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數學之美無與倫比數學研究在人們眼裡可能更像是一種對方程的追求，然而它所表達出來的圖形與比例卻給我們帶來過一些最觸動人心的藝術作品，正如品讀《達芬奇密碼》時所能體會到的那樣。一起來欣賞一下這些現代數學藝術。義大利數學家盧卡·帕西奧利 (Luca Pacioli) 在五百年前出版的《神奇的比例》，達芬奇曾親自為其配圖；荷蘭藝術家M.C.埃舍爾 (M. C. Escher) 也發表過很多作品，為我們展示了奇妙的空間幾何。可以看到，蘊藏在數字與公式之中的純粹和樣式可以把我們的世界裝點得更為美麗。這些畫面不僅出現在人類以往的傑作上，今天的數學家和藝術家同樣在描繪著動人的圖案。在計算機的幫助下，其表現力更為卓越。讓我們來感受下人類最近在數學藝術中的七次冒險。西蒙·貝克 (Simon Beck) 是一位地圖設計師，對藝術的熱愛讓他在阿爾卑斯的雪山上繪製出很多精妙絕倫的冰雪奇觀。在雪地上完成一幅圖案平均需要11個小時，而貝克的工具只有他的指南針和腳下的雪靴。其大部分作品都表現了數學的曼妙，比如圖中的科赫曲線 (Koch snowflake) 和謝爾賓斯基三角形 (Sierpinski triangle)。2、複雜的計算機繪圖伊朗數學藝術家Hamid Naderi Yeganeh通過數學公式制出了錯綜複雜的計算機繪圖。他的程序一天能夠繪出上千幅圖案，大多非常漂亮。他還發現，其中一些圖案簡直就是我們生活中的實體造型。「我調整公式以求獲得更佳的圖案，不過在程序運行前，我自己也不知道究竟能畫出什麼來。比如，那個船型和一些動物樣式 (如飛鳥) 就是無意中做出的。」在他做出的帆船中，使用了2000條線段。他在以下公式中給參數k賦值1，2，3……2000，從而計算出線段的端點。(cos(6πk/2000)-icos(12πk/2000))e^(3πi/4) 和(sin((4πk/2000)+(π/8))+isin((2πk/2000)+(π/3)))e^(3πi/4)現在他不斷地對數據進行微調以便做出更多可以辨識出來的圖案，他希望藉此向世界展現「數學的力量」。同時，他還在網上公開了自己的方程和圖案，大家都可以拿來自行嘗試。3、法貝熱彩蛋分形藝術分形是在不同尺度下不斷重複所形成的圖案，它們無限地創造著那些我們平時所熱愛的簡單圖案：線條、曲線、漩渦等等。英國物理學家湯姆·貝達德 (Tom Beddard) 用數字技術呈現了3D版法貝熱彩蛋 (Fabergé egg)，彩蛋上就覆蓋著這種分形圖案。「這些3D分形由迭代方程而來，每個迭代方程的輸出結果即為下一個方程的輸入項。」貝達德介紹，「方程能夠有效地進行摺疊、縮放、翻轉等等。這是很奇妙的分形藝術，你越貼近表面去觀察，越能看到更多的精彩細節。」4、分形的分類法即使你是分形的死忠粉，可能也不一定知道其實存在著很多種不同的分形，而且它們和上面的例子不盡相同。這也是為什麼Liz Blakenship和Daniel Ashlock創造了分形的分類法，並通過圖形展示了它們的奇妙之處。這些L系統 (Lindenmayer) 與其說是數學圖形，倒是更像一些異域的蕨類植物。不過它們都是通過重複的樣式繪製出來的。「這些L系統分形的兩個角度由字母A和B給出，而它們的兩個距離由字母C和D給定。」5、數學語言的3D模型澳大利亞數學家亨利·薩格曼 (Henry Segerman) 為了使學生們更好地理解數學公式與概念，創造了很多圖形和3D列印模型。薩格曼說：「我們應該給學生們時間去理解數學語言，並用它去創造性地解決問題。通常，數學課都擺脫不了死記硬背式的練習，相比之下，英文課上他們則可以用語言去創造新的想法，編一個故事，寫一首詩。」「數學的語言不像藝術語言那樣容易接近，不過我可以將它們翻譯成另一種形式，通過創造一幅畫或者一件雕塑來表達數學想法。」6、《美麗心靈》的等距嵌入等距嵌入可能不太好理解，但這正是《美麗心靈》原型約翰·納什 (John Nash) 和尼古拉斯·柯伊伯 (Nicolaas Kuiper) 的傑出貢獻。這一理論解釋了如何將整個世界包含在一粒沙當中。這聽起來挺荒唐的。但是如果我們拿一個球體為例——比如網球——想象它縮小到納米級半徑，只要對錶面施以足夠的「擾動」 (要求平滑，不能產生褶皺或撕裂)，你就能得到與原網球相匹配的等距同構，所以內容都包含在納米級範圍內。目前已有一個法國數學團隊在自稱為Hevea Project的項目中創造出數字模型，其樣式令人驚嘆。7、慶祝好奇號登陸火星如果說有什麼事比數學藝術作品更精彩，那一定是慶祝宇宙探索的數學藝術。比如前NASA工程師凱瑞·米歇爾 (Kerry Mitchell) 在2012年慶祝好奇號探測器登陸火星時創作的圖像。雖然這幅圖看起來像是常規的繪畫，但米歇爾實際上是通過演算法和分形來完成的這一作品。「這幅畫反映了一個方程在重複迭代下的動態變化，它也叫《好奇》。」