(一)數的認識
整數【正數、0、負數】
一、一個物體也沒有,用0表示。0和1、2、3……都是自然數。自然數是整數。
二、最小的一位數是1,最小的自然數是0。
三、零上4攝氏度記作+4℃;零下4攝氏度記作-4℃。「+4」讀作正四。「-4」讀作負四。 +4也可以寫成4。
四、像 +4、19、+8844這樣的數都是正數。像-4、-11、-7、-155這樣的數都是負數。
五、0既不是正數,也不是負數。正數都大於0,負數都小於0。
六、通常情況下,比海平面高用正數表示,比海平面低用負數表示。
七、通常情況下,盈利用正數表示,虧損用負數表示。
八、通常情況下,上車人數用正數表示,下車人數用負數表示。
九、通常情況下,收入用正數表示,支出用負數表示。
十、通常情況下,上升用正數表示,下降用負數表示。
小數【有限小數、無限小數】
一、分母是10、100、1000……的分數都可以用小數表示。一位小數表示十分之幾,兩位小數表示百分之幾,三位小數表示千分之幾……
二、整數和小數都是按照十進位計數法寫出的數,個、十、百……以及十分之一、百分之一……都是計數單位。每相鄰兩個計數單位間的進率都是10。
三、每個計數單位所佔的位置,叫做數位。數位是按照一定的順序排列的。
四、小數的性質:小數的末尾添上「0」或去掉「0」,小數的大小不變。
五、根據小數的性質,通常可以去掉小數末尾的「0」,把小數化簡。
六、比較小數大小的一般方法:先比較整數部分的數,再依次比較小數部分十分位上的數,百分位上的數,千分位上的數,從左往右,如果哪個數位上的數大,這個小數就大。
七、把一個數改寫成用「萬」或「億」作單位的數,在萬位或億位右邊點上小數點,再在數的後面添寫「萬」字或「億」字。
八、求小數近似數的一般方法:1先要弄清保留幾位小數;2根據需要確定看哪一位上的數;3用「四捨五入」的方法求得結果。
九、整數和小數的數位順序表:
分數【真分數、假分數】
一、把單位「1」平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數叫做分數。表示其中一份的數,是這個分數的分數單位。
二、兩個數相除,它們的商可以用分數表示。即:a÷b=b/a(b≠0)
三、小數和分數的意義可以看出,小數實際上就是分母是10、100、1000…的分數。
四、分數可以分為真分數和假分數。
五、分子小於分母的分數叫做真分數。真分數小於1。
六、分子大於或等於分母的分數叫做假分數。假分數大於或等於1。
七、分子和分母只有公因數1的分數叫做最簡分數。
八、分數的基本性質:分數的分子和分母同時乘或除以相同的數(零除外),分數的大小不變。
九、小數的性質和分數的基本性質一致的,應用分數的基本性質,可以通分和約分。
百分數【稅率、利息、折扣、成數】
一、表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數。百分數也叫百分率或百分比,百分數通常用「%」表示。
分 數 | 可以表示具體數量,可以有單位名稱 | 表示兩個數之間的關係 |
百分數 | 不可以表示具體數量,不可以有單位名稱 |
三、分數、小數、百分數的互化。
(1)把分數化成小數,用分數的分子除以分母。
(2)把小數化成分數,先改寫成分母是10、100、1000……的分數,再約分。
(3)把小數化成百分數,先把小數點向右移動兩位,然後添上百分號。
(4)把百分數化成小數,先去掉百分號,然後把小數點向左移動兩位。
(5)把分數化成百分數,先把分數化成小數(除不盡時通常保留三位小數),再把小數化成百分數。
(6)把百分數化成分數,先把百分數改寫成分數,能約分的要約成最簡分數。
四、熟記常用三數的互化。
五、
1、出勤率表示出勤人數佔總人數的百分之幾。
2、合格率表示合格件數佔總件數的百分之幾。
