數理概念中的形形色色的「反常」

鳥兒為什麼要歌唱？因為鳥兒有歌要唱。

——Eric Craig

Nihil sub sole novam.1)

——拉丁諺語

本篇的主題是數理文獻中的各種反常。欲說反常，先說正常。關於norm，此前在本系列之058 篇已有一些論述，此處只略作補充。

關於空間的認知，需要兩點之間距離和兩方向之間夾角的確定，這些都需要標準。距離的確定需要直的物件，比如一段樹榦。蘆葦不枝不蔓，是作為長度標準的好選擇。由蘆葦而來的詞，canon，希臘語κανονας，如今可是非常嚴肅的詞，見於canonical transformation(正則變換)。尺子的拉丁語詞為regula，由其衍生出regular， regularity 等詞。夾角的特例是直角，也是最容易測量的。木匠用的拐尺，矩，拉丁語是norma， 這詞和希臘語的γνώμων(gnomon) 同源。Gnomon，本意是知曉者或檢測者，指日晷中間的指示物，樣子和拐尺差不多(見文獻圖3)。Norma，英語寫法為norm，衍生詞包括normal，normality，normalization，renormalization。Normal的近義詞包括usual，regular，ordinary 等， 反義詞包括unusual，irregular， extraordinary， exotic，abnormal，anomalous 等。後者常被誇張地用來修飾一些現象或者概念，其中尤以anomalous(名詞形式為anomaly)為甚。

Norm 為木匠的拐尺， normal的意思就是合乎規矩的、標準的。因此，école normale，就是師範學校。著名的巴黎高等師範學校(école Normale Supérieure de Paris)不光是教書育人的場所，它的老師和畢業生還是知識的創造者。巴黎高等師範學校的畢業生自認是normaliens(高師人，正常人。雙關語)，雖然就智商而論他們大體都是另類。

因為拐尺是直角的，normal 和right 也算是同義詞。比如normalincidence(垂直入射)，就是入射方向和光學界面垂直，而曲線的normal，漢譯法線(則線)，是與曲線的切線(tangent. 應該是搭線)垂直的。

圖1 曲線的搭線及與其垂直的法線

Norm的本意到底還是尺子，是用來量長度的。矢量的norm，漢譯為模和范，應該是錯譯，實際上是指矢量的長度。所謂的normed vector space(賦范矢量空間)，是說該空間中的矢量是有長度定義的。如果空間中的兩點距離是有定義的，這樣的空間是metric space。在量子力學中，狀態的波函數是一組力學量之共同本徵函數所張的希爾伯特空間中的一個矢量，且根據幾率詮釋，其norm 應該為1。把解得的波函數的長度定為1， 這個過程就是normalization，漢譯歸一化。歸一化的說法會落到1 上，實際更該關切的是在具體的希爾伯特空間中是如何定義這個長度的。Renormalization是量子場論里的事情，是用來消除計算中發生的無窮大的一些方法之統稱。這些無窮大源於自能的概念，那是理論自身的缺陷，重整化方法有效， 是非常詭異的事情。Renormalization group，漢譯重整化群，此一相當繁雜的數學方法被用來在不同的空間尺度下考察物理系統的變化，關切的是尺度變換(下的不變性)。尺度變換不變性雖然是老話題，但在量子場論的語境中它必然和處理無窮大相關聯，因此更見重要性。費曼，施溫格和朝永振一郎就是因為發展了電荷和質量的renormalization 理論才獲得1965 年度諾貝爾獎的。Renormalization，涉及的是scale transformation，它的意思應該貼近rescale(重新度量，用新尺度度量)，譯為重正化、重整化都未必合適。重正化、重整化應該是留給regularization 的譯名，見下。

