱f(x)是區間I上的(嚴格)凸函數;如果恆有f((x1+x2)/2)≥(f(x1)+f(x2))/2,(f((x1+x2)/2)>(f(x1)+f(x2))/2)那麼稱f(x)是區間上的(嚴格)凹函數。

反函數

一般地,設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C,根據這個函數中x,y的關係,用y把x表示出,得到x=f(y).若對於y在C中的任何一個值,通過x=f(y),x在A中都有唯一的值和它對應,那麼,x=f(y)就表示y是自變數,x是自變數y的函數,這樣的函數x=f(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數,記作x=f^-1(y).。反函數y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。

二次函數:一般地,自變數x和因變數y之間存在如下關係:y=ax^2+bx+c(a≠0)(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。)則稱y為x的二次函數。

次函數的三種表達式

一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)

頂點式:y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h,k)對於二次函數y=ax^2+bx+c其頂點坐標為(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a)]交點式:y=a(x-x1)(x-x2)[僅限於與x軸有交點A(x1,0)和B(x2,0)的拋物線]其中x1,x2=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)註:在3種形式的互相轉化中,有如下關係:______h=-b/(2a)k=(4ac-b^2)/(4a)x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a(頂點式x=h)。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個頂點P,坐標為P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時,P在x軸上。

3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。

|a|越大,則拋物線的開口越小。

4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左

當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交於(0,c),c是縱截距。

6.拋物線與x軸交點個數

Δ=b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。

Δ=b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。

Δ=b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數,乘上虛數i,整個式子除以2a)

當a>0時,函數在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a;在{x|x<-b/2a}上是減函數,在{x|x>-b/2a}上是增函數;拋物線的開口向上;函數的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不變

當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸,這時,函數是偶函數,解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)

二次函數與二元一次方程

特別地,二次函數(以下稱函數)y=ax^2+bx+c,

當y=0時,二次函數為關於x的一元二次方程(以下稱方程),

即ax^2+bx+c=0

函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

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