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從函數到定積分，曲線積分到環路積分。定積分的求解---牛頓.拉布尼茨公式有什麼幾何意義? 簡單的說，因為F(b)-F(a)在幾何上是f(x)的原函數F(x)在y軸上的線段長度，那麼 這個長度如何表示呢? F(b)-F(a)可以寫成在區間[a,b]上面的累加Sigma(F'(x)*delta(x))，那麼這個Sigma就是f(x)的定積分了。反向構 造的方法聯繫了不定積分和定積分。最簡單的積分是寫成這樣的，用運算元S[x,a,b]表示在區間(a,b)內對x求積分，那麼函數y=x^2在(1,2)區間內的投影面積，就是 S[x,1,2](x^2)。積分可求的唯一條件是y可以表示成x的函數f(x)，也就是曲線上，x和y的值，一一對應且唯一對應。什麼情況不能稱為函 數? 例如橢圓方程對應的圖形，x,y的值不是一一對應，所以橢圓方程裡面的x,y不是函數關係。這個放到計算機程序裡面很好理解，一個不依賴於外部變數的函數 y=function(x)，唯一的x應該確定唯一的y。否則這就不是函數了。既然積分可以寫為運算元形式，那麼N重積分就是N階積分運算元作用於積分式的效 果，裡層的積分結果包含了外層的變數而已。同理，高階微分方程可以看成1階微分運算元的疊加結果。所以我們只討論一階的情況----高階的討論類似。好了，說了函數和定積分的關係。那麼有些積分式不能表示成函數的形式，怎麼辦? 例如我要求一個中心在原點，長軸在x軸上的橢圓的面積，怎麼辦? 我們可以把橢圓切成兩部分，面積就是x軸上半部分的面積2倍。而上半部分橢圓，x,y值之間是一一對應關係，可以用定積分來求解。那麼什麼又是曲線積分? 可以看成是定積分的推廣。定積分總是寫成S(y)=S(f(x))的形式，那麼我希望被積分的式子有一個加權，可以是常數，也可以是函數g(x,y)，那 么現在的積分式子就是S(y')=S(g(x,y)*f(x))。求的是對x的積分，其中y=h(x)。太抽象了，舉個有物理含義的例子。1. 假設x/y平面是一個力場，一個質點在立場中受力，它受的力在x軸方向方向的投影值，恰好等於它的y坐標(力的正負代表方向)。2.那麼這個例子沿著曲線y^2=x，從(1,-1)移動到(1,1)，立場對它作了多少功? 我們可以畫出一個圖形，粒子在y的負半平面受的力總是向左的(負號)，在y的正半平面受的力總是向右的，所以立場一直在x軸方向對例子做正的功。做功的積 分式子分為兩個部分，(1,-1)到(0,0)的過程是S[x,1,0]，dx是負數，力y=x^0.5也是負數，負負得正。所以做的總 功=2*S[x,0,1](x^0.5)，這個解求很簡單了。那麼如果立場還有一個y方向呢? 疊加的結果就是2*S[x,0,1]+S[y,-1,1]，寫成積分式子，就是對於坐標的曲線積分。當對於坐標的曲線積分變數很多的時候，可以求出每個點的曲率，用[P'x+Q'x+...]dt代表x，依次類推，寫成一個單變數的定積分形式。為什麼定 積分是個減法? 因為是求被積函數的累加，這是一個長度，所以幾何意義就是端點相減。定積分還有什麼性質？因為把積分變成了求差/和，反過來，求差/和可 以把變數放到微分號裡面去，或者提出來，1重積分可以變成線性運算(定積分)，還可以變成2重積分(格林公式，和路徑無關的積分)。注意這裡的定理成立都 必須符合一定的約束條件，例如格林公式要求在環路閉合面積內可微，否則就必須藉助複變函數的留數定理來求解。什麼又是對弧長的曲線積分呢? 例如求一個線性彎曲剛體的長度，或者在這個長度上做加權的積分。