一個值得一提的normal 概念是normal modes，簡正模式。一個振動體系的簡正模式是指系統用單一固定頻率(natural frequency，resonant frequency)振動的花樣。一般意義下的運動是簡正模式的疊加(即矢量的分量表示)。在這裡，normal modes是指它們是獨立的，一模式的振動不會引起另一種模式的出現。其實，因為自伴隨算符或者對稱矩陣的特徵方向是互相垂直的，normal modes2)中的normal 依然是強調垂直的意思。Normal mode 在某些場合指體系之儲能最少的模式，它也被稱為dominant mode，此時翻譯成正常模式是貼切的。只是，我們在閱讀文獻時要注意區分才好。

形容詞regular， 來自拉丁語regularis，regula。Regula，與norma相近，原意都是尺子、矩，因此和right 相關聯。同源動詞regere 有統治、導演等意思。Regularity，漢譯規則，齊整。Regularity 是數學里隨處可見的對數學對象的要求。簡單的例子如一條曲線γ(t)是regular 的，如果γ̇(t) ≠ 0 。Regular curves 可以再參數化為恆速率曲線，恆速率曲線要麼是直線，要麼是圓。明白了它為什麼被稱為regular 的了吧！Regularity， 德語是Gesetzlichkeit，中規中矩。中規中矩的反面是irregularity，不規則的出現意味著未知因素或道理的存在。Le Verrier 根據冥王星軌道的irregularity(相較於開普勒第二定律而言)斷言海王星的存在並計算出了其應該出現的位置；對大不列顛海岸線之irregularity(不規則性)的研究讓曼德爾布羅特發現了分維幾何(fractal geometry)。

Regularization 代表通過假設在新尺度上存在未知的物理來控制無窮大的出現的方法，注意不要混同於renormalization。把regularization譯成重整化而把renormalization 譯成重正化的方案，說不好是解決了還是加重了這兩者混淆的問題。用重整化、重正化翻譯regularization都挺合適，問題出在對renormalization的翻譯錯誤上。再強調一遍，norma，拐尺、矩， 首先是( 測量長度的)尺子。

類似normal/abnormal 和regular/irregular 的一對兒詞是ordinary/extraordinary。Ordinary， 普通的、尋常的，其本意是按順序的。將extraordinary 用於一些概念前可能有強調不按正常順序的意思，近於exceptional，出格的。比如說，平方反比作用力下的兩體問題之四維轉動對稱球就具有extraordinary 拓撲，因為四維的轉動對稱球可以分解為一對三維轉動對稱球。就這一點來說，它是exceptional 的，其它維度的轉動都不能分解為低維度空間中的轉動。

Ordinary 和extraordinary 聯袂修飾一個物理概念出現在光學領域。材料的折射率依賴於光的傳播方向和極化的現象，稱為birefringence，非立方晶系的晶體常常具有這樣的性質。具有birefringence性質的晶體會引起雙折射(double refraction)現象。Birefringence 和double refraction都被漢譯為雙折射，如何表達出它們的區別真讓人頭疼。對於單軸晶體，偏振垂直於入射平面的折射光被稱為是ordinary ray，尋常光，其方向可以用一個單一的折射率no描述。而另一束， extraordinary ray，非常光，其方向由一個介於no和較大的ne之間的折射率所決定(圖2)。Extraordinary 那一束的不同尋常之處在於它是inhomogeneous wave，其能流和傳播方向不一致。而雙軸晶體的折射行為由對應晶體三個主軸的三個折射率所表徵， 其中兩種偏振都是extraordinary 的。雙軸晶體存在兩個光軸，沿著此方向上的光其群速度不依賴於偏振。Ordinary ray，尋常光束，extraordinary ray，非尋常光束，中文文獻有時候就簡稱為o-光和e-光。

圖2 一束非偏振光通過雙折射晶體後會分成兩束，分別被標記為ordinary 和extraordinary

Ordinary 有官定的意思，在德語中ordentlicher Professor (Professor ordinaries， ordinary professor) 是有教席的教授， 而außerordentlicher Professor (Professor extraordinarius，extraordinary professor) 是無教席教授或者編外教授。Extraordinary 是指秩序之外的，low-ranked，千萬不要把extraordinary professor 望文生義理解為傑出教授。

