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【原神】最強的聖遺物黃金比例推薦，(攻擊X爆擊率X爆傷X屬傷) 小弟對於遊戲裡的數值公式計算一直很有興趣， 剛好最近板上有不少人 PvP 關心攻擊屬性該如何取捨的問題， 在此分享一下我個人的研究心得。 本文將採用拉格朗日乘數的數學方法， 分析在不同配額 (即可分配的攻擊屬性點數) 下 攻擊力、暴擊率及暴擊機率的最佳分配比例， 並輔以 Python 程式驗證之。 另外，本文會解釋「邊際成長率」的概念， (即「為什麼大佬們常常說攻擊力稀釋效應很嚴重？」) 並示範如何藉此分析在已有屬性下最佳的屬性選擇。 因為使用的方法牽涉到微積分的基本概念， 為了讓更多人可以瞭解數學公式背後的意義， 我會盡量用簡單的文字說明，(「盡量」) 對數學推導沒有興趣的巴友則可以直接下拉到懶人包跟結論， 對於高品質聖遺物數量較多且套裝完整的玩家， 本篇心得分享可能不那麼有用；(警語) 畢竟對於畢業級的主 C 而言， 最佳的點數分配方法就是： 　1. 優勢屬性傷害加成優先出 　2. 想辦法出到攻擊力 212.1%、暴擊率 70.7%、暴擊傷害 141.4% 　3. 剩下的多餘點數平均分配 相對於簡單直觀的主 C， 副 C、輔助要先考慮元素充能效率、元素精通等等； 如何在配額已經被限縮的情況下， 還能盡量提高自身的傷害效益， 反而會是本文比較著重的面向。 開始前容我再最後碎碎念一句： 玩遊戲是要讓自己開心的， 如果你高興， 想出 100% 暴擊率、50% 暴擊傷害也可以， 沒有必要因為這樣就彼此惡言相向。 但如果你覺得出裝還可以更好， 想追求更高的傷害效益， 希望本篇文章可以成為一點幫助。 本米只是一條鹹魚，對遊戲理解尚淺， 數學推導、遊戲環境考慮不周的地方， 歡迎各方好手批評指教。 懶人包 (這已經是我想得到在不失真的條件下最清楚的表達方式了， 　如果還是太難，敬請見諒。我盡力了_(:3」∠)_) 最簡單 (但不精確的) 版本：   優勢屬傷杯有就出。 攻擊力先出到超過基礎值的兩倍。(綠字略大於白字) 如果有辦法雙暴超過 (40%, 80%) 才疊雙暴，不然全出攻擊力。   優勢屬性傷害加成優先出，但是不建議超過 +200% – (1/優勢傷害占總傷害的比例)。 舉例而言，對純元素傷害輸出而言不建議超過 +100%， 對 6 比 4 的元素、物理混傷輸出而言不建議超過 +200% – 1/0.6 = +33.3%。 (但是一件屬傷杯就會超過，這個時候出一件就夠了。) 剩下三項數值 (攻擊力、暴擊率、暴擊傷害) 的最佳分配方法，有以下兩種方法判斷。 設總攻擊力百分比 ((白字 + 綠字)/白字) 為 x 總暴擊率為 y 總暴擊傷害為 z 並令配額函數 g(x, y, z) = x/3 + y/2 + z/4 = c (計算的時候請不要計較加成的來源是什麼、基礎值是多少。角色面板寫多少就是多少。 　如果白字、綠字分別是 600 跟 800，那麼你的 x 就是 (600 + 800)/600 = 2.33… ≒ 233.3%) 一、 以邊際成長法計算最後一件聖遺物應該補充什麼屬性 　在核心武器、聖遺物已經決定好了的情況下， 　計算以下三項數值： 　　Gx = 3 / x (出攻擊力的邊際成長率) 　　Gy = 2 z / (1 + y z) (出暴擊率的邊際成長率) 　　Gz = 4 y / (1 + y z) (出暴擊傷害的邊際成長率) 　哪個高就出哪個屬性。 　例如 x = 200%，y = 30%、z = 100%，最後一件理之冠可選擇攻擊力、暴擊率或暴擊傷害 　計算得： 　　Gx = 3 / 2.0 ≒ 1.5 　　Gy = 2 × 1.0 / (1 + 0.3 × 1.0) ≒ 1.538 　　Gz = 4 × 0.3 / (1 + 0.3 × 1.0) ≒ 0.923 　最後一件選擇暴率頭最佳。 　