中學生科學素質讀本（二十六）

一厘米線段上的點與太平洋面上的點一樣多嗎

太平洋的面積有1.56億千米2，有三個半亞洲那麼大，洋麵上的點，竟然和一厘米長線段上的點一樣多，這不是天方夜譚嗎？然而，這看似不可能的假設，竟然被德國數學家康托爾證明了。

想弄明白這個問題，首先要明確「點是什麼」。點是數學、幾何等學科中常用的概念。點構成線，線又構成面，如果用10顆棋子排成一行，那麼每顆棋子就是一個點，這一排棋子就叫做一條線。如果用10個西瓜排成一行，那麼每個西瓜就是一個點，一排西瓜就叫一條線。不管棋子和西瓜的大小多麼懸殊，在數學、幾何等學科中，它們各自作為點、線，都是平等的，沒有大小、長短之分。可見，「點」是一個相對的概念。

如果給這些棋子和西瓜「配對」，每一顆棋子剛好可以和一個西瓜相配，一個不多，一個不少，這就叫做「一一對應」。

棋子也好，西瓜也好，都是有具體體積的實體，而數學、幾何等學科內的點則是指「零維度對象」，也就是把棋子或者西瓜想象成無限縮小，小到任何東西都比它大。

那麼，用這樣的點填滿一厘米長線段，需要多少個？

用這樣的點鋪滿太平洋麵，又需要多少個？

你的答案可能呼之欲出：既然點是無限小的，那麼不管鋪滿線段也好，太平洋面也好，都需要無限個啊！

恭喜你，憑著自己的想象和推論，就弄明白了困擾數學家和哲學家幾個世紀的概念——無窮集合。

德國數學家康托爾先是證明了無窮集合可和自己的一部分一一對應，幾年後又進一步證明了平面和線段上的點可以一一對應，並在此基礎上發展成為了集合論。1883年，康托爾又提出了廣為人知的康托爾三分集。此點集具有自相似性，包含無窮多個點，所有的點處於非均勻分佈狀態。

集合論已成為整個數學大廈的基礎，康托爾也因此成為世紀之交最偉大的數學家之一。

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