由於長度信息不能分解成x,y軸的投影加和，所以和對坐標的曲線積分不一樣。電磁場的積分 問題就是對弧長的，做環路曲線積分，是同等維數積分裡面最複雜的情況，可以從格林公式推導出等效的2重積分進行求解。格林公式怎麼理解? 對於曲線積分必須知道x/y之間的某種函數關係，但是很多情況下根本寫不出來，或者根本無法積分，所以採取分佈的求解辦法映射到2重積分。格林公式推導出 了函數解析的概念，但是這個解析的函數仍然是一個全導數的原函數。直到複變函數的柯西-黎曼方程才給出了複變函數解析的充要條件。對坐標的曲線積分怎麼求 呢? 可以把對弧長的曲線積分映射為對坐標的曲線積分，ds=((1+(dy/dx)^2)*dx)^0.5的轉化式子表示，因為 S(Pdx+Qdy+Rdz)=S(Pcosa+Qcosb+Rcosc)ds,其中cosa=dx/ds是曲率。對弧長的曲線積分的推理過程可以參考。這個在物理裡面有個電磁學公式就能體現出來，麥克斯韋的四個公式之一，磁場對時間的偏導數對該磁場區域面積的積分就等於該區域電場對該區域邊界的環積分----也就是應該反過來理解格林公式，導數函數的面積分等同於原函數的曲線積分。2維積分有什麼用? 一個用處就是求解非常困難的1維積分問題(複變函數是2維積分的通用形式)，下面這個例子來自於網路，用2重積分解決了概率積分公式的問題。 一維的定積分通過牛頓---萊布尼茨公式得到了完滿的解決，等於不定積分原函數的兩個取值之差。那麼格林公式的意義呢? 曲線積分，分成dx和dy的兩部分分別證明。考慮凸面曲線的情況，因為其他情況可以分解為若干個凸面曲線的情況。例如要證明格林公式中關於dy的部分，就 可以看作很多條平行於x軸的線穿過被積分的曲線，其中每一條直線和曲線交與兩點，靠近y軸左半平面的點記做Q1，靠近y軸右半平面的點記做Q2，那麼根據 曲線積分的正向定義，逆時針方向，Q1點的微元dy是正的，Q2點的微元dy是負的。然後微元的和就是Q1*dy+Q2*(-dy)=(Q1- Q2)dy。好了，Q1-Q2又是多少呢? 由牛頓萊布尼茨公式得到它是Q2-Q1這條線段上Q'(x)的積分和。那麼積分和的和就是一個2重積分，這無數條平行於x軸的線段共同構成了曲線圍繞而成 的面積----注意在面積內的每一條線段都滿足可導條件，也就是這個面積之內的點處處可積。那麼dx的部分為什麼有負號? 同理，由正相的定義，靠近離x軸上半平面的那個交點上面的微元是負數，靠近x軸下半平面的交點微元是平行於正向的，牛-萊公式前面就有了負號。推廣一下， 把曲線積分和2重積分之間的變幻關係放到3維空間，就有了斯托克斯定理。我們把格林公式看成斯托克斯定理的特殊形式。格林公式有什麼作用呢? 曲線積分不好算，就換成2重積分；2重積分不好算，就變成曲線積分。還有一個性質，對於符合積分與路徑無關的曲線積分，可以化為一個2重積分(0)，和一 個圍繞不可導點的曲線積分----這個圍繞不可導點的曲線可以任意取以使得積分可以很容易的求出(複變函數則用留數作了)。所謂的和路徑無關，說明被積函 數的原函數是個解析的場函數，因此才能和路徑無關，這就是格林公式的物理意義和能量意義。而高斯公式關心的是場的密度和場強大小，是另一個物理概念範疇。從曲線積分出發，從格林公式出發，高斯和黎曼得到了複變函數: 把x和y作為一個整體z來研究。有一幅很著名的畫叫做"神秘的小島"，這個畫的內容看起來是個探險的小島，但是把一個圓柱形的鏡面放到畫的中央，人們驚奇的發現其實這是作者的自畫像。如 果這幅洋洋洒洒的油畫是代表了實數的問題，那些無窮無盡的無比複雜的現實問題，那麼這個圓柱形的鏡子就是"複數"這樣一個發明，它把無窮複雜的問題變成了 有窮範圍內能表達的問題。