高考數學必考難點：數列求和的幾種方法

數列問題一直是聯考數學的重難點，深受出卷老師的青睞，可以說是每年聯考數學必考的考點之一。雖然大家都知道聯考數學數列的重要性，但很多同學對於這類問題，一直無從下手。

數列問題考查範圍比較廣泛，如數列的概念與簡單表示法、數列的綜合應用、數列求和等等，今天我們就來講數列求和的解題技巧。

解決數列求和的方法，我們可以從以下兩個方面入手。

一是一般的數列求和，應從通項入手，若無通項，先求通項，然後通過對通項變形，轉化為與特殊數列有關或具備某種方法適用特點的形式，從而選擇合適的方法求和。

二是解決非等差、等比數列的求和，主要有兩種思路：

1、轉化的思想，即將一般數列設法轉化為等差或等比數列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相減來完成。

2、不能轉化為等差或等比數列的數列，往往通過裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等來求和。

典型例題1：

解決數列類求和問題，我們一定要分清楚以下兩類問題：

一、公式法

1、如果一個數列是等差數列或等比數列，則求和時直接利用等差、等比數列的前n項和公式，注意等比數列公比q的取值情況要分q＝1或q≠1。

2、一些常見數列的前n項和公式：

(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n+1)/2；

(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2；

(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.

二、非等差、等比數列求和的常用方法

1、倒序相加法

如果一個數列{an}，首末兩端等「距離」的兩項的和相等或等於同一常數，那麼求這個數列的前n項和即可用倒序相加法，等差數列的前n項和即是用此法推導的。

2、分組轉化求和法

若一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組轉化法，分別求和而後相加減。

3、錯位相減法

如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那麼這個數列的前n項和即可用此法來求，等比數列的前n項和就是用此法推導的。

4、裂項相消法

把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和。

典型例題2：

最後，對於解決數列類求和問題，大家一定要注意以下兩點：

一、用錯位相減法求和應注意：

(1)要善於識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形；

(2)在寫出「Sn」與「qSn」的表達式時應特別注意將兩式「錯項對齊」以便下一步準確寫出「Sn－qSn」的表達式。

(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等於1和不等於1兩種情況求解。

二、利用裂項相消法求和應注意：

(1)抵消后並不一定只剩下第一項和最後一項，也有可能前面剩兩項，後面也剩兩項；

(2)將通項裂項后，有時需要調整前面的係數，使裂開的兩項之差和係數之積與原通項相等。

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