※此法不適用於連續的屬性選擇 (亦即有兩或三種以上的武器、聖遺物屬性加成可供選擇)； 　　如需做多次選擇，請參考第二項。 二、以拉格朗日乘數計算各配額下的最佳調配 　1. 若無法在 y > 51.6%、z > 103.3% 的情況下達到 x > 222.7% 　　假設暴擊率小於暴擊傷害的一半 　　　(1) 在 x 達到 1.5 × (1/z + y) 之前一律疊高攻擊力。 　　　(2) 前項達標後，按 3 : 2 的比例疊高攻擊力及暴擊率。 　　若暴擊傷害未達暴擊率的兩倍 　　　(1) 在 x 達到 0.75 × (1/y + z) 之前一律疊高攻擊力。 　　　(2) 前項達標後，按 3 : 4 的比例疊高攻擊力及暴擊傷害。 　　當 y 與 z 的比例接近 1 : 2，按 1 : 2 的比例疊高暴擊率及暴擊傷害並接上第 2 點。 　2. 若第 1 點的條件可以滿足 　　(1) 在 y 達到 70.7% (或 z 達到 141.4%) 之前， 　　　按 1 : 2 的比例疊高暴擊率及暴擊傷害到 70.7%、141.4%； 　　　此階段可以犧牲部分攻擊力換取暴擊屬性 (但仍不應小於 212.1%)。 　　(2) 若 (x, y, z) 達到 (212.1%, 70.7%, 141.4%)， 　　　則平均分配三項屬性 (雙暴一樣是 1 : 2) 到 (225%, 100%, 200%)。 　3. 若 y 達到 100% 還有剩餘配額，按 3 : 4 的比例繼續疊攻擊力跟暴擊傷害。(雖然應該不可能…) (最佳化的三項數值對於配額的函數圖。) 前言 遊戲裡的傷害類型有很多種，普通攻擊、物理傷害、元素戰技、元素反應… 各種傷害類型都有各自的傷害計算公式， 然而除了超載、感電、超導跟擴散反應外， 其餘所有的傷害類型都會受到攻擊力、暴擊率以及暴擊傷害的加成。 (就連鍋巴、奧茲都會暴擊) 也因此如何將這三項數值做最有效的分配， 就成了傷害能否最佳化的重要議題。 對於這些傷害類型，可以寫出一般化的傷害公式： 　傷害期望值 = [基礎攻擊力 × (1 + 百分比攻擊力) + 固定攻擊力] 　　　　　　　× (1 + 暴擊率×暴擊傷害) × 傷害倍率 　　　　　　　× [有的沒有的普攻傷害加成、屬性傷害加成、元素精通加成、技能增傷…] 若將傷害倍率提出來，用數學式表達為： 　f(x, y, z, wi) = x (1 + y z) (1 + w1) (1 + w2) … 其中 x 為 總攻擊力百分比 ((白字 + 綠字)/白字) y 為總暴擊率 z 為總暴擊傷害 wi 為各種加成係數 若再簡化只取攻擊力、暴擊率以及暴擊傷害的項，我們定義傷害期望值函數 f： 　f(x, y, z) = x (1 + y z) 這就是我們希望最大化的數值。 然而角色能夠分配到攻擊屬性的配額有限， 也沒有辦法完美控制聖遺物副詞條的數值， 故我們應該考慮在「限制條件」下最大化傷害函數的方法。 聖遺物主屬性所提供的攻擊力、暴擊率、暴擊傷害數值 是 3 : 2 : 4 (同樣的星數、強化等級下)， 副詞條雖然變數較大，但也大致上依循這個比例。 假如你選了 45% 的攻擊頭、就會犧牲 30% 的暴擊率； 你得到了 20% 的暴擊傷害，就要失去 15% 的攻擊力。 (沒有辦法我全都要.jpg) 這就是邁向更高的傷害期望值時需要做的取捨。 我們可以定義配額函數 g： 　g(x, y, z) = x/3 + y/2 + z/4 = c 在相同的聖遺物品質、數量之下， 你所能運用的配額 c 就是大致相等的。 另外，總攻擊力百分比不會低於 100% (即攻擊力不會低於基礎攻擊力)， 暴擊率不會低於 5%，暴擊傷害不會低於 50%， (如果你核心裝備有相關屬性的話下限值就會更高) 是參數組 (x, y, z) 的先決條件。 對於最佳化問題，微分為零求極值是最常見的方法， 而在限制條件下的版本就是拉格朗日乘數。 