3、成活率表示成活棵數佔總棵數的百分之幾。
六、求一個數比另一個數多百分之幾,就是求一個數比另一個數多的占另一個數的百分之幾。
七、1、多的÷「1」=多百分之幾 2、少的÷「1」= 少百分之幾
八、應得利息是稅前利息,實得利息是稅後利息。
九、利息 = 本金 × 利率 × 時間
十、應得利息 -利息稅 = 實得利息
十一、幾折表示十分之幾,表示百分之幾十;几几折表示十分之幾點幾,表示百分之幾十幾。
十二、
1、原價×折扣=現價
2、現價÷原價=折扣
3、現價÷折扣=原價
十三、幾成表示十分之幾表示百分之幾十;幾成幾表示十分之幾點幾,表示百分之幾十幾。
因數與倍數【素數、合數、奇數、偶數】
一、4 × 3 = 12,12是4的倍數,12也是3的倍數,4和3都是12的因數。
二、一個數最小的倍數是它本身,沒有最大的倍數。一個數倍數的個數是無限的。
三、一個數最小的因數是1,最大的因數是它本身。一個數因數的個數是有限的。
四、5的倍數:個位上的數是5或0。
2的倍數:個位上的數是2、4、6、8或0。2的倍數都是雙數。
3的倍數:各位上數的和一定是3的倍數。
五、是2的倍數的數叫做偶數。不是2的倍數的數叫做奇數。
六、一個數,如果只有1和它本身兩個因數,這樣的數就叫做素數(或質數)。
七、一個數,如果除了1和它本身還有別的因數,這樣的數就叫做合數。
八、在1—20這些數中: (1既不是素數,也不是合數)
奇數:1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。
偶數:2、4、6、8、10、12、14、16、18、20。
素數:2、3、5、7、11、13、17、19。(共8個,和為77。)
合數:4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。(共11個,和為132。)
九、最小的奇數是1,最小的偶數是0,最小的素數是2,最小的合數是4。
十、如果兩個數是倍數關係,則大數是最小公倍數,小數是最大公因數。
十一、如果兩個數只有公因數1,則最大公因數是1,最小公倍數是它們的乘積。
(二)數的運算
計演算法則【整數、小數、分數】
一、計算整數加、減法要把相同數位對齊,從低位算起。
二、計算小數加、減法要把小數點對齊,從低位算起。
三、小數乘法:1、先按整數乘法算出積是多少,看因數中一共有幾位小數,就從積的右邊起數出幾位,點上小數點。
2、注意:在積里點小數點時,位數不夠的,要在前面用0補足。
四、小數除法:
1、商的小數點要和被除數的小數點對齊;
2、有餘數時,要在後面添0,繼續往下除;
3、個位不夠商1時,要在商的整數部分寫0,點上小數點,再繼續除。
4、把除數轉化成整數時,除數的小數點向右移動幾位,被除數的小數點也要向右移動幾位。
5、當被除數的小數位數少於除數的小數位數時,要在被除數的末尾用0補足。
五、一個小數乘10、100、1000……只要把這個小數的小數點向右移動一位、兩位、三位……
六、一個小數除以10、100、1000……只要把這個小數的小數點向左移動一位、兩位、三位……
七、分數加、減法:1同分母分數相加減,把分子相加減,分母不變。2異分母分數相加減,要先通分化成同分母分數,然後再相加減。
八、分數大小的比較:1同分母分數相比較,分子大的大,分子小的小。2異分母的分數相比較,先通分然後再比較;若分子相同,分母大的反而小。
九、分數乘分數,用分子相乘的積作分子,分母相乘的積作分母。
十、甲數除以乙數(0除外),等於甲數乘乙數的倒數。
四則運算關係
加法 | 一個加數 = 和-另一個加數 |
乘法 | 一個因數 = 積 ÷ 另一個因數 |
兩個規律
一、除法的商不變規律:被除數和除數同時乘或除以相同的數(0除外),商不變。
二、乘法的積不變規律:如果一個因數乘幾,另一個因數則除以幾,那麼它們的積不變。
