藉助力學概念學一點音樂知識：律制

本文純屬個人愛好，但十分的不確定對錯。希望能得到各位老師的指正，不勝感激！

音樂的力量總是讓人感覺神秘莫測，它可以使緊張、憂鬱的心情得到放鬆，還可以導引快樂的心情直通巔峰；可以營造出莊嚴莊重的氣氛，也可以營造出幽默詼諧的氛圍。我們知道，不管是樂器、動物還是人，大自然的一切聲音都是由於物體振動產生的，對於聲音的描述都可以用頻率、幅值、波形等力學量來描述，如果對於學過《振動力學》或《機械振動》的人來說，將音樂中的術語換成力學量來描述，可能會對音樂的理解有很大的幫助。

即便是沒有學過音樂的人，相信也知道音樂中的Do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si，它們被稱為音的唱名。除唱名外，每個音還有音名，對應的就是1、2、3、4、5、6、7，還有另外一種標記法C、D、E、F、G、A、B。這7個音排在一起，又被稱為一個音階。為了方便說明，把音階對應的音名、唱名對應起來列在下面：

音名：C、 D、 E、 F、 G、 A、 B；

或者：1、2、 3、 4、 5、6、 7，

唱名：Do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si；

我們知道，不管是樂器還是動物、人，大自然的一切聲音都是由於物體振動產生的，音階中音的高低就是由發聲物體在不同振動頻率下振動而形成的，當振動頻率高時，音聽起來就高一點，當振動頻率低時，音聽起來就低。在歷史長河中，人們不斷總結那些音聽起來好聽，那些音不好聽，總結和探索出來各音之間的頻率關係。本文將藉助於頻率這一力學量來學習樂理知識中的律制，就是音階中的每個音的確定方法。

幾個基本概念

為了便於說明，我們先解釋幾個基本概念。如果把每個音從低到高把排列起來，這樣的一列音就稱為音列，舉一個包含低音、中音和高音的例子如下

L1，L2，L3，L4，L5，L6，L7，1，2，3，4，5，6，7，H1，H2，H3，H4，H5，H6，H7

低音 中音高音

（我的公式編輯器不能打下點表示低音，就用L表示低音，用H表示高音。）

在音列中，任意兩個音之間的距離叫做音程（頻率的差距），在我們熟悉的C調大音階中，從3到4，從7到H1是半音程，其它相鄰兩音為全音程，並且一個全音程可以分為兩個半音程。音程的度量單位為「度」，表示音之間的距離，比如我們常說的高八度，或叫八度音，就是兩個相差八個音級的音，如1和H1，或者2和H2等等；五度音就是1和5，或者2和6等等。

古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580年～約前500（490）年）研究了音的高低的理論原因（請參見畢達哥拉斯琴弦實驗），他指出當弦長比例為簡單比時，彈出的聲音就比較「和諧」悅耳，並確定出當弦長比為1:2時為八度音；弦長比為3:2時為五度音，弦長比為3:4時為四度音等等。1759年，法國數學家、物理學家拉格朗日給出了弦振動頻率的計算公式：

這裡，T表示弦的張力，l是弦長，ρ是弦的密度，A是弦的截面面積。這裡的i表示弦的振動階數。當弦長比為1:2時，說明頻率之比為2:1，畢達哥拉斯的結論中八度音的頻率之比就是2:1。這樣就把音列中一個基本循環的頻率範圍給定了下來，這一結論成為音樂中的重要基礎。所謂的律制，就是在八度音的基礎上，生出其它各音來；換言之就是在頻率比為1:2的兩個振動中，按照一定的規則把音階中其它振動頻率確定出來，構成音階。

一、五度相生法

五度相生律由畢達哥拉斯學派創立的。具體做法如下：假設確定了do(1)的頻率，為f，按照畢達哥拉斯的結論，當頻率升3f/2倍時，音程升五度，我們得到sol(5)，如下圖：

1， 5，

低音 中音 高音

將sol(5)再升五度（頻率乘3/2），得到高音的re(H2)，出了中音，如果將H2降八度（頻率除以2）就得到中音re(2)。

1，2， 5， ，H2

低音 中音 高音

繼續將中音re(2)再升五度（頻率乘3/2），得到中音la(6)。如果將la(6)升五度，得到高音mi(H3)，將H3降八度又得到中音的mi(3)。

1，2，3 5，6 ，H2，H3

利用該方法，可得到任一音高的頻率。當然用同樣的方法可以向降音的方向行進，例如1降五度得到L4，再升八度得到4；然後再降再升，獲得全音域的音。

二、三分損益法

三分損益法是古代音律法，最早見於春秋時期《管子·地員篇》，在《呂氏春秋》、《淮南子》也有記載。我們說某人「五音不全」，所謂「五音」即古代律制中「宮商角徵羽」五個音，這主要在於早期的音律以五聲音階為主，比現今的七聲音階少兩個音。