由於一一映射的存在，實數域難以解決的問題通過映射和等效，在複數域通常能得到簡單的解答，再映射回實數域，便是問題的解。複數，是一個2維的數域，它用兩個連續的數軸表示兩個分量，有實數的連續性(無窮的值對)，有線性代數離散的性質(2維度的變數之間相互正交)，把無窮的 影射變換到一個簡單的圓周上面：三角函數變成幅度+相位的值對，相位變化變成旋轉，指數運算變成乘法，對數運算變成除法，微分方程變成了指數形式的特徵方 程。實數軸是它的一個子域。數字的正負變成了數字的方向，-1代表旋轉180度，所以(-1)(-1)=1，轉180度當然回來了。虛數i代表旋轉90 度，i*i=-1，代表旋轉180度。例如y=ax+b的方向矢量為(a,1)，相當於向量z=a+i。在複數域，4則運算變成了向量的加減乘除，需要符合向量的性質(線形代數)。因為所有的數字都變成了向量(由x軸的投影和y軸的投影表示，x+iy)。平 方根的意義，就是什麼數字A，A*A也就是幅度平方，角度*2得到B。那麼正數開平方，角度是0，所以結果還是正數。負數開平方，180度除以2得到90 度，所以複數的平方根，是一個和x軸夾角90度的向量，單位是i。i有什麼實際的物理意義嗎？嚴格的說，其實數學本身作為一個符號系統的形而上學的演算工 具，根本就沒有意義。1恆等於1，是嗎，一個蘋果等於令一個蘋果，但是我們選蘋果是時候會選那個大的好的，此"1"並不等於彼"1"，"1"的意義是人為 賦予的。從多維的觀點線形代數的觀點，所謂的"實數"其實就是把所有的量看成沒有方向的"標量"，那麼複變函數把一切都看成矢量。那麼"i"的意義就必須 是在矢量代數的情形下才存在意義。用一個黎曼球面我們把|z|從0到無窮大的所有的矢量影射到了一個南北極的球面上面，無窮的數域變成了有窮的數域。微分 方程變成指數方程，純為粉方程類似線形代數的方程組由通解和特解組成解系；指數變成拉伸和旋轉，平面幾何的問題變成解析幾何的問題。說的太抽象了，舉個例子，如何判斷兩條直線是否垂直，那麼z1(角度Theta1)和z2(角度Theta2)互相垂直相當於z1和z2之間的夾角=正負 90度。由於複數的乘法包含了角度的相加，那麼z2的共軛矢量角度就是-Theta2。它們兩個相乘的結果矢量角就是Theta1-Theta2，如果這 個角度是90度，那麼z1*z2'就應該是一個純虛數，反之，z1*z2'是個純虛數，就說明z1和z2垂直。所謂的"虛數"並不是不存在，而是它的值在 實數軸x上面的投影總是0。那麼寫出來就是a+bi與c+di正交的充要條件就是ac+bd=0----看起來像是線形代數裡面的[a,b]與[c,d] 互相正交的充要條件是矢量點乘=0。複數，確實是用線形代數的方式在研究高等數學，把函數的研究統一到了解析幾何。這裡，代數和幾何沒有區別。再舉一個例子，平面幾何的命題：一個三角形AB=AC，AB上有線段mn,AC上有線段jk，長度mn=長度jk，證明mj的中點x和nk的中點y，連線 垂直於BC。這道題如果用初等數學平面幾何的性質，腦袋破了都很難證明，因為平面幾何的定理是用語言表述的某種性質，證明的過程也是和人對圖形的感性認識 密切相關，例如垂直平分線，等腰三角形，這些自然語言的概念用起來太費勁，而且必須結合圖形本身來使用。OK，用複數來證明，使用一個形式語言的演算系 統：1. 假設AB是實數軸，AC是和AB夾角為a的向量，那麼假設等腰邊長為l，那麼AB=l,AC=l(cosa+isina)，BC=AC-BC=l(cosa-1 +isina)。2. 假設mn和jk的長度為r，m=M+0i，j=M(cosa+isina)，那麼n=M+r,k=(M+r)(cosa+isina)。