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數學起源於人類早期的生產活動，古巴比倫人從遠古時代開始已經積累了一定的數學知識，並能應用實際問題。從數學本身看，他們的數學知識也只是觀察和經驗所得，沒有綜合結論和證明，但也要充分肯定他們對數學所做出的貢獻。 基礎數學的知識與運用是個人與團體生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精鍊早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本內便可觀見。從那時開始，其發展便持續不斷地有小幅度的進展。但當時的代數學和幾何學長久以來仍處於獨立的狀態。 代數學可以說是最為人們廣泛接受的「數學」。可以說每一個人從小時候開始學數數起，最先接觸到的數學就是代數學。而數學作為一個研究「數」的學科，代數學也是數學最重要的組成部分之一。幾何學則是最早開始被人們研究的數學分支。 直到16世紀的文藝復興時期，笛卡爾創立了解析幾何，將當時完全分開的代數和幾何學聯繫到了一起。從那以後，我們終於可以用計算證明幾何學的定理；同時也可以用圖形來形象的表示抽象的代數方程。而其後更發展出更加精微的微積分。 現時數學已包括多個分支。創立於二十世紀三十年代的法國的布爾巴其學派則認為：數學，至少純數學，是研究抽象結構的理論。結構，就是以初始概念和公理出發的演繹系統。他們認為，數學有三種基本的母結構：代數結構（群，環，域，格……）、序結構（偏序，全序……）、拓撲結構（鄰域，極限，連通性，維數……）。 數學被應用在很多不同的領域上，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學在這些領域的應用一般被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並促成全新數學學科的發展。數學家也研究純數學，也就是數學本身，而不以任何實際應用為目標。雖然有許多工作以研究純數學為開端，但之後也許會發現合適的應用。 具體的，有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域：由邏輯、集合論（數學基礎）、至不同科學的經驗上的數學（應用數學）、以較近代的對於不確定性的研究（混沌、模糊數學）。 就縱度而言，在數學各自領域上的探索亦越發深入。 【李善蘭恆等式】數學家李善蘭在級數求和方面的研究成果，在國際上被命名為「李善蘭恆等式」（或李氏恆等式）。 【華氏定理】數學家華羅庚關於完整三角和的研究成果被國際數學界稱為「華氏定理」；另外他與數學家王元提出多重積分近似計算的方法被國際上譽為「華—王方法」。 【蘇氏錐面】數學家蘇步青在仿射微分幾何學方面的研究成果在國際上被命名為「蘇氏錐面」。 【熊氏無窮級】數學家熊慶來關於整函數與無窮級的亞純函數的研究成果被國際數學界譽為「熊氏無窮級」。 【陳示性類】數學家陳省身關於示性類的研究成果被國際上稱為「陳示性類」。 【周氏坐標】數學家周煒良在代數幾何學方面的研究成果被國際數學界稱為「周氏坐標；另外還有以他命名的「周氏定理」和「周氏環」。 【吳氏方法】數學家吳文俊關於幾何定理機器證明的方法被國際上譽為「吳氏方法」；另外還有以他命名的「吳氏公式」。 【王氏悖論】數學家王浩關於數理邏輯的一個命題被國際上定為「王氏悖論」。 【柯氏定理】數學家柯召關於卡特蘭問題的研究成果被國際數學界稱為「柯氏定理」；另外他與數學家孫琦在數論方面的研究成果被國際上稱為「柯—孫猜測」。 【陳氏定理】數學家陳景潤在哥德巴赫猜想研究中提出的命題被國際數學界譽為「陳氏定理」。 【楊—張定理】數學家楊樂和張廣厚在函數論方面的研究成果被國際上稱為「楊—張定理」。 【陸氏猜想】數學家陸啟鏗關於常曲率流形的研究成果被國際上稱為「陸氏猜想」。 【夏氏不等式】數學家夏道行在泛函積分和不變測度論方面的研究成果被國際數學界稱為「夏氏不等式」。 【姜氏空間】數學家姜伯駒關於尼爾森數計算的研究成果被國際上命名為「姜氏空間」；另外還有以他命名的「姜氏子群」。 【侯氏定理】數學家侯振挺關於馬爾可夫過程的研究成果被國際上命名為「侯氏定理」。 【周氏猜測】數學家周海中關於梅森素數分佈的研究成果被國際上命名為「周氏猜測」。 【王氏定理】數學家王戌堂關於點集拓撲學的研究成果被國際數學界譽為「王氏定理」。 【袁氏引理】數學家袁亞湘在非線性規劃方面的研究成果被國際上命名為「袁氏引理」。 【景氏運算元】數學家景乃桓在對稱函數方面的研究成果被國際上命名為「景氏運算元」。 【陳氏文法】數學家陳永川在組合數學方面的研究成果被國際上命名為「陳氏文法」。 事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干知，發其一端而已。又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。——劉徽 遲疾之率，非出神怪，有形可檢，有數可推。——祖沖之（429-500） 新的數學方法和概念，常常比解決數學問題本身更重要。——華羅庚 數學表達上準確簡潔、邏輯上抽象普適、形式上靈活多變，是宇宙交際的理想工具。——周海中[3] 科學需要實驗。但實驗不能絕對精確。如有數學理論，則全靠推論，就完全正確了。這科學不能離開數學的原因。 許多科學的基本觀念，往往需要數學觀念來表示。所以數學家有飯吃了，但不能得諾貝爾獎，是自然的。數學中沒有諾貝爾獎，這也許是件好事。諾貝爾獎太引人注目，會使數學家無法專註於自己的研究。——陳省身 現代高能物理到了量子物理以後，有很多根本無法做實驗，在家用紙筆來算，這跟數學家想樣的差不了多遠，所以說數學在物理上有著不可思議的力量。——丘成桐 看書和寫作業要注意順序。我們要養成良好的學習方法，盡量回家后先複習一下當天學習的知識，特別是所記的筆記要重點關照，然後再寫作業，這樣效果更佳。 萬物皆數。——畢達哥拉斯 幾何無王者之道。——歐幾里德 數學是上帝用來書寫宇宙的文字。——伽利略[2] 我決心放棄那個僅僅是抽象的幾何。這就是說，不再去考慮那些僅僅是用來練思想的問題。我這樣做，是為了研究另一種幾何，即目的在於解釋自然現象的幾何。——笛卡兒（Rene Descartes 1596-1650） 數學家們都試圖在這一天發現素數序列的一些秩序，我們有理由相信這是一個謎，人類的心靈永遠無法滲入。——歐拉 數學中的一些美麗定理具有這樣的特性： 它們極易從事實中歸納出來, 但證明卻隱藏的極深。數學是科學之王。——高斯 這就是結構好的語言的好處，它簡化的記法常常是深奧理論的源泉。——拉普拉斯(Pierre Simon Laplace 1749-1827) 如果認為只有在幾何證明裡或者在感覺的證據里才有必然，那會是一個嚴重的錯誤。——柯西（Augustin Louis Cauchy 1789-1857） 數學的本質在於它的自由。——康托爾（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845-1918） 音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切。——克萊因（Christian Felix Klein 1849-1925） 只要一門科學分支能提出大量的問題， 它就充滿著生命力， 而問題缺乏則預示獨立發展的終止或衰亡。 ——希爾伯特（David Hilbert 1862-1943） 問題是數學的心臟。——保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos 1916-2006） 時間是個常數,但對勤奮者來說,是個『變數』。用『分』來計算時間的人比用『小時』來計算時間的人時間多59倍。——雷巴柯夫