這道數學題可以是天堂，也可以是地獄

先看題

一個自然數N共有9個約數，而N－1恰有8個約數。滿足條件的自然數中，最小的是多少？

課堂上講約數倍數，也就是講到質因數分解。所以，看到這樣不熟悉的題目，是不是有點厭惡？

我們先從約數好玩的地方講起。

我們知道，約數總是一對對的。比如6等於2×3，還可以等於1×6，所以6的約數有1、2、3、6，1和6是一對，2和3是一對。

既然約數總是成對出現，那麼怎麼會有9個約數呢，那個單身狗是誰？

只有一種情況，如果一個約數乘以它本身，比如2×2，那麼它就不再需要別人了（聽起來好慘）。所以，完全平方數的約數有奇數個。比如4的約數有1、2、4，9的約數有1、3、9。

好吧，我們先解決了一個一般化的問題：什麼樣的數有奇數個約數，並且還舉出了約數為3個的例子：

可這樣，離解題還差的遠呢。別著急，我們可以一步步來，先看看什麼樣的數有5個約數。

有5個約數的數肯定也是一個完全平方數，也可以寫成這個樣子：

這裡，約數a一定不是一個質數，還可以再拆開。那麼，a會不會也是個完全平方數呢？比如a=b×b，

那麼自然數N就有從1到b的四次方的5個約數。像16的約數就有1、2、4、8、16。所以，四次方數的約數正好是5個（嚴格點說，是質數的四次方）。

有了這個例子，我們就可以依次寫出7個約數的自然數：

和9個約數的自然數：

我們現在找到了有9個約數的數，這個數是一個八次方數。但是這個數是題目里要求的，最小的那個嗎？

我們要檢查一下前面的解題過程，確認中間沒有差錯。在找5個約數時，我們猜測a也是一個平方數。那麼，如果a不是平方數呢？比如a=bc，

這樣的數正好也有9個約數！最小的例子就是36。

下面的事情就簡單了，只要按照題目的意思逐個測試就可以了。最小的那個符合條件的數是196（2平方×7平方），而195正好有8個約數。

在回顧總結整個題目的時候，如果對上圖的左邊部分稍微熟悉一點，會發現這道題居然是一道隱藏起來的組合問題。

如果自然數N有質因數a1到ai，每個質因數分別有n1到ni個，那麼從中任取若干個質因數的組合數就是N的約數數。

這道題不需要很難的知識或者技巧，國小五年級可以做，成年人也可以做，不同年齡和知識背景會有不同的收穫。如果有個半小時悠閑時間，用放鬆的心情推算，一定會有意思。

可惜，大多數小孩學這道題，是為了參加競賽。要在7、8分鐘里做完，還要保證正確率，最好的辦法，只有刷題。再好的頭腦，再靈活的思維，都不如記住「有9個約數的數是a的八次方或a平方乘b平方」拿分快。

所以，就像有首歌唱的，如果你愛你的小孩，讓他去學數學，因為數學是天堂，如果你恨你的小孩，讓他去學數學，因為數學是地獄。