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高中數學|函數必考知識點匯總

高中數學|函數必考知識點匯總

函數是聯考數學的基礎,又是重難點,今天小編把函數的幾大問題都列出來了。快點你收藏和分享吧~

一次函數

一、定義與定義式自變數x和因變數y有如下關係:y=kx+b 則此時稱y是x的一次函數。

特別地,當b=0時,y是x的正比例函數。即:y=kx (k為常數,k≠0)

二、一次函數的性質1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例,比值為k

即:y=kx+b (k為任意不為零的實數 b取任何實數)2.當x=0時,b為函數在y軸上的截距。

三、一次函數的圖像及性質

1.作法與圖形:通過如下3個步驟(1)列表;(2)描點;(3)連線,可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此,作一次函數的圖像只需知道2點,並連成直線即可。(通常找函數圖像與x軸和y軸的交點)2.性質:(1)在一次函數上的任意一點P(x,y),都滿足等式:y=kx+b。(2)一次函數與y軸交點的坐標總是(0,b),與x軸總是交於(-b/k,0)正比例函數的圖像總是過原點。3.k,b與函數圖像所在象限:當k>0時,直線必通過一、三象限,y隨x的增大而增大;當k<0時,直線必通過二、四象限,y隨x的增大而減小。當b>0時,直線必通過一、二象限;當b=0時,直線通過原點當b<0時,直線必通過三、四象限。特別地,當b=0時,直線通過原點O(0,0)表示的是正比例函數的圖像。這時,當k>0時,直線只通過一、三象限;當k<0時,直線只通過二、四象限。

四、一次函數在生活中的應用

1.當時間t一定,距離s是速度v的一次函數。s=vt。2.當水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。

二次函數

一、定義與定義表達式一般地,自變數x和因變數y之間存在如下關係:

y=ax²+bx+c(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,|a|還可以決定開口大小,|a|越大開口就越小,|a|越小開口就越大。)

則稱y為x的二次函數。

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

二、二次函數的三種表達式

一般式:y=ax²+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)頂點式:y=a(x-h)²+k [拋物線的頂點P(h,k)]

交點式:y=a(x-x?)(x-x?) [僅限於與x軸有交點A(x?,0)和 B(x?,0)的拋物線]

三、二次函數的圖像

在平面直角坐標系中作出二次函數y=x²的圖像,可以看出,二次函數的圖像是一條拋物線。

四、拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x= -b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)2.拋物線有一個頂點P,坐標為P( -b/2a ,(4ac-b²)/4a )當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ= b²-4ac=0時,P在x軸上。3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。5.常數項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交於(0,c)

反比例函數

形如 y=k/x(k為常數且k≠0) 的函數,叫做反比例函數。自變數x的取值範圍是不等於0的一切實數。反比例函數圖像性質:反比例函數的圖像為雙曲線。由於反比例函數屬於奇函數,有f(-x)=-f(x),圖像關於原點對稱。另外,從反比例函數的解析式可以得出,在反比例函數的圖像上任取一點,向兩個坐標軸作垂線,這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值,為|k|。

知識點:

1.過反比例函數圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段,這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為|k|。

2.對於雙曲線y=k/x ,若在分母上加減任意一個實數 (即 y=k/(x±m)m為常數),就相當於將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。(加一個數時向左平移,減一個數時向右平移)

對數函數

對數函數的一般形式為,它實際上就是指數函數 的反函數。因此指數函數里對於a的規定,同樣適用於對數函數。對數函數的圖形只不過的指數函數的圖形的關於直線y=x的對稱圖形,因為它們互為反函數。(1)對數函數的定義域為大於0的實數集合。(2)對數函數的值域為全部實數集合。(3)函數總是通過(1,0)這點。(4)a大於1時,為單調遞增函數,並且上凸;a小於1大於0時,函數為單調遞減函數,並且下凹。

(5)顯然對數函數無界。

指數函數

指數函數的一般形式為,從上面我們對於冪函數的討論就可以知道,要想使得x能夠取整個實數集合為定義域,則只有使得

可以得到:

(1) 指數函數的定義域為所有實數的集合,這裡的前提是a大於0,對於a不大於0的情況,則必然使得函數的定義域不存在連續的區間,因此我們不予考慮。(2) 指數函數的值域為大於0的實數集合。(3) 函數圖形都是下凹的。(4) a大於1,則指數函數單調遞增;a小於1大於0,則為單調遞減的。(5) 可以看到一個顯然的規律,就是當a從0趨向於無窮大的過程中(當然不能等於0),函數的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置,趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。(6) 函數總是在某一個方向上無限趨向於X軸,永不相交。(7) 函數總是通過(0,1)這點。

(8) 顯然指數函數無界。

奇偶性

一、定義

一般地,對於函數f(x)(1)如果對於函數定義域內的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那麼函數f(x)就叫做奇函數。(2)如果對於函數定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那麼函數f(x)就叫做偶函數。(3)如果對於函數定義域內的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立,那麼函數f(x)既是奇函數又是偶函數,稱為既奇又偶函數。(4)如果對於函數定義域內的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立,那麼函數f(x)既不是奇函數又不是偶函數,稱為非奇非偶函數。說明:①奇、偶性是函數的整體性質,對整個定義域而言②奇、偶函數的定義域一定關於原點對稱,如果一個函數的定義域不關於原點對稱,則這個函數一定不是奇(或偶)函數。(分析:判斷函數的奇偶性,首先是檢驗其定義域是否關於原點對稱,然後再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x)比較得出結論)③判斷或證明函數是否具有奇偶性的根據是定義

二、奇偶函數圖像的特徵

定理 奇函數的圖像關於原點成中心對稱圖表,偶函數的圖象關於y軸或軸對稱圖形。f(x)為奇函數《==》f(x)的圖像關於原點對稱點(x,y)→(-x,-y)奇函數在某一區間上單調遞增,則在它的對稱區間上也是單調遞增。偶函數 在某一區間上單調遞增,則在它的對稱區間上單調遞減。

三、奇偶函數運算

1.兩個偶函數相加所得的和為偶函數.2.兩個奇函數相加所得的和為奇函數.3.一個偶函數與一個奇函數相加所得的和為非奇函數與非偶函數.4. 兩個偶函數相乘所得的積為偶函數. 5.兩個奇函數相乘所得的積為偶函數.

6.一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積為奇函數.

值域

一、名稱定義

函數中,應變數的取值範圍叫做這個函數的值域函數的值域,在數學中是函數在定義域中應變數所有值的集合。常用的求值域的方法(1)化歸法(2)圖象法(數形結合)(3)函數單調性法(4)配方法(5)換元法(6)反函數法(逆求法)(7)判別式法(8)複合函數法(9)三角代換法(10)基本不等式法等

二、關於函數值域誤區

定義域、對應法則、值域是函數構造的三個基本「元件」。平時數學中,實行「定義域優先」的原則,無可置疑。然而事物均具有二重性,在強化定義域問題的同時,往往就削弱或談化了,對值域問題的探究,造成了一手「硬」一手「軟」,使學生對函數的掌握時好時壞,事實上,定義域與值域二者的位置是相當的,絕不能厚此薄皮,何況它們二者隨時處於互相轉化之中(典型的例子是互為反函數定義域與值域的相互轉化)。如果函數的值域是無限集的話,那麼求函數值域不總是容易的,反靠不等式的運算性質有時並不能奏效,還必須聯繫函數的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的取值情況。才能獲得正確答案,從這個角度來講,求值域的問題有時比求定義域問題難,實踐證明,如果加強了對值域求法的研究和討論,有利於對定義域內函的理解,從而深化對函數本質的認識。

三、「範圍」與「值域」相同嗎?

「範圍」與「值域」是我們在學習中經常遇到的兩個概念,許多同學常常將它們混為一談,實際上這是兩個不同的概念。「值域」是所有函數值的集合(即集合中每一個元素都是這個函數的取值),而「範圍」則只是滿足某個條件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都滿足這個條件)。也就是說:「值域」是一個「範圍」,而「範圍」卻不一定是「值域」。

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