簡便計算
二、乘、除法的互化。(小技巧:符號是相反的;兩個數相乘得「1」。)
(1)A÷0.1=A×10(2)A×0.1=A÷10 | (7)A÷0.01=A×100; (8)A×0.01=A÷100 |
(3)A÷0.2=A×5(4)A×0.2=A÷5 | (9)A÷0.25=A×4 (10)A×0.25=A÷4 |
(5)A÷0.5=A×2(6)A×0.5=A÷2 | (11)A÷0.125=A×8 (12)A×0.125=A÷8 |
三、求近似數的方法。
①四捨五入法。 ②進一法。 ③去尾法。
四、積與因數、商與被除數的大小比較:
數量關係
(三)式與方程
用字母表示數
一、在一個含有字母的式子里,數字和字母、字母和字母相乘時,中間的乘號可以記作「· 」,也可以省略不寫。在省略數字與字母之間的乘號時,要把數字寫在字母的前面。
二、2a與a2意義不同:2a表示兩個a相加,a2表示兩個a相乘。即:2a=a+a,a2= a×a。
三、用字母表示數:
①用字母表示任意數:如X=4 a=6
②用字母表示常見的數量關係:如s=vt
③用字母表示運算定律:如a+b=b+a
④用字母表示計算公式:S=ah
方程與等式
一、含有未知數的等式叫做方程。
二、使方程左右兩邊相等的未知數的值,叫做方程的解。
三、求方程的解的過程,叫做解方程。
聯 系 | 方程一定是等式,等式不一定是方程 |
五、等式的基本性質(一): 等式兩邊同時加上(或減去)一個相同的數,所得結果仍然是等式。
六、等式的基本性質(二): 等式兩邊同時乘(或除以)一個不等於零的數,所得結果仍然是等式。
七、列方程解應用題的一般步驟:
①弄清題意,找出未知數並用X表示。
②找出應用題中數量間的相等關係,並列出方程。
③求出方程的解。
④檢驗或驗算,寫出答案。
比與比例的區別 | 1、意義不同 | 比的意義 | 兩個數相除又叫做兩個數的比。 |
比例的意義 | 表示兩個比相等的式子叫做比例。 | ||
2、名稱不同 | 比的名稱 | 兩點讀作比,比號前面的數叫做比的前項,比號後面的數叫做比的後項。 | |
比例的名稱 | 組成比例的四個數叫做比例的項,兩端的兩項叫做比例的的外項,中間的兩項叫做比例的內項。 | ||
3、性質不同 | 比的性質 | 比的前項和後項同時乘或者除以相同的數(0除外),比值不變。 | |
比例的性質 | 在比例里,兩個外項的積等於兩個內項的積。 | ||
4、應用不同 | 應用比的意義 | 求比值。 | |
應用比的性質 | 化簡比。 | ||
應用比例的意義 | 判斷兩個不能否組成比例。 | ||
應用比例的性質 | 不但可以判斷兩個比能否組成比例,還可以解比例。 | ||
一 般 方 法 | 結 果 | ||
求比值 | 根據比值的意義,用前項除以後項。 | 是一個數。可以是整數、小數或分數。 | |
化簡比 | 根據比的基本性質,把比的前項和後項都乘或除以相同的數(零除外)。 | 是一個比。它的前項和後項都是整數,並且是互質數。 |
四、化簡比:
①整數比的化簡方法是:用比的前項和後項同時除以它們的最大公約數。
②小數比的化簡方法是:先把小數比化成整數比,再按整數比化簡方法化簡。
③分數比的化簡方法是:用比的前項和後項同時乘以分母的最小公倍數。
五、比例尺:我們把圖上距離和實際距離的比叫做這幅圖的比例尺。
六、比例尺=圖上距離︰實際距離 比例尺 = 圖上距離 / 實際距離
正比例、反比例
一、正比例:兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應的兩個數的比值(也就是商)一定,這兩種量就叫做成正比例的量,它們的關係就叫做正比例關係。
