各地中考難度差別有多大？——中考數學壓軸題略解（2）

重慶數學卷難度比較大，主要難在運算比較繁瑣。

2016年重慶卷

第18題：

第25題：

第26題：

與x軸交於A、B兩點（A左B右），與y軸交於C點，拋物線頂點為E。

（1）判斷△ABC的形狀

（2）直線BC交拋物線對稱軸於點D，點P為直線BC上方拋物線上一動點，當△PCD的面積最大時，點Q從點P出發，先沿適當的路徑運動到拋物線的對稱軸上點M處，再沿垂直於拋物線對稱軸的方向運動到y軸上的點N處，最後沿適當的路徑運動到點A處停止。當點Q的運動路徑最短時，求點N的坐標及點Q經過的最短路徑的長。

（3）平移拋物線，使拋物線的頂點E在射線AE上移動，點E平移后的對應點為點E′，點A的對應點為A′。將△AOC繞點O順時針旋轉至△A,OC,的位置，點A、C的對應點分別為A,、C,.且點A,恰好落在AC上，連接C,A′、C,E′。△A′C,E′是否能為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點E′的坐標，若不能，請說明理由。

（1）點A坐標（-√3，0）、B（3√3，0）、C（0，3），利用三角函數或勾股定理可以判斷△ABC為直角三角形。

（2）點E坐標（√3，4），D（√3，2）

Q點運動路徑長=PM+MN+AN，MN=√3，為定值，所以當PM+AN最小時，Q點運動路徑最短。

將PM向左平移√3個單位，則M點落在N點上，P點落在點P′(√3/2，15/4)

PM=P′N，當P′、N、A三點共線時，P′N+AN最小，點Q運動路徑最短。

直線AP′與x軸的交點坐標（0，5/2）即為題中所求N點坐標。圖中綠色線路即為點Q的最短運動路徑。

最短路徑長=P′A+√3=3√37/4+√3

（3）∠CAO=60°，△AA,O為等邊三角形，A,C,∥x軸。可求得C,坐標為（3√3/2，3/2）。

圖形平移后形狀、大小不變，所以A′E′=AE=2√7.

若△A′C,E′為等腰三角形，分類討論如下：

1）當A′C,=C,E′時

作C,K⊥AE，KR⊥x軸，利用△KAR與△KHC內的三角函數關係列二元方程組可求得點K坐標（√3/2，3），此時E′坐標為（3√3/2，5）。

2）當A′E′=C,E′時

用△E′AL內的三角函數關係與△C,E′J內的勾股關係列二元方程組，可求得點E′坐標[（√3+√39)/2，3+√13]

3）當A′E′=A′C,時

此時A′坐標與2）題中E′坐標相同，為[（√3+√39)/2，3+√13]，此時E′坐標為[（5√3+√39)/2，7+√13]。

此題也可以先求出直線AE解析式，設出A′、E′坐標，然後分類討論，解一元方程求值。