丘成桐：數學史與數學教育

作者簡介：丘成桐為美國哈佛大學數學與物理教授，美國科學院院士，科學院外籍院士，菲爾茲獎、克拉福德獎、沃爾夫獎得主。發展了強有力的偏微分方程技巧，使得微分幾何學產生了深刻的變革，解決了卡拉比（Calabi）猜想、正質量猜想等眾多難題，影響遍及理論物理和幾乎所有核心數學分支。籌資成立浙江大學數學科學研究中心、香港中文大學數學研究所、北京晨興數學中心和清華大學丘成桐數學科學中心等學術機構，並擔任主任；1998年創立世界華人數學家大會（ICCM），毎三年舉辦一次。由於對數學發展的突出貢獻，獲得2003年度中華人民共和國科學技術合作獎。科普著作有《大宇之形》（2012）、《從萬里長城到巨型對撞機》（2016）、《簡史：哈佛數學150年》（即將出版），主編科普雜誌《數理人文》和叢書《數學與人文》。

數學史的內容，除了它肩負的歷史意義外，也應當說明數學的有機發展，不只注意於數學本身，也要顧及數學的外緣，要問數學發生在怎樣環境之下，如何擴散出去。

先父談哲學史的說法可用在數學史上，因此數學史的目的可歸納為三個：

一、求因

美國哲學家 Walter Mavin 在1917年出版的著作《歐洲哲學史》（The history of European philosophy, Macmillan, 1917）中寫道：「任何時代的哲學都是文明進程的產物，或是時代變遷的縮影。」數學思想的發生不是憑空而來，因此需要窮源溯委，闡明發生此種思想的原因。

二、明變

數學思想變化至繁，但有一定軌跡，所以需要找尋其發展的軌跡。

三、評論

我們要將各種數學思想加以客觀的評價，對它們對當時及後代的影響、產生何種價值，作評價后，可以幫忙學者發展自己的想法。

舉個例子，我們約略談談數學史。從前人們總會談到伏羲，隸首，河圖，洛書這些史實不詳的人物和事情，然而真正重要的古代算學書籍是《九章算術》、《周髀算經》和《孫子算經》，尤以九章為最重要。大略而言，此書非一時一人之作，成書當在漢初，劉徽在公元263年為之作注，已經談到秦末漢初時張蒼為之刪補。而東漢鄭玄、馬續則傳述此書。劉徽的註疏可能比原書更為重要，此書涉及二次方程，聯立線性方程，勾股定理，圓與球之面積和體積，劉徽是第一個證明勾股定理的數學家。

孫子算經大約為東漢人所作，這是記載「物不知數」的算經，率先給出剩餘定理，這可說是算學史上最偉大的創作。這個定理從命題到應用都由學者首先提出，其重要性影響至今。

劉徽以3為圓周率，至祖沖之（南朝人，公元429至500年）則算圓周率至3.141592，這確是一個重要的工作，其方法與阿基米德相同。以後唐朝有王孝通著《緝古算經》，談到二次和三次方程，然而未提解法。

祖沖之

南宋和元朝期間（十三世紀至十三世紀末葉）則有李治、秦九韶、楊輝、朱世傑等傑出數學家。楊輝發現帕斯卡三角形定理，秦九韶發現霍納演算法，都比帕斯卡和霍納早四五百年。總括來說，這一段時間數學以代數為主，尚有天元和四元術的發展。與阿拉伯和印度數學家應當有一定的來往，但需要更多的考證。

秦九韶（左）、楊輝（右）

明清的數學與西方相差太遠，無可觀者。明末利瑪竇和徐光啟才開始翻譯歐幾里得幾何原本前六章。而學者雖然仰慕幾何原本的推理方法，卻無力吸取其精髓。到十九世紀初葉，李善蘭才將幾何原本全部譯出。

利瑪竇和徐光啟

李善蘭

清朝數學家卻花了不少時間去整理數學古籍，一方面可以看到清代文字獄的影響，一方面也可以隱約的看出學者心存「夷夏之分」抗拒西方的思想。

當西方文藝復興、百家爭鳴的時候，明清政府卻大力箝制思想，明成祖為了證明自己的正統，誅殺方孝孺，「天下讀書種子，從此滅矣」。數學和有學問的數學家一直到近代才得到比較多的尊重。

在西方船堅炮利的恐嚇下，日本明治天皇謙虛的向西方學習，而則有義和拳、大躍進和文化大革命。延至今日，還是不願意接受客觀而理性的判斷方法。「家有弊帚，享以千金，斯不自見之患也。」這是今日數學遠不如西方的一個原因。

縱觀數學發展，基本上尊崇儒家「學以致用」的想法，對應用科學背後的基本規律研究興趣並不大，反而從莊子、墨子和名家的著作中，可以看到比較抽象和無窮逼近法的觀念。

公孫龍：「一尺之棰，日取其半，萬世不竭。」但是這種觀念在實際運算上沒有表現出來，到劉徽和祖沖之才用這種方法來計算圓周率。九章算術的寫作是用例子來解釋數學，讀者沒有辦法知道這些例子有多廣泛，更不知道他們的證明。模稜兩可的態度可說是科學的弊病。

在某種意義上，古代數學的主要活動始終停留在實驗科學的層次上，數學家對證明定理的興趣不大。我們的文化建立在人治的觀點上，以家庭、以宗族為出發點，大概沒有考慮過一切複雜的數學現象，可以用幾條簡單顯而易見的公理來推導，這與希臘數學家的態度有顯著的不同。

畢達哥拉斯學派（公元前五百多年）以為天地萬物都可以用數字來表示，他們率先指出假設和證明的重要性。在公元前三百年，歐幾里得的公理就清楚的指出一切平面幾何定理可以由少數公理推出，這可能是歐幾里得搜集了幾百年來幾何發展得出的結論。

畢達哥拉斯雕像

歐氏公理影響了整個科學的發展，在物理科學上引導了牛頓的三大定律和現代的統一場論。在數學上它使我們知道我們發現的定理並非互不關聯的事實，他們都可以由幾條簡易公理來推導。希臘學者在兩千多年前已經為科學文明奠定了牢固的基礎。

數學家歷來對歐氏公理有很濃厚的興趣，其主要的原因是歐氏公理找到了平面幾何的精髓。以簡御繁，才能搞清楚我們創造出來的數學概念的真正意義。畫家畫山水畫，也是想用簡單的筆法將畫家心中的感覺表現出來。在很少幾個公理的前提下，推導出來的結果，才能表達這些公理的內蘊意義。這個看法有如文學家作詩寫文，乾淨利落，從簡潔處看到作品的意境。近代數學的發展也往往在極為複雜的數學問題中，找到它精華的一部分來獨立發展，完成一個可以概括很多現象的結構。數學家不大熟悉這樣子的手段，堂廡不夠宏大。

在數學每一個重要的環節上都搞清楚后，就需要考慮它們交叉的意義和內容，就如一個交響樂團由不同的樂器和音樂家組合而成，由一個掌控全盤的音樂家來指揮。文學創作里的紅樓夢也是如此：從很多不同的環節組合而成，這些環節有詩，有詞，有祭文，各有重要的特色，而又環環相扣。在數學上，也是如此：數學家證明了