二、反比例:兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定,這兩種量就叫做成反比例的量,它們的關係就叫做反比例關係。
相 同 點 | 都有兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化。 | |
不 同 點 | 商一定y/x= k(一定) | 積一定x×y=k(一定) |
(一)圖形的認識、測量
量的計量
一、長度單位是用來測量物體的長度的。常用的長度單位有:千米、米、分米、厘米、毫米。
二、長度單位:
1千米=1000米 | 1米=10分米 |
1分米=10厘米 | 1厘米=10毫米 |
1米=100厘米 | 1米=1000毫米 |
三、面積單位是用來測量物體的表面或平面圖形的大小的。常用面積單位:平方千米、公頃、平方米、平方分米、平方厘米。
四、測量和計算土地面積,通常用公頃作單位。邊長100米的正方形土地,面積是1公頃。
五、測量和計算大面積的土地,通常用平方千米作單位。邊長1000米的正方形土地,面積是1平方千米。
六、面積單位:(100)
七、體積單位是用來測量物體所佔空間的大小的。常用的體積單位有:立方米、立方分米(升)、立方厘米(毫升)。
1立方米=1000立方分米 | 1立方分米=1000立方厘米 |
1升=1000毫升 |
九、常用的質量單位有:噸、千克、克。
十、質量單位:
1噸=1000千克 | 1千克=1000克 |
十一、常用的時間單位有:
世紀、年、季度、月、旬、日、時、分、秒。
十二、時間單位:(60)
1世紀=100年 | 1年=12個月 |
1年=4個季度 | 1個季度=3個月 |
1個月=3旬 | 大月=31天 |
小月=30天 | 平年二月=28天 |
閏年二月=29天 | 1天=24小時 |
1小時=60分 | 1分=60秒 |
十三、高級單位的名數改寫成低級單位的名數應該乘以進率;低級單位的名數改寫成高級單位的名數應該除以進率。
十四、常用計量單位用字母表示:
平面圖形【認識、周長、面積】
一、用直尺把兩點連接起來,就得到一條線段;把線段的一端無限延長,可以得到一條射線;把線段的兩端無限延長,可以得到一條直線。線段、射線都是直線上的一部分。線段有兩個端點,長度是有限的;射線只有一個端點,直線沒有端點,射線和直線都是無限長的。
二、從一點引出兩條射線,就組成了一個角。角的大小與兩邊叉開的大小有關,與邊的長短無關。角的大小的計量單位是(°)。
三、角的分類:小於90度的角是銳角;等於90度的角是直角;大於90度小於180度的角是鈍角;等於180度的角是平角;等於360度的角是周角。
四、相交成直角的兩條直線互相垂直;在同一平面不相交的兩條直線互相平行。
五、三角形是由三條線段圍成的圖形。圍成三角形的每條線段叫做三角形的邊,每兩條線段的交點叫做三角形的頂點。
六、三角形按角分,可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。
按邊分,可以分為等邊三角形、等腰三角形和任意三角形。
七、三角形的內角和等於180度。
八、在一個三角形中,任意兩邊之和大於第三邊。
九、在一個三角形中,最多只有一個直角或最多只有一個鈍角。
十、四邊形是由四條邊圍成的圖形。常見的特殊四邊形有:平行四邊形、長方形、正方形、梯形。
十一、圓是一種曲線圖形。圓上的任意一點到圓心的距離都相等,這個距離就是圓的半徑的長。通過圓心並且兩端都在圓的線段叫做圓的直徑。
十二、有一些圖形,把它沿著一條直線對摺,直線兩側的圖形能夠完全重合,這樣的圖形就是軸對稱圖形。這條直線叫做對稱軸。
十三、圍成一個圖形的所有邊長的總和就是這個圖形的周長。
十四、物體的表面或圍成的平面圖形的大小,叫做它們的面積。
十五、平面圖形的面積計算公式推導:
【1】平行四邊形面積公式的推導過程?
