高中數學|函數必考知識點匯總

函數是聯考數學的基礎，又是重難點，今天小編把函數的幾大問題都列出來了。快點你收藏和分享吧~

一次函數

特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。即：y=kx （k為常數，k≠0）

即：y=kx+b （k為任意不為零的實數 b取任何實數）2.當x=0時，b為函數在y軸上的截距。

1．作法與圖形：通過如下3個步驟（1）列表；（2）描點；（3）連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此，作一次函數的圖像只需知道2點，並連成直線即可。（通常找函數圖像與x軸和y軸的交點）2．性質：（1）在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。（2）一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總是交於（-b/k，0）正比例函數的圖像總是過原點。3．k，b與函數圖像所在象限：當k＞0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；當k＜0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。當b＞0時，直線必通過一、二象限；當b=0時，直線通過原點當b＜0時，直線必通過三、四象限。特別地，當b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖像。這時，當k＞0時，直線只通過一、三象限；當k＜0時，直線只通過二、四象限。

1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。

二次函數

y=ax²+bx+c（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,|a|還可以決定開口大小,|a|越大開口就越小,|a|越小開口就越大。）

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）頂點式：y=a(x-h)²+k [拋物線的頂點P（h，k）]

交點式：y=a(x-x?)(x-x?) [僅限於與x軸有交點A（x?，0）和 B（x?，0）的拋物線]

在平面直角坐標系中作出二次函數y=x²的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x= -b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）2.拋物線有一個頂點P，坐標為P( -b/2a ，(4ac-b²)/4a )當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b²-4ac=0時，P在x軸上。3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。5.常數項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交於（0，c）

反比例函數

形如 y＝k/x(k為常數且k≠0) 的函數，叫做反比例函數。自變數x的取值範圍是不等於0的一切實數。反比例函數圖像性質：反比例函數的圖像為雙曲線。由於反比例函數屬於奇函數，有f(-x)=-f(x),圖像關於原點對稱。另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為|k|。

1.過反比例函數圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為|k|。

2.對於雙曲線y＝k／x ，若在分母上加減任意一個實數 (即 y＝k／（x±m）m為常數)，就相當於將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。（加一個數時向左平移，減一個數時向右平移）

對數函數

對數函數的一般形式為，它實際上就是指數函數 的反函數。因此指數函數里對於a的規定，同樣適用於對數函數。對數函數的圖形只不過的指數函數的圖形的關於直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數。（1）對數函數的定義域為大於0的實數集合。（2）對數函數的值域為全部實數集合。（3）函數總是通過（1，0）這點。（4）a大於1時，為單調遞增函數，並且上凸；a小於1大於0時，函數為單調遞減函數，並且下凹。

（5）顯然對數函數無界。

指數函數

指數函數的一般形式為，從上面我們對於冪函數的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則只有使得

（1） 指數函數的定義域為所有實數的集合，這裡的前提是a大於0，對於a不大於0的情況，則必然使得函數的定義域不存在連續的區間，因此我們不予考慮。（2） 指數函數的值域為大於0的實數集合。（3） 函數圖形都是下凹的。（4） a大於1，則指數函數單調遞增；a小於1大於0，則為單調遞減的。（5） 可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向於無窮大的過程中（當然不能等於0），函數的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。（6） 函數總是在某一個方向上無限趨向於X軸,永不相交。（7） 函數總是通過（0，1）這點。

（8） 顯然指數函數無界。

奇偶性

一般地，對於函數f(x)（1）如果對於函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=－f(x)，那麼函數f(x)就叫做奇函數。（2）如果對於函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那麼函數f(x)就叫做偶函數。（3）如果對於函數定義域內的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立，那麼函數f(x)既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數。（4）如果對於函數定義域內的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那麼函數f(x)既不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數。說明：①奇、偶性是函數的整體性質，對整個定義域而言②奇、偶函數的定義域一定關於原點對稱，如果一個函數的定義域不關於原點對稱，則這個函數一定不是奇（或偶）函數。（分析：判斷函數的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關於原點對稱，然後再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x)比較得出結論）③判斷或證明函數是否具有奇偶性的根據是定義

定理 奇函數的圖像關於原點成中心對稱圖表，偶函數的圖象關於y軸或軸對稱圖形。f(x)為奇函數《＝＝》f(x)的圖像關於原點對稱點（x,y）→（-x,-y）奇函數在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上也是單調遞增。偶函數 在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上單調遞減。

1.兩個偶函數相加所得的和為偶函數.2.兩個奇函數相加所得的和為奇函數.3.一個偶函數與一個奇函數相加所得的和為非奇函數與非偶函數.4. 兩個偶函數相乘所得的積為偶函數. 5.兩個奇函數相乘所得的積為偶函數.

6.一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積為奇函數.

值域

函數中，應變數的取值範圍叫做這個函數的值域函數的值域,在數學中是函數在定義域中應變數所有值的集合。常用的求值域的方法（1）化歸法（2）圖象法（數形結合）（3）函數單調性法（4）配方法（5）換元法（6）反函數法（逆求法）（7）判別式法（8）複合函數法（9）三角代換法（10）基本不等式法等

定義域、對應法則、值域是函數構造的三個基本「元件」。平時數學中，實行「定義域優先」的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手「硬」一手「軟」，使學生對函數的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當的，絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時處於互相轉化之中（典型的例子是互為反函數定義域與值域的相互轉化）。如果函數的值域是無限集的話，那麼求函數值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時並不能奏效，還必須聯繫函數的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利於對定義域內函的理解，從而深化對函數本質的認識。

「範圍」與「值域」是我們在學習中經常遇到的兩個概念，許多同學常常將它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念。「值域」是所有函數值的集合（即集合中每一個元素都是這個函數的取值），而「範圍」則只是滿足某個條件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都滿足這個條件）。也就是說:「值域」是一個「範圍」，而「範圍」卻不一定是「值域」。

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