3. mj的中點就是d1=(m+j)/2，nk的中點就是d2=(n+k)/2，兩點之間的連線的方向矢量f1=d2-d1=(n+k-m-j)/24. BC的共軛矢量f2=l(cosa-1-isina)5. f1*f2，去掉實係數=(cosa+1+isina)(cosa-1-isina)，實部=cosa^2-1+sina^2=0，所以是個純虛書，根據上例的結果，f1和f2垂直，證畢。再舉一個證明題：平行四邊形對角線的平方和=相鄰對角線平方和的兩倍。那麼設四邊形的兩條邊是矢量z1和z2，那麼|z1+z2|^2+|z1- z2|^2=(z1+z2)(z1'+z2')+(z1-z2)(z1'-z2')=2z1z1'+2z2z2'=2(|z1|^2+|z2|^2)得 證。複數的函數(複變函數)往往具有對稱性的性質。如果f(z)=a0+a1z^1+...+anz^n=X+Yi，那麼可以證明，f(z')=X- Yi。有什麼作用嗎? 如果函數f(z)=0有解a+bi，那麼a-bi也是解(顯然因為X=Y=0)。複數更重要的特徵是矢量的方向性。一個直線過z1,z2的端點，那麼方向 就是M(z2-z1)，直線方程就可以寫成點法式: z1+M(z2-z1)=Mz2+(1-M)z1。z在由x/y兩個軸構成的復片面P1上面，那麼映射f(z)對應另一個複平面P2，z->f(z)是一個映射，那麼每一個z都有一個f(z)對應， 當然不同的z可能對應相同的f(z)值。那麼P2上面的點總能找到P1上面的對應點。如果2次多項式f(z)=az^2+bz+c，其中a，b，c都是復 數，那麼逆映射總是存在，f(z)=0是P2上面的0點，它總是對應P1上面的2個點，當然這兩個點可能重合。一般的，如果不考慮平移的結果，我們假設 f(z)=z^n，按么z->f(z)是一個什麼樣子的變換呢? 我們把P1平面以0點為圓心切割成n個扇形，每個扇形的圓心角=2Pi/n，那麼每個扇形fi都對應f(z)的一個映射平面Pi，於是P1映射到了n個平 面Pi1-Pin上面，Pi1-Pin這n個平面全都相似，每個Pi對應P1上劃分的第i個扇形；每個Pi上面的點zi對應P1上面的第i個扇形當中的一 個根。這些根幅度相同，角度等差。也就是說，n階方程總是有n個復根，當然這些復根當中有些可能是虛部=0因此是實數。我們考慮一個著名的問題，三次曲線 和直線的交點,z^3=3pz+2q，p，q不為0。根據戒指定理我們可以知道f(z)=z^3-3px-q=0總是有解的，這個解寫出來就是是兩個根號 相加，根號裡面還有根號，所以可能是兩個共軛複數相加同樣得到一個實數。為什麼呢? 3次方程=0逆映射回z的平面，3個根必然是沿著單位原對於x軸對稱的3個點，所以有一個點一定在實數軸的負半軸，經過平移以後就能得到方程的實數解。這 樣就解釋清楚了黎曼平面: Pi1-Pin這N個面連接起來構成一個黎曼面PL. PL和原來z的平面P1之間的點構成一一對應關係，一對多的混亂關係得到了解決，複數函數仍然是一一對應。實變函數可以展開成泰勒級數----本質的意義不在於泰勒級數的導數項，而是在於，函數可以展開成自變數所表達的一個冪級數求和表達式，這個有點像離散結 構裡面的P問題。那麼對於複數，因為解釋函數的方嚮導數有無數個，所以無法直接表示成泰勒級數，但是仍然可以寫成冪級數求和的形式----洛朗級數，同 時，可以把泰勒級數看成洛朗級數在實軸方向上投影的特例。當然，這個時候的冪級數係數不能再用導數來求了(切線逼近法)，而是使用一個積分。