本文接下來就會從邊際收益的概念出發 解釋拉格朗日乘數的核心精神， 並以此計算出在各種限制條件之下傷害期望值的最佳解。 還有一種稱為 Karush-Kuhn-Tucker 條件的方法， 專門處理等式、不等式限制條件混和的最佳化問題， 但是此法通常沒有解析解， 就算有我也不會解_(:3」∠)_， 而且往往難以從結果瞭解它的數學意義， 所以本文會用它的一般版拉格朗日乘數， 搭配額外加入的不等式條件來作解析。 數學方法 首先我們來談談何謂「邊際收益」。 在經濟學的領域中， 邊際收益代表著在既定的生產組合之下， 每多生產 (銷售) 一單位的產品，所能得到的收益量。 當生產的產品越來越多， 所能收穫的利益就會越來越少， 同時所要付出的成本也會越來越高， 稱為「邊際收益遞減」與「邊際成本遞增」。 當邊際成本開始超過邊際收益， 繼續生產 (銷售) 產品的淨利反而會減少， 這時候的總銷售利潤就是最大值。 套到傷害計算公式上面來說， 每多分配一點配額到某個屬性上， (如：3% 的攻擊力、2% 的暴擊率、4%的暴擊傷害或任意組合) 傷害期望值函數一樣會有對應的提升， 就是傷害期望值的邊際收益。 我們將 f(x, y, z) 對參數組 (x, y, z) 做全微分，可得: 　df = (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy + (∂f/∂z) dz = fx dx + fy dy + fz dz 且因 1 點配額可以換得 3 點的攻擊力，或 2 點的暴擊率，或 4 點的暴擊傷害， 故我們可以得到疊三種屬性的邊際收益為： 　Mx = df/dc (y, z 不變) = 3 fx = 3 (1 + y z) (出攻擊力的邊際收益) 　My =  df/dc (x, z 不變) = 2 fy = 2 x z (出暴擊率的邊際收益) 　Mz =  df/dc (x, y 不變) = 4 fz = 4 x y (出暴擊傷害的邊際收益) 舉例試算，假設 x = 200%、y = 5%、z = 50%： 　Mx = 3 × (1 + 0.05 × 0.5) = 3.075 　My = 2 × 2.0 × 0.5 = 2.0 　Mz = 4 × 2.0 × 0.05 = 0.4 而當攻擊力來到 300%，其他兩項不變： 　Mx = 3 × (1 + 0.05 × 0.5) = 3.075 　My = 2 × 3.0 × 0.5 = 3.0 　Mz = 4 × 3.0 × 0.05 = 0.6 我們可以看到，當我們只疊攻擊力，邊際收益並不會因此下降， 但是出其他屬性的邊際收益會漸漸超過出攻擊力的邊際收益， 此時出其他屬性的效益就會比只出攻擊力還要好。 至於大佬們常說的「攻擊力稀釋」又是怎麼回事？ 如果我們把邊際收益除以傷害期望值函數，我們可以得到邊際成長率： 　Gx = 3 / x (出攻擊力的邊際成長率) 　Gy = 2 z / (1 + y z) (出暴擊率的邊際成長率) 　Gz = 4 y / (1 + y z) (出暴擊傷害的邊際成長率) 這個數字代表著每多分配一點配額， 傷害期望值會成長為原本的多少比例。 當 x = 200%，Gx = 1.5； 當 x = 300%，Gx = 1.0。 從這裡我們就可以看出，在單一數值較低的時候， 同樣的點數可以帶來較大的比例成長， 但越往上疊，成長率就越低， 這個時候出其他數值的成長效果就會越好， 這就是「屬性稀釋效應」。 照著同樣的邏輯，不只是攻擊力， 任何屬性的成長率都會隨著該屬性的單調增加而減少； (包括屬性傷害加成、普攻傷害加成、增傷效果…) 這也是為什麼大佬們都會建議你平均分配屬性的原因。 從這裡我們也可以看出為什麼建議暴擊率跟暴擊傷害要是 1 : 2。 如果參數組 (x, y, z) 是一個最佳組合， 那麼我們應該要得到 Gx = Gy = Gz。 (否則就會有出其中一種屬性優於另外兩種的狀況， 代表還沒有達成最佳解) 解 2 z / (1 + y z) = 4 y / (1 + y z) 得 z = 2 y 用白話文說就是， 雖然 y = z 是 y z 的最佳解， 但是 y 比 z 貴一倍， 所以 z = 2 y 才是在該問題限制條件下的最佳解。 在實務上，只要根據你當下的參數， 計算出各屬性的邊際成長率 G， 就可以找出當下最佳該出的屬性是什麼。 這就是懶人包裡提到的「邊際成長法」。 但是請注意，如果你有很多個武器效果、聖遺物可供選擇， 邊際成長法並不能保證連續選擇下的結果會是最佳的結果； (也就是說，每一次根據邊際成長率來做的最佳選擇合在一起並不一定是最佳的) 如果要處理這種情況，就要參考接下來要介紹的拉格朗日乘數。 拉格朗日乘數告訴我們， 如果我想知道目標函數 f(x) 的最大值， 但是參數組 x 必須滿足某種限制條件 g(x) = 0， (g(x) = c 的形式也可以，令 h(x) = g(x) – c = 0 就好， 　不影響結果，以下不再贅述。) 那麼我可以創造一個新的拉格朗日函數 L： 　L(x, λ) = f(x) – λ g(x) 這個新函數的極大值問題就會包含原函數的極大值問題； 換句話說就是設 L 對參數組 x 跟 λ 微分為零求極值。 「微分為零求極值」是我們在學習微積分時一定會碰到的例題， 基本的精神就是「如果一個函數的值在某點附近不再增減， 那麼該函數在該點有極大值或極小值」。 (更嚴格來說，該點還必須不是「反曲點」) 但是如果我的參數本身受到某種限制，該怎麼處理？ 拉格朗日乘數的精神就是： 「如果一個函數在符合限制條件下的某一點附近不再增減， 那麼該函數在該點有極大值或極小值」。 這相當於我要求在 g(x, y, z) = 0 的條件下 　df =  (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy + (∂f/∂z) dz = 0 在 c 不變的限制條件下， 　dg = (∂g/∂x) dx + (∂g/∂y) dy + (∂g/∂z) dz = dc = 0 顯然 fx : fy : fz = gx : gy : gz 是一個解， ( df = fx dx + fy dy + fz dz = λ gx dx + λ gy dy + λ gz dz 　　= λ (gx dx + gy dy + gz dz) = λ dc = 0 ) 故我們得到： 　(∂f/∂x) – λ (∂g/∂x) = 0 　(∂f/∂y) – λ (∂g/∂y) = 0 　(∂f/∂z) – λ (∂g/∂z) = 0 等價於： 　∂L/∂x = (∂f/∂x) – λ (∂g/∂x) = 0 　∂L/∂y = (∂f/∂y) – λ (∂g/∂y) = 0 　∂L/∂z = (∂f/∂z) – λ (∂g/∂z)  = 0 　∂L/∂λ = g = 0 這就是拉格朗日乘數最簡單直觀的證明。 套用到我們關注的問題， 我們得到最佳化 (x, y, z) 的條件是 　fx : fy : fz = 1/3 : 1/2 : 1/4 但這相當於 　3 fx = 2 fy = 4 fz 也就是 　Mx = My = Mz 或是 Gx = Gy = Gz 這可以與邊際成長法中求最佳解的條件互相印證。 然而在我們關注的問題中， 還有 x ≧ 100%、5% ≦ y ≦ 100%、z ≧ 50% 的不等式條件存在， 除了微分為零的地方，目標函數的極大值也可能發生在邊界上， 拉格朗日乘數無法處理這樣的問題。 所幸，邊界上的最大值問題一樣可以用拉格朗日乘數解決， 邊界有幾個就解幾次拉格朗日乘數， 最後再把所有發生極大值的地方放在一起比較， 得到所有極大值之中的最大值。 這並不是一個簡單的工程， 也有一些難以準確分析的區域， 但是借助程式的方法， 我們可以得到近乎準確的結論。 