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2021/12/25
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幾何證明題入門難，證明題難做，已經成為許多同學的共識，今天小欣老師分享的是一位數學老教師總結的幾何證明題思路及常用的原理，一定要好好看並且收藏起來！
證明題的思路
很多幾何證明題的思路往往是填加輔助線，分析已知、求證與圖形，探索證明。
對於證明題，有三種思考方式：
(1)正向思維。對於一般簡單的題目，我們正向思考，輕而易舉可以做出，這裡就不詳細講述了。
(2)逆向思維。顧名思義，就是從相反的方向思考問題。在國中數學中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現的更加明顯。
同學們認真讀完一道題的題干后，不知道從何入手，建議你從結論出發。
例如：
可以有這樣的思考過程：要證明某兩條邊相等，那麼結合圖形可以看出，只要證出某兩個三角形相等即可；要證三角形全等，結合所給的條件，看還缺少什麼條件需要證明，證明這個條件又需要怎樣做輔助線，這樣思考下去……這樣我們就找到了解題的思路，然後把過程正著寫出來就可以了。
(3)正逆結合。對於從結論很難分析出思路的題目，可以結合結論和已知條件認真的分析。
國中數學中，一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，比如給我們三角形某邊中點，我們就要想到是否要連出中位線，或者是否要用到中點倍長法。給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰，或平移對角線，或補形等等。正逆結合，戰無不勝。
證明題要用到
哪些原理？
要掌握國中數學幾何證明題技巧，熟練運用和記憶如下原理是關鍵。
下面歸類一下，多做練習，熟能生巧，遇到幾何證明題能想到採用哪一類型原理來解決問題。
一、證明兩線段相等
1.兩全等三角形中對應邊相等。
2.同一三角形中等角對等邊。
3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。
4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。
5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。
6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。
7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。
8.過三角形一邊的中點且平行於第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。
9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。
10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內垂直於直徑的弦被直徑分成的兩段相等。
11.兩前項（或兩後項）相等的比例式中的兩後項（或兩前項）相等。
12.兩圓的內（外）公切線的長相等。
13.等於同一線段的兩條線段相等。
二、證明兩個角相等
1.兩全等三角形的對應角相等。
2.同一三角形中等邊對等角。
3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。
4.兩條平行線的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等。
5.同角（或等角）的餘角（或補角）相等。
6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等於它所夾的弧對的圓周角。
7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
8.相似三角形的對應角相等。
9.圓的內接四邊形的外角等於內對角。
10.等於同一角的兩個角相等。
三、證明兩條直線互相垂直
1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直於底邊。
2.三角形中一邊的中線若等於這邊一半，則這一邊所對的角是直角。
3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。
4.鄰補角的平分線互相垂直。
5.一條直線垂直於平行線中的一條，則必垂直於另一條。
6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。
7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的對角線互相垂直。
10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直於弦。
11.利用半圓上的圓周角是直角。
四、證明兩直線平行
1.垂直於同一直線的各直線平行。
2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。
3.平行四邊形的對邊平行。
4.三角形的中位線平行於第三邊。
5.梯形的中位線平行於兩底。
6.平行於同一直線的兩直線平行。
7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線平行於第三邊。
五、證明線段的和差倍分
1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。
2.在第三條線段上截取一段等於第一條線段，證明餘下部分等於第二條線段。
3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。
4.取長線段的中點，再證其一半等於短線段。
5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質等）。
六、證明角的和差倍分
1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分線的定義。
3.三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和。
七、證明線段不等
1.同一三角形中，大角對大邊。
2.垂線段最短。
3.三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。
4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。
5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。
6.全量大於它的任何一部分。
八、證明兩角的不等
1.同一三角形中，大邊對大角。
2.三角形的外角大於和它不相鄰的任一內角。
3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。
4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。
5.全量大於它的任何一部分。
九、證明比例式或等積式
1.利用相似三角形對應線段成比例。
2.利用內外角平分線定理。
3.平行線截線段成比例。
4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。
5.與圓有關的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。
6.利用比利式或等積式化得。
十、證明四點共圓
1.對角互補的四邊形的頂點共圓。
2.外角等於內對角的四邊形內接於圓。
3.同底邊等頂角的三角形的頂點共圓（頂角在底邊的同側）。
4.同斜邊的直角三角形的頂點共圓。
5.到頂點距離相等的各點共圓
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