形容詞abnormal 和名詞abnormality，字面意思就是偏離norm，漢譯有異常、反常、不規則、畸形等。物理學中有太多的概念被冠以反常的名頭，但使用的是形容詞anomalous 和名詞anomaly。Anomalous，an+homalos， 意思是not the same，大意是說和已知的或預期不一樣，沒有漢語的反常那麼咋咋呼呼。物理學家大概最能夠接受「存在的就是合理的」這樣的信條的，當anomalous 被洋人用來標記某個物理現象時，可能就為了表現一點因發現其有點not the same 而帶來的驚訝。名聲響亮的反常現象有不少，現擇取一二略論。

將發光體置於電場或磁場之中，原子譜線會發生分裂，前者被稱為斯塔克效應，而後者被稱為塞曼效應，由荷蘭科學家Peter Zeeman於1897 年發現。按照洛倫茲的經典電子理論，電子能級在磁場下會發生均勻分裂，因此兩能級間躍遷的能量只有E0+ μ0 0BB三種可能，譜線分裂為三條，此為正常塞曼效應(normal Zeeman effect)。然而，存在變成偶數條的譜線分裂(果然not the same)，這隨即被命名為反常塞曼效應(anomalous Zeeman effect)。其實，覺得偶數條譜線分裂not the same 是由於那時還不知道電子存在自旋這個量子數的緣故。正常塞曼效應對應僅涉及單態singlet state 的情形， 它才是例外。塞曼效應的意義之一在於證明了洛倫茲關於磁場下所發的光為偏振光的預言。給一塊材料通電流j，在垂直方向上加磁場B，則在與這兩個物理量都垂直的方向上會測到一個電壓， 此現象由霍爾(Edwin Hall) 於1879 年發現。可以定義霍爾係數RHyxz，這是一個依賴於載流子特性的材料性質。霍爾效應的一大特性是可以區分相向而行的正的和負的載流子。關於霍爾效應，一個常見的誤會是空穴不過是相反方向運動的電子(的等價物)，因此電子和空穴的霍爾係數的符號是一樣的，其實卻並非如此。能區分正負載流子，是霍爾測量的意義所在。

不同於在一般金屬、半導體之類材料中的霍爾效應，鐵磁材料(或者磁場下的順磁材料)的霍爾電阻還包含一項依賴於材料磁化狀態的且更大的貢獻，這就是反常霍爾效應(anomalous Hall effect 或者extraordinary Hall effect)。儘管已是人盡皆知的現象，反常霍爾效應在各類材料中的具體起源仍有爭論。

低溫下的二維量子氣，其霍爾電導是量子化的， σ = ve2/h ，其中的係數v 為filling factor，取值為整數或者一些分數如1/3，2/5，3/7，2/3，3/5，1/5，2/9，3/13，5/2，12/5，……等等，此之謂量子霍爾效應。相應地，量子反常霍爾效應指量子化的無需外加磁場就能實現的霍爾效應。量子反常霍爾效應能揭示多電子體系的拓撲結構。一個轉動的電荷， 其產生的磁矩為μ = gμBL ， 其中L 是角動量， μ， 玻爾磁子， 是一個常數， 而g 就是個比例係數。根據狄拉克方程，電子自旋角動量為ℏ/2 ，則旋磁比g =2 。實際測量到的電子自旋造成的磁矩表明g~2.00231930436182 ± (2.6 × 10-13)，比2 多了點兒。這個微小的修正被當作電子的反常磁矩(anomalous magnetic dipole moment of the electron)。據說量子電動力學將這個小的修正歸結於電子同虛光子之間的相互作用從而精確地預言了g 值3)。