①把平行四邊形通過剪切、平移可以轉化成一個長方形。②長方形的長等於平行四邊形的底,長方形的寬等於平行四邊形的高,長方形的面積等於平行四邊形的面積。
③因為:長方形面積=長×寬,所以:平行四邊形面積=底×高。即:S=ah。
【2】三角形面積公式的推導過程?
②平行四邊形的底等於三角形的底,平行四邊形的高等於三角形的高,三角形面積等於和它等底等高的平行四邊形面積的一半
③因為:平行四邊形面積=底×高,所以:三角形面積=底×高÷2。 即:S=ah÷2。
【3】梯形面積公式的推導過程?
①用兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形。
②平行四邊形的底等於梯形的上底和下底的和,平行四邊形的高等於梯形的高,梯形面積等於平行四邊形面積的一半。
③因為:平行四邊形面積=底×高,所以:梯形面積=(上底+下底)×高÷2。即:S=(a+b)h÷2。
【4】畫圖說明圓面積公式的推導過程
①把圓分成若干等份,剪開后,拼成了一個近似的長方形。
②長方形的長相當於圓周長的一半,寬相當於圓的半徑。
③因為:長方形面積=長×寬,所以:圓面積=πr×r=πr2。即:S=πr2。
十六、平面圖形的周長和面積計算公式:
長方形周長 =(長+寬)× 2 | C = πd | S = πr2 |
長方形面積 = 長 × 寬 | C = 2πr | S =π2 |
正方形周長 = 邊長 × 4 | r= d÷2 | S=π2 |
正方形面積 = 邊長 × 邊長 | r=C ÷2π | |
平行四邊形面積 = 底 × 高 | d=2r | |
三角形面積 = 底 × 高 ÷ 2 | d=c ÷π | |
常用π值 | 常用平方數 | |
2π=6.28 | 12π=37.68 | 12= 1 |
3π=9.42 | 15π=47.1 | 22=4 |
4π=12.56 | 16π=50.24 | 32=9 |
5π=15.70 | 18π=56.52 | 42=16 |
6π=18.84 | 20π=62.8 | 52=25 |
7π=21.98 | 25π= 78.5 | 62=36 |
8π=25.12 | 32π=100.48 | 72=49 |
9π=28.26 | 2.25π=7.065 | 82=64 |
10π=31.4 | 6.25π=19.625 | 92=81 |
立體圖形【認識、表面積、體積】
一、長方體、正方體都有6個面,12條棱,8個頂點。正方體是特殊的長方體。
二、圓柱的特徵:一個側面、兩個底面、無數條高。
三、圓錐的特徵:一個側面、一個底面、一個頂點、一條高。
四、表面積:立體圖形所有面的面積的和,叫做這個立體圖形的表面積。
五、體積:物體所佔空間的大小叫做物體的體積。容器所能容納其它物體的體積叫做容器的容積。
六、圓柱和圓錐三種關係:
②等底等體積:高1︰3
③等高等體積:底面積1︰3
①圓錐體積是圓柱的1/3,
②圓柱體積是圓錐的3倍,
③圓錐體積比圓柱少2/3,
④圓柱體積比圓錐多2倍。
八、等底等高的圓柱和圓錐:錐1、差2、柱3、和4。
九、立體圖形公式推導:
①圓柱的側面展開后一般得到一個長方形。
②長方形的長相當於圓柱的底面周長,長方形的寬相當於圓柱的高。
③因為:長方形面積=長×寬,所以:圓柱側面積=底面周長×高。
④圓柱的側面展開后還可能得到一個正方形。
正方形的邊長=圓柱的底面周長=圓柱的高。
【2】我們在學習圓柱體積的計算公式時,是把圓柱轉化成以前學過的一種立體圖形(近似的)進行推導的,請你說出這種立體圖形的名稱以及它與圓柱體有關部分之間的關係?