如何理解這個 積分要從柯西積分公式開始(基於柯西-古薩定理，也就是2維平面的格林公式積分和路徑無關的條件)f(x,y)=1，繞著單位圓作對坐標的積分，顯 然=0，但是f(x,y)=1繞著單位圓作對弧長，顯然=2Pi。複數平面上對z做的積分，微元\是對弧長作積分，但是積分的結果又可以分解成對x和y分 別作的積分。S(z)dz=0,S(1/z)dz=2Pi*i。那麼f(z0)=SL(f(z)/z-z0)dz就是柯西積分公式了，把z0看成變數，把 z寫成w，那麼就是函數形式的柯西積分公式。 1. 我們在把可積函數變成傅立葉級數的時候，曾經強調過，每個分量之間由於是三角函數族的成員，所以構成正交關係，所以顯然，分量之間沒有重疊，展開式顯然唯 一。那麼對於泰勒級數和複分析當中的洛朗級數而言，函數的冪級數展開式是否是唯一的? 我們主要到沒有任何條件限制規定展開分量之間必須構成正交關係。正交性並不必要，基不需要正交性。z和z^2線性無關（注意是「線性」）因為不存在c1和 c2\in R，使得c1*z + c2*z^2=0, 對於所有的z屬於R都成立(z是變數，可以任意取)。嚴格的說，「冪分量」不需正交，僅要線性無關即可。反證法，我們假設冪級數的分量之間是線形相關的， 也就是存在常數k1-kn使得(k1(1是角標))k1x+k2x^2+k3x^3+...+knx^n =0。我們又知道前面這個方程，在複數域中僅有n個解，即0點僅有n個。故只有k1=k2=....=kn左端才恆為0(對於任意的z)，這就是線性無關 的條件，n任意個，即無窮個x^i都線性無關。當然這裡線性空間是一個函數空間，其實x,x^2,...構成其一個基----所以k1-kn都是0， {z^n}構成的分量，是個線性無關的集合(兩兩之間)。2. 黎曼平面有什麼應用的意義? 除了前面說的，可以建立z和f(z)的一一映射(不論是單值函數還是多值函數)以外，黎曼還有一個重要的發明: 黎曼球面。這個球面把所有的有限的問題(圓)和無限的問題(直線)統一到了一個球面上面。也就是說，無限遠的點，無論從原點看過去是哪個方向過來的，現在 都被統一到了黎曼球面的北極點(N)上面。因此，現在，所有的無窮的問題都有了一個用有限的可表示的黎曼球面來研究的可能性的，因此許多初等分析的超越問 題現在都變得可解了。3. 一起探討一下直線到圓的思維方式的轉變，以及這種轉變所可能包含的幾何意義。在一元微積分裡面，計算定積分的時候用到了牛頓萊布尼茨公式，也就是尋找了 F(x)和F(x)的導數f(x)之間的一種關係，他們在線段長度上面構成一種幾何關係，也就是在x0點附近，存在微分關 系：dF(x)=F'(x)*dx=f(x)*dx，所以dF(x)/(x-x0)=f(x)，其中dx=x-x0是x軸上面的線段的長度。這個式子兩邊 取不定積分就是S(F(x)/x-x0)dx=F(x)。放到複平面上面去，積分限無法取，我們把x變成變數w,x0先看成常量z0，積分就只能變成圍繞 z0點的一個任意無限小的圓，同時前面加上了一個係數(1/2PI*i)，然後在把z0變成變數z，於是我們就得到了柯西積分公式----一維和二維的積 分公式終於得到了統一。4. 再次討論級數，柯西積分公式當中f(z)=S(f(w)/w-z)dw，我們在收斂半徑之內的單位圓裡面，把分母部分(1/w-z)展開成為冪級數，限制 條件是在半徑R之內的圓，我們就把f(z)變成了洛朗級數。對比f(z)的複數泰勒級數形式，我們得到(1/n!)f(n')(a)=(1 /2Pi*I)S(f(w)/(w-z)^n+1)*(z-a)^ndz。