4.4 水星的反常近日點進動

開普勒第一定律斷言行星的軌道是一個橢圓，那是個粗略的近似。行星的軌道並不是閉合的，其近日點會有一些移動， 稱為perihelion advance(圖3)。水星的反常近日點進動是科學史上的重要問題，注意這裡的反常不是指存在這樣的進動，而是說進動的尺度有點大(~5601''/百年，相對於地球)，即比基於已知行星(們)之存在用牛頓力學計算的結果要大約43''/百年。多種方案被提出來解釋這個反常，除了再引入更多的其它天體，還包括牛頓引力定律以外的引力定律選擇(an alteration of Newton's law of gravitation)。後來，愛因斯坦的廣義相對論解釋了這個反常進動，無需引入任何莫名其妙的因素(fudge factors)，這算是愛因斯坦理論正確的證據之一。不過，別的方案也還沒有被完全放棄。

圖3 行星的近日點進動

說到反常，水表現出諸多反常性質，比如一般見到的冰(固體水)會浮在水面上；水的表面比體內緻密；液態水可在很低溫度下存在且加熱會凝固；熱水可能比冷水結冰快，等等。這些所謂的性質反常，只是表明水和別的液體不太相同而已。考慮到氫離子的特殊性以及水的團簇結構，這些反常就顯得正常多了。其實，放到更大的物理參數空間，反常的比重會降低很多。比如冰會浮在水面上，指的只是Ih相的冰而已，其它已確立的十多種冰相可是都比水沉的。

4.6 反常色散

人們熟知的正常色散關係(normal dispersion)是折射率隨頻率的增加而增大，這發生在材料沒有強烈光吸收的頻率範圍。當發生強烈光吸收時，折射率可能會隨著頻率的增加而減小， 此謂之反常色散(anomalous dispersion)。類似的所謂反常物理現象，基本上都是些雞毛蒜皮的小事。反常說得多了，還會出現anomalous normal state 這樣的表述。順便說一句。Exotic 出現在exotic differentiable structures on Euclidean 4-dimensional space 中的exotic 也會被漢譯為反常的、怪異的。它的本意是外來的(因此顯得有點不一樣)，試比較une plante exotique(外來植物)和une plante indigène(本地植物)。

物理概念中的abnormal，irregular，extraordinary，anomalous 是相對於已知或預期而言的，當放到更大的層面上去看，或者未知的因素被找到，或者被用更正確的理論來理解，那些曾經的反常現象都變得非常自然合理。有時，反常可能是人為帶入的，都不能算是物理現象的一部分。規範理論計算若對邊界條件的規範依賴處理不當會帶來一些「反常」，如何避免這類反常竟然成了規範理論分類的指標，也算一件趣聞。如果說從前的物理學家構造那麼多反常概念是因為眼皮子淺的話，今天再遇到新現象就立馬以反常加以渲染就未必合適了，畢竟太陽底下無新鮮事。存在就是合理的，物理的世界里沒有反常。希臘語的物理， φυσική， 就是自然φύσις，所謂「物理即自然」(《鹽井》)，這道理杜甫老師都懂。

1) 太陽底下沒有新鮮事。也寫作Nihil novi sub sole。

2) 音樂術語中，Normal modes又稱為harmonics，overtones。譯法很亂，此處不討論。

3) 我不太相信什麼測量和理論精確符合到小數點後面十幾位的說法。沒那麼準確，也沒必要那麼準確。

本文由微信公眾號「物理學會期刊網」授權轉載。

編輯：huashan

1. 電荷的本質是什麼？

2. 數學競賽史上最玩命的「賭徒」，用一個字換來五屆IMO總分第一

3. 通往化學世界的地圖

4. 快轉給你的父母，告訴他們輻射的真相！| SciFM Vol.04

5. 關於銀河系，竟然還有這樣有趣的十個事實！

6. 膽小慎入→_→這或許是夏天你最討厭的東西 | 線上科學日

7. 刷爆朋友圈的量子計算機，背後究竟蘊含怎樣厲害的工作？

8. 古代數學只有一個關鍵字，你知道嗎？

9. 甜咸之爭放一放，粽子為啥長這樣？

10. 可燃冰的自白：五萬公里黑不倒 我為人類續一秒

點此查看以往全部熱門文章