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函數可以說是聯考數學的重中之重，幾乎是每年聯考數學必考熱點之一。這是為什麼呢？從函數的定義我們可以看出一些端倪，傳統函數定義：一般的，在一個變化過程中，假設有兩個變數x、y，如果對於任意一個x都有唯一確定的一個y和它對應，那麼就稱x是自變數，y是x的函數。x的取值範圍叫做這個函數的定義域，相應y的取值範圍叫做函數的值域 。現代數學函數的定義：給定一個數集A，對A施加對應法則f，記作f（A），得到另一數集B，也就是B=f（A）。那麼這個關係式就叫函數關係式，簡稱函數。函數概念含有三個要素：定義域A、值域C和對應法則f。其中核心是對應法則f，它是函數關係的本質特徵。從這裡我們可以看出，函數具有邏輯性強、系統性強、非常抽象等鮮明數學特點，同時解決函數類問題我們還要藉助圖象等手段，這就說明跟函數相關的問題，都蘊含包括數形結合在內等豐富的數學思想方法。因此，函數類問題因其具有這些特殊性，在平時數學學習過程中能很好培養一個人的思維能力，在考試當中更加能考查一個人運用知識解決問題能力水平的高低，自然就成為聯考數學的熱門考點。冪函數是高中函數中一種重要函數，也是5類基本初等函數之一，今天我們就來講講與冪函數相關的聯考數學問題。一般地.形如y=xα(α為有理數）的函數，即以底數為自變數，冪為因變數，指數為常數的函數稱為冪函數。如函數y=x0、y=x1、y=x²、y=x-1（註：y=x-1=1/x y=x0時x≠0）等都是冪函數。冪函數是形如y=xa的函數，a可以是自然數、有理數，也可以是任意實數或複數 。大家一定要記住一些常用冪函數的圖象與性質，如下表：典型例題分析1：已知二次函數f(x)有兩個零點0和－2，且它有最小值－1.(1)求f(x)解析式；(2)若g(x)與f(x)圖象關於原點對稱，求g(x)解析式．解：(1)由於f(x)有兩個零點0和－2，所以可設f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，這時f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a，由於f(x)有最小值－1，所以必有a＞0且-a=-1解得a＝1.因此f(x)的解析式是f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x.(2)設點P(x，y)是函數g(x)圖象上任一點，它關於原點對稱的點P′(－x，－y)必在f(x)圖象上，所以－y＝(－x)2＋2(－x)，即－y＝x2－2x，y＝－x2＋2x，故g(x)＝－x2＋2x.同時，要牢記以下冪函數圖象的三個特點：1、冪函數的圖象一定會經過第一象限，一定不會經過第四象限，是否經過第二、三象限，要看函數的奇偶性；2、冪函數的圖象最多只能經過兩個象限內；3、如果冪函數的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點。典型例題2：設f(x)是定義在R上的偶函數，當0≤x≤2時，y＝x，當x>2時，y＝f(x)的圖象是頂點為P(3,4)，且過點A(2,2)的拋物線的一部分．(1)求函數f(x)在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐標系中直接畫出函數f(x)的草圖；(3)寫出函數f(x)的值域．解：(1)設頂點為P(3,4)且過點A(2,2)的拋物線的方程為y＝a(x－3)2＋4，將(2,2)代入可得a＝－2，則y＝－2(x－3)2＋4，即x>2時，f(x)＝－2x2＋12x－14.當x2.又f(x)為偶函數，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.所以函數f(x)在(－∞，－2)上的解析式為f(x)＝－2x2－12x－14. (2)函數f(x)的圖象如圖，(3)由圖象可知，函數f(x)的值域為(－∞，4]．解決任何函數問題，我們都需要藉助函數的圖象與性質，如冪函數y＝xα的圖象與性質由於α的值不同而比較複雜，一般從兩個方面考查：1、α的正負：α>0時，圖象過原點和(1,1)，在第一象限的圖象上升；α<0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降。2、曲線在第一象限的凹凸性：α>1時，曲線下凸；0α<0時，曲線下凸．在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當的函數。藉助其單調性進行比較，準確掌握各個冪函數的圖象和性質是解題的關鍵。典型例題分析3：已知函數f(x)＝x2，g(x)＝x－1.(1)若存在x∈R使f(x)(2)設F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上單調遞增，求實數m的取值範圍．解：(1)∃x∈R，f(x)x2－bx＋b<0⇒(－b)2－4b>0⇒b<0或b>4.故b的取值範圍為(－∞，0)∪(4，＋∞)．(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4.典型例題分析4：若二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在區間[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恆成立，求實數m的取值範圍．解：(1)由f(0)＝1，得c＝1.即f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，則a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，所以2a=2且a+b=2.解得a=1,b=-1.因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)>2x＋m等價於x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恆成立，只需使函數g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大於0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上單調遞減，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m因此滿足條件的實數m的取值範圍是(－∞，－1)．本文為作者原創，未經授權不得轉載