流體動力學先驅：斯托克斯

■蕭如珀、楊信男/譯

■原標題：《1819年 8月13日：流體動力學先驅 斯托克斯的誕生》

1998 年，科技創投與金融巨孹克雷 （L. Clay）捐助成立了克雷數學研究所， 此私人研究所在 2000 年 6 月宣布設置千禧年大獎，給解答任一七大數學難題的 人，每人1百萬美元的獎金。其中的第四難題是要證明流體動力學中最重要的方程式——納維 - 斯托克斯方程（Navier-Stokes equation）是否有解，且為唯一。這個宣布將斯托克斯（G. Stokes）從大學物理和數學的教科書中，推到一般大眾的面前。

斯托克斯

1819 年8月13 日， 斯托克斯出生於愛爾蘭北部濱海的斯來哥郡史格林教區（Skreen, Sligo County），父親是教區長，母親也來自教區長的家庭， 所以家庭宗教氣息濃厚，生活美滿。斯托克斯是 8個小孩中的老么，他的三個哥哥長大后都成為牧師。

斯托克斯從小由父親與教會人士教導，1832 年才 被送到都伯林接受學校教育，顯現出不凡的幾何能力。 3 年後，斯托克斯到布里斯托學院（Bristol College） 就讀。學院院長是數學家，也是斯托克斯的哥哥在劍 橋念書的同學，對斯托克斯的數學天份非常驚訝，力勸他哥哥送他到劍橋深造。1837 年，斯托克斯終於獲得獎學金進入劍橋大學彭布羅克學院（Pembroke College），終其一生均未離開。

在劍橋的第二年，斯托克斯開始接受名師霍普金 斯（W. Hopkins）的私下指導。霍普金斯以培養頂尖 的數學學生聞名，斯托克斯在他的指導下，很快地於 1841 年在劍橋的數學榮譽學程中以第一名畢業。彭布羅克學院馬上給他研究員的職位，而他也在霍普金斯的建議下，開始從事流體動力 學方面的研究。

由於流體現象與人們的生活關係密切，所以很早人類就對它關心好奇，其中 最早的理論首推阿基米德（Archimedes） 的浮力原理。自羅馬帝國迄中世紀，雖然 在溝渠和水車方面的建造有不少創新，但 在理論上並未超越阿基米德。

文藝復興時期達芬奇（L. da Vinci）開啟對水力 現象比較具體且精確的觀測，提出了如開口與壓力 的關係、流量守恆、以及渦流現象等；托里拆利（E. Torricelli）導出液體從容器出口流出的速率公式，解 釋氣壓計的原理；及至帕斯卡（B. Pascal）指出壓力 的均向性后，流體靜力學終至大成。

牛頓力學提供了處理流體動態行為的理論架構， 《自然哲學之數學原理》第二冊即是專門討論物體在有阻力流體中的運動，以及流體靜力學和可壓縮流體的性質。1738 年，伯努利（D. Bernoulli）出版了《流體動力學》，首次提出在穩定流動的流體中，壓力、速度和高 度之間的關係式，就是今日通稱的伯努利定理。

1775 年，歐拉（L. Euler）導出了不導熱、無黏性理想流體的運動方程式。雖然歐拉方程式的非線性 本質既難解又不易應用，但 19 世紀的歐洲對於航行活動越來越重視，所以對流體動力學以及歐拉理論更 加重視。

斯托克斯於 1842 和 1843 年相繼發表了二篇論文，討論不可壓縮流體的穩定流動。之後他進一步考慮有黏性流體的運動，在 1845 年發表了論文「論有內部摩擦力流體之運動」。在發表此論文之前，斯托克斯發現法國的工程師納維（C. Navier）已在 1822 年寫下相同的方程式。不過納維的推論帶有推測性，而斯托 克斯則是基於不同的假設嚴格推導出來的。因此，他最後還是決定將論文發表出來，此方程式現今被通稱為納維 - 斯托克斯方程。

納 - 斯方程不僅在物理方面，如渦漩、紊流、混沌，而且在工程方面如飛機和汽車的設計、管內水流， 以及氣象和洋流等方面都很重要。但由於它太複雜， 目前我們只知道一些簡單二維情況下的解，其他情況均有賴近似的數值方法去求解，這是會將它列為七大千禧難題之一的原因。

千禧年大獎激勵了數學家積極投入納 - 斯方程是否有解的證明，近幾年來便有幾個數學家宣布解決了此難題，而被媒體廣泛的報導，但最後都被找出了錯誤。

1846 年，斯托克斯在英國科學促進協會發表《流 體動力學最新研究報告》，廣受學界的推崇，各項榮譽與演講接踵而來；1849 年，他被任命主持劍橋盧 卡斯數學講座（Lucasian chair of mathematics），1851 年獲選入皇家學會，1852 年獲得倫福德獎章（Rumford medal），1854 年起擔任皇家學會秘書長等。

斯托克斯的研究範圍很廣泛，除了流體動力學之外，在物理領域包括光學、熒光、天體軌道和以太上都有重要貢獻，現在用以標示光極化態的斯托克斯參數即是他於1852年所提出的。此外，劍橋卡文迪許實驗室的設立，斯托克斯厥功至偉。

至於向量微積分書上必提的斯式定理，有著兩 位好友的故事。物理大師湯姆孫（W. Thomson，后 受封為開爾文男爵）小斯托克斯 11 歲，從學生時期 開始常向斯托克斯請教，兩人成了莫逆之交。湯姆孫在偶然機會獲得了一本當時鮮為人知的格林（G. Green）論文集，將其中一個定理延伸至三維情況， 在 1850 年寄給斯托克斯。斯托克斯於 1854 年將其當作史密斯獎數學競試的題目，使得開爾文定理被稱為斯式定理。

斯托克斯個性簡樸、謙遜又虔誠，他遲至 43 歲才結婚。斯托克斯在寫給未婚妻的信中經常使用數學名詞來形容他的感情，導致未婚妻一度想退婚。兩人婚後育有 5 名子女。

斯托克斯結婚後逐漸忙於行政工作，除了校務、劍橋國會議員代表和皇家學會秘書長外，並於 1887~1892 年間擔任皇家學會會長。他是英國史上除了牛頓以外，唯一曾任皇家學會秘書長、會長以及盧卡斯數學講座三個職位的人，1889 年被冊封為男爵。