喝醉的酒鬼和喝醉的小鳥，誰能先回到家？

波利亞，匈牙利數學家，1940年前生活在歐洲，后移居美國。波利亞能夠用匈牙利語、法語、德語、義大利語、英語和丹麥語等幾種文字寫作，他當然也會一些拉丁語和希臘語。波利亞青年時期曾攻讀過數學、物理和哲學，在數學研究方面涉獵過數論、函數論、概率論、幾何等領域。波利亞活到98歲耳聰目明，這與他一直進行數學思考不無關係。

波利亞（George Po?lya，1887—1985），匈牙利數學家，1940年前生活在歐洲，后移居美國。波利亞青年時期曾攻讀過數學、物理和哲學，在數學研究方面涉獵過數論、函數論、概率論、幾何等諸領域；晚年熱心數學教育，所著數學教育書籍風靡世界。波利亞因其關於隨機行走問題的研究而聞名。

波利亞的數學功底在其同事和學生中間有口皆碑，就對基礎數學的理解深度而言，無人能出其右。其對數學教學的熱情，不只是其數學天分，才是取得這樣傑出成就的保證。

關於波利亞為什麼如此成功的探討，一個必須注意的因素是其東歐血統。東歐人民大體上是天然地會掌握多種語言的族群。東歐的作家，如卡夫卡、昆德拉等人，都能用多種語言創作。

波利亞作為數學家，曾被譽為二十世紀經典分析領域的巨人之一，他的所有研究都體現出使人愉悅的個性、令人驚奇的鑒賞力、水晶般清晰的方法、簡捷的手段以及有力的結果。但是，波利亞的名氣更多地來自他的教育理念與實踐。波利亞主張數學教育主要目的之一是發展學生解決問題的能力，教會學生思考。為了教會人們如何解答（數學）問題，波利亞先後撰寫了How to Solve It（中譯本《如何解題》），Mathematical Discovery on Understanding， Learning， and Teaching Problem Solving（中譯本《數學的發現》），Mathematics and Plausible Reasoning： Induction and Analogy in Mathematics（中譯本《數學與猜想：數學中的歸納和類比》），Mathematics and Plausible Reasoning： Patternsof Plausible Inference（中譯本《數學與猜想：合情推理模式》）等書。這些書籍一經出版，立刻在數學界引起轟動，很快風行世界。波利亞的這些書，高屋建瓴偏又能深入淺出，我相信幾乎所有閱讀過的人們都會有醍醐灌頂的感覺。筆者在閱讀這些書籍時，只覺得那些年——從國小到博士畢業——筆者消磨在數學上的時光，真是白費了。

數學一向是被認為最晦澀難懂的學問。波利亞卻有一種特殊的風格，總是能用他不經意的風趣去消解讀者的畏難情緒。「In order to solve this differential equation， you look at it till a solution occurs to you。（為了解這個微分方程，你要盯著它看，直到方程的解降臨於你。）」「The first rule of discovery is to have brains and good luck。 Thesecond rule of discovery is to sit tight and wait till you get a bright idea。（發現的第一定律是要有腦子和好運氣，發現的第二定律是你要坐得住，直等到有了聰明的好主意。）」這些風趣的句子隨意散落在波利亞的著作中。句句在理的大白話，不免讓人會心一笑。那接下來的深刻數學，也就不是那麼索然無味了。

波利亞灌輸數學思想的同時，一直不厭其煩地就具體的問題，引導讀者去學會解決數學問題的方法。在《如何解題》一書中，波利亞針對解決數學問題（一般指還沒有現成解的問題）建議了如下步驟：

1。 首先，你要弄明白問題；

2。 弄明白問題后，制定一個計劃；

3。 執行計劃；

4。 回過頭來檢查已完成的工作。可以做得更好一些嗎？

如果以上幾條不好使，波利亞建議你看看能否找到你能解決的、稍容易一點的問題，或者首先嘗試解決一些相關的其它問題。筆者覺得，波利亞的這些建議不只是針對數學問題，對於物理學或者其它自然科學領域，它們也一樣有效。難怪「按照波利亞的方式解決問題（Problemsolving a? la Po?lya。）」會被學術界奉為圭臬。

