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2017-07-25T20:27:27+00:00
我們知道哥白尼的「日心說」,也知道開普勒通過分析太柯勃拉(1546-1601)的大量觀測數據,歸納得到了他有名的行星運動三大定律。由於這些定律是以積分(而非微分)形式出現的,所以除了對當時觀察到的天體運動之外,不具有更普遍的意義。但這卻代表了自然科學工作方法的第一部曲——「觀察」。伽利略利用自製的望遠鏡,觀察到金星的盈虧現象,肯定了「日心說」的正確性,他創始了自然科學工作方法的第二部曲——「實驗」。牛頓在伽利略和他自己的大量實驗基礎上,抽象外推,把實踐的結果上升為理論。他大膽外推,提出了有名的牛頓三大運動定律。這個飛躍性的步驟,形成了自然科學工作方法的第三部曲——「 理論」。「科學方法」的三部曲「觀察,實驗,理論」便由開普勒,伽利略和牛頓完成了。也正是從牛頓開始,人類在認識自然的方法上,出現了一個嶄新的時代。牛頓和他的三大運動定律關於牛頓三大運動定律,實際上來說,只有第二第三兩定律才是具有實質性,起到綱領性作用的真正的「定律」。讓我們用數學的形式來舉個例子:第二定律,它其實是一個左端為「力」,右端為「動量對時間的一階導數」的微分方程。當無外力作用時,這個方程的一次積分給出了物體運動所必需遵守的「動量守恆」定律,就變成了牛頓的第一定律。而第三定律說明了對於一個多質點系統,由於質點間的相互作用相等反向,不影響質心的運動,導致多質點系統的運動完全按整體的「質心運動」,以及按質點對質心的「相對運動」,這就大大提高了第二定律的適應性。但由於太陽和行星間質量的懸殊,質心基本落在太陽上面,相比,日心說代表了一個遠較明智的坐標抉擇,它剝去了地心說的神秘外衣,給出了一個合理簡單的太陽系運動圖象。但實際上,以上的例子不過是一種「事後諸葛亮」的分析,這是欠公允的,我們要從認識論的角度來對牛頓的三大運動定律進行逐條分析。熟知的牛頓第一定律的物理實驗第一定律的第一點無外力作用時,物體靜者恆靜,這是人們所熟知的;但是第二點動者沿一直線作等速運動,卻是一個極其大膽的外推。因為實際上,從來,也永遠不會有人能用實驗來證明這個論斷的正確性。通過第三點—只在外力作用下,物體才改變其運動狀態。牛頓對上一外推的無法證實性給出了解釋,從而為定律提供了閉合的環節。而說起第二定律,由於第一定律已經用回顧的方式作了討論,有人認為通過第二定律,牛頓實際上既給「力」下了一個定性的定義, 即「力」就是改變物質運動狀態的原因,並且又通過方程給「力」下了一個定量的定義。也有人認為「力」這個東西是人們熟知的,當你手提肩挑時能感到,用秤也能讀出「物體的重力」。在平衡靜止情況下,外力給予物體的加速度,和「重力加速度」大小相等,方向相反。因此不妨認為通過第二定律,牛頓給物體的「質量」下了定義,即「質量」為「重力」和「重力加速度」間的比值。牛頓第三定律第三定律則表示了物體之間相互作用的關系,也予示了後來由達朗貝(1717-1783)通過引進「慣性力」而建立起來的達朗貝原則,即「動態的靜止平衡定理」。牛頓力學體系牛頓的在力學上的偉大貢獻, 首先在於完成了科學方法的最後環節,即由實踐到理論的上升飛躍,從而開始了三百多年來的科學時代。其次就是為物理學的兩根支柱,理論力學和分析數學,奠定了堅實的基礎。牛頓的力學觀也逐漸形成了所謂「牛頓力學體系」。那麼,究竟什麼是牛頓力學體系呢?牛頓力學體系的核心,其實就是他有名的三大運動定律。它們決定了古典力學的範疇,決定了三百多年的力學發展方,無疑今後還將繼續指導力學學科的發展。牛頓力學體系實質上是在建在四個獨立「 概念」的基礎之上的一坐大廈。這四個基礎概念分別是:絕對化的「質量」、絕對化的「空間」、絕對化的「時間」和「力「(或「場」)。這裡的「絕對化」其實是指不受物體運動狀態影響的意思。牛頓的運動方程也是在這四個物理量的基礎上建立起來的。