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我是做分析的，我只談談分析上「有限」和「無限」的區別。首先我講一個吧：「維度」的區別，一個無限維空間恆容易表現出和有限維不同詭異的性質，比如1.一個有限維度空間上的連續（實值）函數在有界閉集上是可以取到最大最小值的，而在無限維空間上這個結論就錯了，需要把「有界閉集」換成「緊集」，我在下面的回答中談到了這個問題：dhchen：能不能把泛函簡單地理解為函數？這裡就不重複了。 那麼這個問題的實質是什麼呢？是拓撲的不同，有限維的賦范線性空間的拓撲太簡單了，本質上都是等價的。而在無限維空間中這個問題就複雜多了，所以這個命題無法推廣與其說是「維度」問題還不如說是「拓撲」問題，當數學家使用了「弱拓撲」之後，他們可以證明（在自反的banach空間中）單位閉球是在這個拓撲下是緊的，一個有界序列必然有弱收斂子序列（這兩個條件也能反過來推出自反性，這是一個比較deep的結果了）。 他們是通過「洞悉一個問題的本質得到推廣的」 。2. 比如一個緊集,設它們的凸包為,在有限維中是一個緊集，但是在無限維度中，這個結論是錯的：3. 有限維空間上的線性運算元（處處有定義）必然是連續的，無限空間這個結論是不成立。 4. 由於上面的結果，一個有限空間上的線性運算元,都可以生成一個一直連續運算元群,在無限維空間這個結論是不成立，只有少數運算元可以是某個運算元群的生成元。這個抽象的問題，本質上和方程的可解性相關。5. 一個運算元，如果它是有限維空間中的運算元，那麼它必然有非空的點譜（也就是特徵值)，但是在無限維空間中它的譜可以是一個非常奇怪的集合。比如，你可以找到一個運算元沒有任何「特徵值」。.....大部分「線性代數」上的結論都不能直接推廣到無限維空間上。所以當你要推廣一個結論的時候：你要考慮兩個問題：第一，這個推廣是真的對嗎？有反例嗎？第二，如果要推廣，那麼你需要盡量簡化自己的證明，把結論成立的條件「抽象化」，給他們名字「性質p」，然後你需要證明一般情況下你考慮的對象是否具有「性質p1」，如果沒有，那麼什麼對象沒有，找出這些對象中一個例子，設法在這個例子作出突破和證明，同樣抽象化，得到「性質p2」。 以此類推，到你可以處理全部的情況后，你把所有情況綜合起來考慮，看能不能得到一個更基礎的證明。-