以下開始展示應用拉格朗日乘數的詳細分析。 數據分析 我們想要求目標函數 f(x, y, z) 在限制條件 g(x, y, z) = c 下的最大值。 這個問題的拉格朗日函數為： 　L(x, y, z, λ) = x (1 + y z) – λ (x/3 + y/2 + z/4 – c) 接下來我們微分求極值： 　∂L/∂x = (1 + y z) – λ/3 = 0 　∂L/∂y = x z – λ/2 = 0 　∂L/∂z = x y – λ/4 = 0 　∂L/∂λ = -(x/3 + y/2 + z/4 – c) = 0 (這條就是限制條件 g(x, y, z) = 0，最後再處理它。) 經過消去法，我們可以得到 f(x, y, z) 達到極值時的條件： 　x = 3 (1/y + 2 y) / 4 　y = y 　z = 2 y 套回 g(x, y, z) = c 可得： 　y = c/3 ± √(4 c^2 – 6)/6 　(x, z 用 y 的結果帶入) 可以得到在 √1.5 ≦ c < 1.75 及  √1.5 ≦ c < 1.375 兩個區間 分別有兩個內部解 (x, y, z)。 從這個結果來看， 不管你原本攻擊力、暴擊率或暴擊傷害是多少，加成效果來自哪裡， 只要你最後的暴擊率跟暴擊傷害是 1 比 2， 且百分比攻擊力跟暴擊率的關係如上所述， 你的傷害就會是極大化。 另外，由配額函數 g 計算出的配額 c 也一樣， 其絕對的數值在實務上並不重要， 只有當你想比較同角色拿不同武器， 或是不同角色之間最佳化屬性分配的差異時， 才需要特別去詳細計算。 然而這個推導有兩個缺陷； 其一為實際上我們無法隨心所欲調配各數值的比例， 其二為原問題的最大值可能發生在參數組的邊界上。 (另外，聖遺物副詞條數值加成的比例也未必總是 3 : 2 : 4。) 因此我們可以對每個可能的邊界做一次拉格朗日乘數， 然後分析在各配額下最佳化的參數組應該符合什麼關係式。 我們先考慮 x ≧ 100%、5% ≦ y ≦ 100%、z ≧ 50% 的邊界， 這個時候需要比較的邊界解就多達 9 種， (還要加上剛剛用拉格朗日乘數算出來的兩個內部解) 不過不用擔心，本米已經幫大家整理好了， 以下以 Python 語言 matplotlib 模組包下的 pyplot 函數繪圖呈現。 (內部解與各邊界解在各配額下的比較關係。) 我們可以將此函數圖劃分成三個區域： 　1. (0.15 + 1/3) ≦ c < 1.175，粉色函數勝出， 　　為 y = 5%、z = 50%，只疊攻擊力的邊界解 (x, 0.05, 0.5)。 　2. 1.175 ≦ c < 1.25864，綠色函數勝出， 　　為 z = 50%，按 3 : 2 的比例疊攻擊力與暴擊率的邊界解 (3(1 + 0.5y), y, 0.5)。 　3. 1.25864 ≦ c < 1.75，黑色函數勝出， 　　為上述拉格朗日乘數得到的內部最佳解 (3(1/y + 2 y)/4, y, 2 y)。 　4. c > 1.75，看起來像綠色的黃色函數勝出， 　　為暴擊率已達 100%，按 3 : 4 的比例疊攻擊力與暴擊傷害的邊界解 (3(1 + z)/4, 1.0, z)。 什麼？你說看不到黑色函數比綠色函數低？ (大哥他沒有輸) 我們再放大一點看。 (配額在 1.2 到 1.3 之間粉、綠、黑三個邊界解的比較關係。) 進一步，我們可以繪製出最佳化參數組 (x, y, z) 對配額的關係圖， 並在各區段分析最佳的屬性分配： (最佳化的三項數值對於配額的函數圖。) 　1. 在攻擊力達到 307.5% 之前，只疊攻擊力會是最佳解。 　2. 續第 1 項，在 307.5% ≦ x < 320.0% 這個區間，應按 3 : 2 的比例疊高攻擊力及暴擊率。 　3. 