運動方程是一個以微分方程形式表示的函數關係式,出現在方程左端的項為「力」,右端的項為「質量」與「坐標對時間的二階導數」的乘積。由於這定律是以一個二階常微分方程的形式出現的,它的解,就是運動的軌跡,顯然由兩個初始條件就完全可以決定。也就是說:物體的運動,遵循一個嚴格的因果關係,就是「因果律」。因此,牛頓力學體系具有兩個主要特點:(1)遵循嚴格的「因果律」。(2)存在「時間」和「空間」的絕時化,以及它們之間的獨立性。而這兩個特點,在某種意義上,也是它的缺點,它們導致了牛頓力學體系的局限性,出現了受常規尺度和速度限制的適用範圍。二十世紀初,兩個新力學體系相對論力學,量子和波動力學的興起,就是在極端情況下,對「因果律」和「時空的絕對化及可分割性」的挑戰。牛頓對力學學科的主要奠基性貢獻,除了他的三大運動定律之外,還有著名的「萬有引力」。我們知道兩物體之間,存在著相互的向心引力,它和質量的乘積成正比,和距離的平方成反比,係數為一個普適的萬有引力常數。牛頓假設了所有物體,不管是天體還是地面物體,都受同一運動規律的制約。應用微積分,易於證明一個具有等線速度的圓周運動,是一個有向心加速度的運動,而這個加速度就等於半徑和「角速度平方」的乘積。若是把這個結果代入牛頓第二定律,如果同時假設一質量遠大於另一質量,可以近似認為大質量固定不動,小質量繞大質量作圓周運動,這時這個定律就立即給出了「周期平方」正比於「半徑立方」的結果。若是把這個簡化結果應用到行星繞日運動,正就是凱普勒得到的第三定律。總之,牛頓通過他的三大運動定律和萬有引力定律的結合,輕而易舉地從理論上解釋了凱普勒由觀測結果總結得到的行星運動規律,使引進普適的萬有引力常數,這也是牛頓的另一大膽創新。物體在勢場中必須遵守「能量勢能加動能守恆定律」。對於具有分佈質量的物體來說,並不難證明它對外部所產生的「引力場」是和該物體質量分佈無關的。我們可以假設全部質量集中在一點,即所謂「質心」,對於一個質量來說,它受到由另一質量所產生的,和質量成正比,且和距離平方成反比的「引力場」的作用,「場」表示了不相接觸的物體間的相互作用,而物質和引力場的相互作用,導致了「引力勢」的概念把這概念和第二定律相結合。牛頓偉大成就之一,就在於他發明了表達因果性物理定律的必要工具,也就是數學方法。而這個數學表示必須具有微分方程的形式。關於這一點,愛因斯坦(1879-1955)曾作過如下的論述「為了給予他的體系以數學的形式,牛頓首先發現微分的概念,並用微分方程的形式來表達他的運動定律—這或許是有史以來一個人所能邁出的一個最大的理智步伐」。為了解決具體力學問題, 即具有初始條件的問題, 對微分方程還必須進行求解, 而這也是由牛頓對積分學的發展而獲得解決的。牛頓力學和具體物性的結合對於具有結構的固體,在不平衡的外力作用下,它的剛體運動規律由牛頓第二定律給出。在平衡外力作用下,由於物質的「可變形性」,物體內部產生了應力分佈和形變,因此發展了一門所謂「固體力學」的分支學科,它的內容包括了彈性力學和物體受載情況下的穩定性研究。對於不具有結構的流體介質(液態、氣態),在不平衡外力作用下,產生介質的流動,形成了「流體動力學」的一門分支學科。它通過對介質微元,在牛頓力學基礎上,進行連續性和動量關係的探討,建立起了相應的偏微分運動方程組這方面主要的貢獻,是歐拉得到的固定坐標系中的分佈流場方程組,和拉格朗日求得的隨流質點動力學方程組。而在數學上則有了泛函分析,為了解決泛函的極值問題,拉格朗日發展了變分原理,得到了歐拉的極值微分方程組。假如採取拉格朗日函數為泛函內的被積函數,則立即得到了有名的拉格朗日運動方程組。在古典場論問題中,還出現了具有普遍意義的典型「物理數學」方程, 如拉普拉斯方程、泊桑方程、達朗貝方程等。對於這些方程,隨著在不同坐標系中的求解,導致了各種特殊函數,例如貝塞爾函數、球諧函數、勒讓特多項式等。本文經科學大院授權轉載
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