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國中數學教案一、課題：二元一次方程組 二、課型：講授課 三、課時：1課時 四、教學目標 1.會用代入消元法解二元一次方程組； 2.了解「消元」思想，初步體會數學研究中「化未知為已知」的化歸思想； 3.經歷化未知為已知的探索過程，從中獲得成功的體驗，增強學習興趣。 五、教學重難點 重點：用代入消元法解二元一次方程組。 難點：在解題過程中體會「消元」思想和「化未知為已知」的化歸思想。 六、教學過程 本節課設計了六個教學環節。第一環節：情境引入；第二環節：探索新知；第三環節：鞏固新知；第四環節：練習提高；第五環節：課堂小結；第六環節：布置作業。 第一環節：情境引入 教師引導學生共同回憶上一節課討論的「買門票」問題，想一想當時是怎麼獲得二元一次方程組的解的。 設他們中有x個成人，y個兒童，我們得到了方程組x+y=8,5x+3y=34,成人和兒童到底去了多少人呢？在上一節課的「做一做」中，我們通過檢驗x=5,y=3是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34的解，從而得知這個解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根據二元一次方程組的解的定義，是方程組x+y=8,5x+3y=34的解。所以成人和兒童分別去了5人和3人。 提出問題：每一個二元一次方程的解都有無數多個，而方程組的解是方程組中各個方程的公共解，前面的方法中我們找到了這個公共解，但如果數據不巧，這可沒那麼容易，那麼，有什麼方法可以獲得任意一個二元一次方程組的解呢？ 第二環節：探索新知 回顧七年級第一學期學習的一元一次方程，是不是也曾碰到過類似的問題，能否利用一元一次方程求解該問題？（由學生獨立思考解決，教師注意指導學生規範表達） 解：設去了x個成人，則去了（8-x）個兒童。 根據題意，得5x+3（8-x）=34，解得x=5。 將x=5代入8-x=8-5=3。 答：去了5個成人，3個兒童。 在學生解決的基礎上，引導學生進行比較：列二元一次方程組和列一元一次方程設未知數有何不同？列出的方程和方程組又有何聯繫？對你解二元一次方程組有何啟示？ （先讓學生獨立思考，然後在學生充分思考的前提下，進行小組討論，在此基礎上由學生代表回答，老師適時地引導與補充，力求通過學生觀察、思考與討論后能得出以下的一些要點） 1．列二元一次方程組設有兩個未知數：x個成人，y個兒童。列一元一次方程只設了一個未知數：x個成人，兒童去的個數通過去的總人數與去的成人數相比較，得出（8-x）個。因此y應該等於（8-x）。而由二元一次方程組的一個方程x+y=8，根據等式的性質可以推出y=8-x。 2．發現一元一次方程中5x+3（8-x）=34與方程組中的第二個方程5x+3y=34相類似，只需把 5x+3y=34中的「y」用「（8-x）」代替就轉化成了一元一次方程。 教師引導學生髮現了新舊知識之間的聯繫，便可尋求到解決新問題的方法——將新知識（二元一次方程組）轉化為舊知識（一元一次方程）便可。 （由學生來回答）上一節課我們就已知道方程組中相同的字母表示的是同一個未知量，所以將x+y=8變形得y=8-x，我們把y=8-x代入方程5x+3y=34，這樣就有5x+3(8-x)=34，「二元」化成「一元」。 教師總結：同學們很善於思考。這就是我們在數學研究中經常用到的「化未知為已知」的化歸思想，通過它使問題得到完美解決。下面我們完整地解一下這個二元一次方程組。 （教師把解答的詳細過程板書在黑板上，並要求學生一起來完成） 解：x+y=8,①5x+3y=34,② 由①得y=8-x，③ 將③代入②得5x+3(8-x)=34，解得x=5。 把x=5代入③得y=3。 所以原方程組的解為x=5,y=3。 （提醒學生進行檢驗，即把求出的解代入原方程組，必然使原方程組中的每個方程都同時成立，如不成立，則可知解有問題） 下面我們試著用這種方法來解答上一節的「誰的包裹多」的問題。 （放手讓學生用已經獲取的經驗去解決新的問題，由學生自己完成，讓兩個學生在黑板上規範的板書，教師巡視：發現學生的閃光點以及存在的問題並適時地加以輔導，以期學生在解答的過程中領會「代入消元法」的真實含義和「化歸」的數學思想） 第三環節：鞏固新知 1．解下列方程組： （1）3x+2y=14,①x=y+3;②（2）2x+3y=16,①x+4y=13。② （根據學生的情況可以選擇學生自己完成或教師指導完成） 解：(1)將②代入①，得3(y+3)+2y=14。 解得y=1。 把y=1代入②，得x=4。 所以原方程組的解為x=4,y=1。 （2）由②得x=13－4y。③ 將③代入①，得2(13－4y)+3y=16。 解得y=2。 將y=2代入③得x=5。 所以原方程組的解為x=5,y=2。 （2）題需先進行恆等變形，教師要鼓勵學生通過自主探索與交流獲得求解，在求解過程中學生消元的具體方法可能不同，所以教學中不必強求解答過程的統一，但要提出如何選擇將哪個方程恆等變形、消去哪個未知數能使運算較為簡單，讓學生在解題中進行思考） （教師在解完后要引導學生再次就解出的結果進行思考，判斷它們是否是原方程組的解，促使學生進一步理解方程組解的含義以及學會檢驗方程組解的方法） 2．思考總結：（教師根據學生的實際情況進行生與生、師與生之間的相互補充與評價，並提出下面的問題） （1）給這種解方程組的方法取個什麼名字好？ （2）上面解方程組的基本思路是什麼？ （3）主要步驟有哪些？ （4）我們觀察例題的解法會發現，我們在解方程組之前，首先要觀察方程組中未知數的特點，儘可能地選擇變形后的方程較簡單和代入后化簡比較容易的方程變形，這是關鍵的一步。你認為選擇未知數有何特點的方程變形好呢？ （由學生分組討論，教師深入參與到學生討論中，發現學生在自主探索、討論過程中的獨特想法，請學生小組的代表回答或學生舉手回答，其餘學生可以補充，力求讓學生能夠回答出以下的要點，教師要板書要點，在學生回答時注意進行積極評價） （1）在解上面兩個二元一次方程組時，我們都是將其中的一個方程變形，即用含其中一個未知數的代教式表示另一個未知數，然後代入另一個未變形的方程，從而由「二元」轉化為「一元」，達到消元的目的。我們將這種方法叫代入消元法。 （2）解二元一次方程組的基本思路是消元，把「二元」變為「一元」。 （3）解上述方程組的步驟： 第一步：在已知方程組的兩個方程中選擇一個適當的方程，將它的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來； 第二步：把此代數式代入沒有變形的另一個方程中，可得一個一元一次方程； 第三步：解這個一元一次方程，得到一個未知數的值； 第四步：把求得的未知數的值代回到原方程組中的任意一個方程或變形后的方程（一般代入變形后的方程），求得另一個未知數的值； 第五步：把方程組的解表示出來； 第六步：檢驗（口算或筆算在草稿紙上進行），即把求得的解代入每一個方程看是否成立。 （4）用代入消元法解二元一次方程組時，盡量選取一個未知數的係數的絕對值是1的方程進行變形；若未知數的係數的絕對值都不是1，則選取係數的絕對值較小的方程變形。 第四環節：練習提高 1．教材隨堂練習（在隨堂練習中，可以鼓勵學生通過自主探索與交流，各個學生消元的具體方法可能不同，可以不必強調解答過程統一。可能會出現整體代換的思想，若有條件可以提出，為下一課做點鋪墊也可以） 2．補充練習：用代入消元法解下列方程組： （1）x+2y=4,2x－y=3;（2）3x－4y=19,x+2y=3;（3）3x－2y=7,x+32－y=0（注意分數線有括弧功能） 第五環節：課堂小結 師生相互交流總結解二元一次方程組的基本思路是「消元」，即把「二元」變為「一元」；解二元一次方程組的第一種解法——代入消元法，其主要步驟是：將其中的一個方程中的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，並代入另一個方程中，從而消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程。解這個一元一次方程，便可得到一個未知數的值，再將所求未知數的值代入變形后的方程，便求出了一對未知數的值，即求得了方程組的解。 第六環節：布置作業