續第 2 項，當 (x, y, z) 超過 (320.0%, 13.4%, 50%)， 　　最佳解會瞬間跳到從 (222.7%, 51.6%, 103.3%) 開始的內部解。 　　這個時候我們會想按 1 : 2 的比例疊高暴擊率及暴擊傷害。 　　但同時我們也觀察到在 (x, y, z) 到達 (212.1%, 70.7%, 141.4%) 之前， 　　最佳化的攻擊力是往下掉的， 　　意思是不必強求攻擊力，甚至可以犧牲部分攻擊力來換取雙暴屬性。 　4. 當 (x, y, z) 超過 (320.0%, 13.4%, 50%)， 　　最佳化的攻擊力會慢慢增加， 　　此時應保持暴擊率與暴擊傷害 1 : 2 繼續疊高， 　　並適度分配點數到攻擊力直到 (225%, 100%, 200%)。 　5. 這個區段暴擊率已經到達 100%，無法再提升了， 　　接下來按 3 : 4 的比例疊高攻擊力與暴擊傷害會是最佳解。 　　(我很好奇這是不是可能達到的領域？) 為驗證本最佳化分析的可信度， 我們使用 Python 語言 Scipy 模組包下的 SLSQP 方法， 計算出各配額下的最佳解，並同樣做圖。 給有興趣的人：   import scipy.optimize as opt   def dmg_f(x):     return x[0]*(1 + x[1]*x[2])   def cons_f(x, c):     return x[0]/3 + x[1]/2 + x[2]/4 – c   def dmg_opt(c):     c = max(0.15 + 1/3, c)     obsf = lambda x: -dmg_f(x)     init = [1.0, 0.05, 0.5]     cons = [{‘type’: ‘eq’, ‘fun’: lambda x: cons_f(x, c)}]     bound = [(1.0, None), (0.05, 1.0), (0.5, None)]     res = opt.minimize(obsf, x0 = init,\                        bounds = bound,\                        constraints = cons,\                        tol = 1e-14)     dmg = -res.fun     para = res.x     lndmg = np.log(dmg)     return dmg, para, lndmg (程式計算出的最大傷害期望值函數值與其對數值對配額作圖) (程式計算出的最佳化的三項數值對配額作圖。) 我們可以看到趨勢是符合前述討論的， 然而區域 2 的寬度卻有明顯的不同。 從程式算出的最大傷害期望值函數圖可以發現 在 c = √1.5 ≒ 1.2247 的地方有一個小折點， 推測是程式基於不明原因提前走到區域 3 的內部解， 但實際上在 √1.5 ≦ c < 1.25864 內部解還沒有超越邊界解 (3 + 1.5 y, y, 0.5)， 可以合理認為是程式所採用的 SLSQP 方法存在著某些缺陷。 scipy.optimize.minimize() 函數有個臭名是 你給定的起始點不同，你會得到不一樣的極值點， 所以會有一些小偏差實際上是不令人意外的。 如果要解決這個問題，就要想辦法給函數一點額外的限制， 不然就得自己寫一個 Python 函數來解最佳化問題_(:3」∠)_。 不過實務上我們很難完全沒有額外暴擊率、暴擊傷害， 很多時候都是已經有 (舉例) y0 = 32%、z0 = 84 % 的前提下去調配， 這個時候我們就必須求符合 (x, y0, z0) 的邊界解 還有在這範圍內可能的內部解。 其結果可以分成兩個部分： 　1. 暴擊率小於暴擊傷害的一半 　　這個時候出暴擊率的效益是大於暴擊傷害的， 　　因此我們考慮攻擊力跟暴擊率要怎麼調配。 　　