儘管東西方語言不同，但人的情感需求卻驚人的相似。「五音」可以分別對應於西方音階中的音，如宮相當於do（1），商相當於re（2），角相當於mi（3），徵相當於sou（5），羽相當於la（6）。為了方便理解，列出下列的對應關係：

音名：C、 D、 E、 F、 G、 A、 B；

或者：1、 2、 3、 4、 5、 6、 7，

唱名：Do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si；

古音：宮、商、角、(空)、徵、羽、（空）

以弦為例說明三分損益法，其要點為「三分」，即將弦平均分為三份，「損」一則弦長減少一份，相當於弦長變為原來的2/3；「益」一則弦長增加一份，變為原來的4/3。由於弦長與頻率成反比關係，因此「損」意味著頻率增加為原來的3/2倍，即升五度「益」意味著頻率減少為原來的3/4，降四度。假定do(1)（即宮）為基音，損一頻率變為基音的3/2倍（升五度）得到sol(5)（徵音），

宮， 徵，

1， 5，

低音 中音 高音

sol(5)（徵音）益一（降四度，頻率變為原來的3/4）得到re(2)（商音），re(2)（商音）再損一（升五度，頻率變為原來的3/2倍）得到la(6)（羽音），la(6)（羽音）再益一（降四度，頻率變為原來的3/4）得到mi(3)（角音）。

宮，商，角 徵，羽，

1，2， 3 5，6

低音 中音 高音

這樣得全五音。秦漢以後，出現了變徵和變宮兩個變音，分別比徵和宮低半音，成為七聲音階。將mi(3)（角音）損一（升五度）可得si(7)（變宮），再益一（降四度）得si(7)（變宮）。這樣就和西方七聲音階完全對應了起來。

宮，商，角，變徵 徵，羽，變宮

1， 2， 3， 4， 5， 6， 7

低音 中音 高音

三、純律

三分損益法可認為是利用一個五度音和四度音的生律方法，純律則是選用五度音和大三度音，所謂大三度，就是在音程中不含有半音，如果含有了半音就成為小三度，大三度音如1->3，小三度音如2->4。大三度音的頻率是基音頻率的5/4倍。假設基音是do(1)，升五度得sol(5)，再升五度得到si(7)，基音do(1)升大三度得到mi(3)，

1，，3，，5，，7

如果sol(5)升五度得到高音的re(H2)，降八度得到中音的re(2)，再由re(2)升五度得到la(6)，然後la(6)再降大三度得到fa(4)

1，2，3，4，5，6，7

四、十二平均律

前面提到，一個全音程可以分成兩個半音程，言外之意，在C調大音階中，除3->4和7->H1（下一循環開始）是半音外，其餘全音，都可以分成兩個半音。一個音階中有12個半音，記為：

1，#1，2，#2，3，4，#4，5，#5，6，#6，7

在音樂中半音就不能再分了，這裡，我們用了#符號表示高半度。考慮一個八度音，從1->H1，其頻率比為1:2，如果將八度音內每相鄰兩音之間的比都設定為同一個比就是十二平均律，該比值為（2開十二次方，即2^(1/12)）。只要知道其中任何一個音的頻率，根據這一比例可以輕鬆的換算出其它音的頻率。例如，國際通用的標準高度（第一國際高度）將A音，即唱名La(6)的音定為440Hz，向下#5音的頻率為（440除以2^(1/12)），向上7音的頻率為（440乘以2^(1/12)），以此類推，獲得全部的音。這種確定音律的方法被稱為十二平均律，也稱十二等程律。

令人引以為豪的是，十二平均律由人朱載堉發明的，而前提是他發明了以珠算求開方的方法。例如，當發音體的長度為1尺時，低八度音的弦長為2尺（頻率減半），然後將2開12次方得頻率公比數1.059463094，該公比自乘12次即得十二律中各律音高，乘12次后，正好是長1尺的音高。在朱載堉發表十二平均律理論之後52年，PereMarin Mersenne在（1636年）其所著《諧聲通論》中發表相似的理論。