①把圓柱分成若干等份,切開后拼成了一個近似的長方體。
②長方體的底面積等於圓柱的底面積,長方體的高等於圓柱的高。
③因為:長方體體積=底面積×高,所以:圓柱體積=底面積×高。即:V=Sh。
【3】請畫圖說明圓錐體積公式的推導過程?
①找來等底等高的空圓錐和空圓柱各一隻。②將圓錐裝滿沙子,倒入圓柱中,發現三次正好裝滿,將圓柱里的沙子倒入圓錐中,發現三次正好倒完。
③通過實驗發現:圓錐的體積等於和它等底等高的圓柱體積的三分之一;圓柱的體積等於和它等底等高的圓錐體積的三倍。即:V=1/3Sh。
名稱 | 計算公式 |
長方體棱長總和 | 長方體棱長總和 = (長+寬+高)× 4 |
長方體表面積 | 長方體表面積=(長×寬+長×高+寬×高)×2 |
長方體體積 | 長方體體積=長×寬×高 |
正方體棱長總和 | 正方體棱長總和=棱長×12 |
正方體表面積 | 正方體表面積=棱長×棱長×6 |
正方體體積 | 正方體體積=棱長×棱長×棱長 |
圓柱體側面積 | 圓柱體側面積=底面周長×高 |
圓柱體表面積 | 圓柱體表面積=側面積+底面積×2 |
圓柱體體積 | 圓柱體體積=底面積×高 |
圓錐體體積 | 圓錐體體積=Sh |
(二)圖形與變換
一、變換圖形位置的方法有平移、旋轉等,在變換位置時,每個圖形的相應頂點、線段、曲線應同步平移,旋轉相同的角度。
二、不改變圖形的形狀,只改變它的大小時,通常要使每個圖形的要素,如長方形的長與寬,三角形的底與高等同時按相同比例放大或縮小。
三、對稱圖形是對稱軸兩邊的圖形經對摺后能夠完全重合,而不是完全相同。
(三)圖形與位置
一、當我們處在實際生活及情景中,面對教短距離時,通常用上、下、前、後來描述具體位置。
二、當我們面對地圖、方點陣圖時,通常用東、西、南、北,南偏東、北偏東……來描述方向。再結合所示比例尺計算出具體距離,把方向與距離結合起來確定位置。
(一)統 計
一、我們通常都是通過打勾、畫圓、划「正」字的方法進行數據的收集和整理。
二、常見的統計圖有條形統計圖、折線統計圖和扇形統計圖三種。
三、條形統計圖的特點:從圖中能清楚地看出各種數量的多少,便於比較。
四、折線統計圖的特點:不但能看出各種數量的多少,而且還能夠清楚地表示出數量增減變化的情況。
五、扇形統計圖的特點:表示各部分和總數之間,以及部分與部分之間的關係。
六、中位數、眾數、平均數
名稱 | 意義 | 計算方法 |
中位數 | 一組數中間的一個數或中間兩個數的平均數。 | 中間的一個數或中間兩個數的和÷2 |
眾數 | 一組數中出現次數最多的數。 | 出現次數最多的數 |
平均數 | 反映一組數的總體水平的數據。 | 平均數=總數÷份數 |
(二)可能性
一、
事件狀態 | 生活情景 | 數學情景 |
一定會發生 | 太陽從東方升起 | 從5個紅球中摸出一個紅球 |
一定不會發生 | 鴨子會講話 | 從5個紅球中摸出一個白球 |
可能發生 | 今天會下雨 | 從5個紅球,1個白球中摸出一個白球 |
二、在可能性相同的情況下,比賽遊戲規則是公平的。
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