以拉格朗日乘數得邊界解為 (1.5(1/z + y), y, z0)， 　　也就是按 3 : 2 的比例疊高攻擊力及暴擊率。 　2. 若暴擊傷害未達暴擊率的兩倍 　　這個時候出暴擊傷害的效益是大於暴擊率的， 　　因此我們考慮攻擊力跟暴擊傷害要怎麼調配。 　　以拉格朗日乘數得邊界解為 (0.75(1/y + z), y0, z)。 　　也就是按 3 : 4 的比例疊高攻擊力及暴擊傷害。 當 y 與 z 的比例接近 1 : 2，內部解會逐漸超過邊界解， 若 z0 > 81.6% (或 y > 40.8%)，在 z = 2 y 的時候可以無縫接上內部解， 但是其他的情況就沒有一個明確的判斷式 (應該是沒有解析解)。 不過因為這個時候邊界解與內部解的傷害期望值函數值差距不太大， 所以只要先把 y 跟 z 調配到接近 1 : 2 之後， 按 1 : 2 的比例疊高暴擊率及暴擊傷害並接上內部解 (3(1/y + 2 y)/4, y, 2 y)， 就可以得到 (接近) 最大化的傷害期望值。 剩下的結果就跟懶人包一樣了。 這個結果可以解釋為什麼有些角色應該按 1 : 2 疊暴擊率跟暴擊傷害， 有些只需要疊攻擊力，有些則需要交互疊。 主 C 配額夠高，可以毫無懸念疊雙暴， 副 C、工具人如果暴擊傷害不夠高，就多疊攻擊力， 暴擊傷害夠高，就輪流出攻擊力跟暴擊率。 除了得知關於如何最佳化分配點數之外， 最大傷害期望值函數還有其他的應用。 (最大傷害期望值函數值對配額作圖。) (最大傷害期望值函數值的邊際成長率與配額的關係圖) 上圖灰線是對數化的傷害期望值函數， 下圖灰線則為前述函數的微分， 令 F = ln f 則 F’ = f’ / f = G 該微分即為前述函數的邊際成長率。 我們可以看到當配額超過 0.817， 則邊際成長率不會再超過 1.5。 因此疊屬性傷害加成的時候， 也不建議疊到邊際成長率小於 1.5。 (之所以把屬性傷害加成分開討論，是因為只能從空之杯和套裝效果獲得，相對獨立。) 設優勢屬性傷害占所有傷害的比例為 p， 屬性傷害加成為 w， 則 G (屬性傷害) = 3 d ln(1 + p w) / dw = 3 p / (1 + p w) ≧ 1.5 得 w ≦ 2 – 1/p。 如果是純元素輸出 (普攻也是屬性傷害的法師角色) 大可把屬性傷害加成當成攻擊力在疊， 但是越疊邊際成長率越低， 這個時候取決於你慣用的輸出手段， 出一點普攻、重擊傷害加成或許不失為好的選擇。 (如果你的隊伍可以讓凝光常駐護盾， 　並以普攻、重擊作為主要輸出手段， 　那逆飛的流星四件套就會比悠古的磐岩兩件套好一些。) 如果是元素、物理混傷輸出，優勢屬性傷害的占比 (p 值) 越重， 越適合疊高屬性傷害加成， 但是除非你是全程後台掛元素工具人， 不然不適合像法師那樣堆疊屬性傷害加成。 個人是建議穿對應的屬性傷害加成套， 之後的空之杯用邊際成長法判斷應該出攻擊力還是屬性傷害加成。 (或是反過來，先穿屬傷杯，再決定要穿什麼套裝) 結論 用拉格朗日乘數可以得到在配額夠高的時候，1 : 2 疊雙暴是效益最高的選擇。 (此時只要總攻擊力 > 212.1%，不需要過度疊高攻擊力。) 若是配額不足，則按照暴擊傷害 (或暴擊率) 的高低比例， 決定如何交互疊高攻擊力與暴擊率 (或暴擊傷害)。 屬性傷害加成根據你的角色類型及你慣用的輸出手段， 搭配其他攻擊屬性來出。 任何攻擊屬性都不應該單獨疊高 (屬性傷害加成也不例外)， 需要時用邊際成長法來衡量什麼時候是出太多了， 或是做為套裝效果選擇的參考。 謝謝大家的觀看。歡迎批評指教。 (圖片來源：Appmedia プリコネR攻略wiki “星６実装キャラ一覧とやり方”) 轉載作者：露米☆ Luminus。 原文網址：https://forum.gamer.com.tw/C.php?bsn=36730&snA=7609