波利亞在數學方面的一個重大貢獻是關於隨機行走規律的研究。波利亞注意到隨機行走問題的過程非常具有傳奇色彩，因此被科學史家所津津樂道。波利亞在瑞士的時候，有段時間住在一家療養院里。療養院在一片林地里，平時波利亞就在林子里一邊散步一邊思考他的數學問題。有點像我們的唐朝詩人李賀，波利亞出門也是帶著紙和筆的，一旦思有所得就趕緊記下來。療養院附近住著一些學生，有些還是波利亞認識的。有一天，波利亞在散步的時候遇到了一個他認識的學生，這個學生帶著他的女朋友一塊兒也在散步。相遇的時候也許打過招呼也許沒打招呼，反正是雙方（波利亞一方，那個學生和他的女朋友為另一方）在相遇后選擇不同路徑各自繼續走下去。令波利亞大為驚訝的是，儘管努力規避，接下來他們又在不同的地點相遇了好幾次，這讓雙方多少都有一點尷尬。波利亞非常擔心那個學生會以為他是故意在製造這樣的相遇。「他們不會以為我是個變態吧？不行，本教授不是那樣的人，這個現象一定要有個解釋。」波利亞這樣想到。這促使他考慮如下的問題：在給定的道路網格中，兩個人不經意相遇的可能性到底是多大？這開啟了波利亞關於隨機行走問題的研究。1921年，他發表了第一篇關於隨機 行走的論文。有人認為是波利亞第一個引入了「隨機行走」這個概念，這不確切。其實早在1905年，佩爾森（Karl Pearson）就正式提出過隨機行走的問題。

波利亞關於隨機行走問題的規律，可簡單地總結如下：

在一維空間中，一個隨機選擇下一步往哪兒走的醉漢有無窮多的機會路過他喝酒的那家酒館；

在二維的道路網格上，一個隨機選擇下一步往哪兒走的醉漢在經過足夠長的時間後有可能路過他喝酒的那家酒館（圖1）；

在三維的道路網格上，一個隨機選擇下一步往哪兒走的醉漢算是別指望能路過他喝酒的那家酒館了。還可以換個通俗的說法：你弄丟的狗不知哪一天自己就會找回家來，而你撒出去的鳥兒就再也沒有相見的那一天了。這個結論很容易理解，但是要給出嚴格的數學證明，就不是一般人能勝任的了。如今，隨機行走模型在物理學、化學、生物學、經濟學等諸多領域都得到了廣泛的應用。大師的影響，無遠弗屆。

波利亞關於隨機行走的定律，其社會學的意義也不容小覷。在幾乎沒有立交橋的地區，男人盡可以看著心愛的女人開車出門而不必擔心。因為，即使她完全任性地、隨機地前行或轉彎，只要汽車還沒有獲得飛行的功能，足夠長的時間后你就一定能看到她路過家門——但願那時候你還能認得出她的模樣。如果是在立交橋遍布的地區，如果她隔天還沒回家，別等了，報警吧！

題圖來源：We Have Concerns

參考文獻：

George Po?lya。 U?ber eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnungbetreffend die Irrfahrt im Strassennetz（關於在街道網格中誤打誤撞的概率計算）。 Math。 Ann。， 1921， 84： 149-160。

Karl Pearson。 The Problem of The Random Walk。 Nature， 1905， 72：294。

Gerald L。 Alexanderson。 The Random Walks of George Po?lya.Cambridge University Press， 2000。

David A。 Levin， Yuval Peres。 Polya』s Theorem on Random Walks viaPolya』s Urn。 Amer。 Math。 Monthly， March 2010， 117： 220-231。