我們顯然可以看到一種集合關係，也就是把f(w)看成常數，g(z)=1 /(w-z)對z求n次導數，我們就得到了gn'(z)=1/(w-z)^(n+1)，兩邊取長度的積分我們就得到了洛朗級數和泰勒級數之間的對應關係， 原先要求f(x)有無窮階導數，現在這個要求放寬了，只要這個函數可積就可以了。5. 為什麼洛朗級數裡面會有複數次冪? 因為對於柯西積分公式而言，要求在閉合路徑之內函數解析，但是如果不滿足這麼嚴格的條件怎麼辦? 我們去掉不解析的點，就得到了一些列圓環，這個圓環上作閉合路徑包圍一定的面積，就是裡外兩條曲線，外圍曲線就是洛朗技術的n>=-1的冪次項，內 圍曲線是反方向的環繞無窮原點(很奇怪嗎? 只要把z平面映射到黎曼球面上，就會得到這個結論!)，是一個負數的積分結果，它的收斂半徑相反，我們把z用z的倒數來代替，就得到了和前半部分幾乎一樣 的表達式。所以洛朗級數的形式是Sigma從n=負無窮到正無窮的形式(完備)。特別的，如果圓環是圓餅，那麼內環等於是不存在或者收縮到了一個點，也就 是n<-1的那些負數次冪不存在了，函數解析，得到洛朗級數等於泰勒級數的結論。< font="">6. f(x)的可積條件是什麼? 是f(x)x在x->無窮的時候，極限=0。如何理解這個結論? 顯然limf(x)*x=0必要條件是f(x)是1/x的高階無窮小。這意味著什麼? 因為1/x作為一個被積函數，積分是無窮大，這個結論可以通過把積分看成Sigma(1/x)求和來理解，這個求和是不收斂的。7. 通過洛朗級數的展開我們看到，函數關於z的冪級數展開釋裡面，1/z的係數就是對原函數做的一個圍線積分。這有什麼作用呢? 如果我們求f(z)的某個線積分，我們可以做輔助線來求f(z)的圍線積分S1減去f(z)關於輔助線的積分S2。我們構造輔助線使得S2=0或者很容易 求，那麼S1是可以通過把f(z)展開成冪級數立刻得到的。因此，難以計算的一維線積分變得可以求解了，冪級數的a(-1)就是傳說中的"留數"。如果這 個線積分的積分限是無窮，那麼我們就計算相應的無窮遠點的留數，這個通過留數定理可解。於是，複分析變成了數學分析的延伸。再說一個概念從線面方程到複數向量: 黎曼幾何平面上的直線方程怎麼寫? ax+by=c。但是這個方程很醜陋，我們要寫成ax'+by'=0的形式，那麼就是直線可以表示為點的取值集合(x',y')。因此x',y'之間的約 束關係就是直線方程，把這個約束寫成變數的形式，我們得到(x'=bt,y'=-at+c/b)，t是實數。於是平面幾何的方程就可以表示為點的集合。這 樣做有什麼好處? 點值的幾何做代數映射，對應就是幾何上的各種變換，於是只能用自然語言表示的幾何問題現在成了可計算的代數問題了。複變函數為什麼引入了黎曼球面？就是為了把範圍無限大的集合限制到範圍有限大的集合內，讓超越問題變得可能計算。為什麼高等數學搞了那麼多種變換，總之是 為了讓直觀不可能計算的問題變得可計算，然後再反變換回去。由遞推式(z+z',-i(z-z'),|z|^2-1)/|z|^2+1，可以知道z平面上 面對應球面的點:0對應(0,0,-1),1+i對應(2/3,2/3,1/3)。通過幾何觀察可以得知，黎曼球面上的圓對應於複數平面上面的圓(黎曼圓 不過N點)或者直線(黎曼圓過N點)。又因為複平面的點和黎曼圓的點一一對應，所以所有的直線在無窮遠處必定相交，哪怕是平行線----這就是黎曼幾何不 同於歐式幾何的一個地方。一個感受就是，通篇沒有任何平面幾何的圖形化證明，沒有使用任何平面幾何的自然語言表述的公理，一切都是使用代數符號完成的計算 和證明，完成了從感性到理性的認識高度的上升，從平面幾何的"形而中"，上升到了解析代數的"形而上"，完成了從初等數學到高等數學的升級。THE END